Variable aléatoire

Une variable aléatoire est une fonction définie sur la totalité des éventualités, c'est-à-dire la totalité des résultats envisageables d'une expérience aléatoire.

Catégories :

Probabilités - Hasard et aléatoire - Statistiques

Page(s) en rapport avec ce sujet :

Une variable aléatoire est dite discrète si elle ne prend que des valeurs... On nomme fonction de répartition d'une variable aléatoire X, la fonction FX... (source : mathsv.univ-lyon1)
A titre d'exemple, l'espérance d'une variable aléatoire est son moment d'ordre 1.... Le vocabulaire fonction génératrice des moments est bien appropriée.... (source : bibmath)
Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre l'ensemble des valeurs.... A. V. Variable aléatoire continue Une v. a. continue a une fonction.... (source : pdfqueen)

Une variable aléatoire est une fonction définie sur la totalité des éventualités, c'est-à-dire la totalité des résultats envisageables d'une expérience aléatoire.

Une variable aléatoire est fréquemment à valeurs réelles (gain d'un joueur dans un jeu de hasard, durée de vie) et on parle alors de variable aléatoire réelle :. La variable aléatoire peut aussi associer à chaque éventualité un vecteur de ou, et on parle alors de vecteur aléatoire : ou. La variable aléatoire peut toujours associer à chaque éventualité une valeur qualitative (couleurs, Pile ou Face), ou même une fonction (p. e. une fonction de), et on parlera alors de processus stochastique.

Ce furent les jeux de hasard qui amenèrent à concevoir les variables aléatoires, en associant à une éventualité (résultat du lancer d'un dé, d'un tirage à pile ou face, d'une roulette, ... ) un gain. Cette association éventualité-gain amena à concevoir une fonction de manière plus générale à partir d'une éventualité. Le développement des variables aléatoires est associé à la théorie de la mesure.

Définition — Soient un espace probabilisé et un espace mesurable. On nomme variable aléatoire de vers, toute fonction mesurable de vers.

Cette condition de mesurabilité de assure que l'image réciproque par de tout élément de la tribu possède une probabilité et permet ainsi de définir, sur, une mesure de probabilité, notée, par

$\mathbb{P}_X(B) = \mathbb{P}\left(Xˆ{-1}(B)\right) = \mathbb{P}\left(X\in B\right).$

La mesure est l'image, par l'application, de la probabilité définie sur.

Définition — La probabilité est nommée loi de probabilité de la variable aléatoire.

Exemples

Dans la suite, sert à désigner la tribu borélienne de l'espace topologique.

Quand, on dit que est une variable aléatoire réelle.
Quand, pour un entier,, on dit que est un vecteur aléatoire.
Quand il existe un ensemble fini ou dénombrable tel que, on dit que est une variable discrète. A titre d'exemple, le choix sert à voir les variables aléatoires suivant la loi de Poisson ou la loi binomiale comme des variables aléatoires réelles.
Le mouvement brownien, qui modélise la trajectoire de certaines particules dans l'espace, peut être vu comme une variable aléatoire à valeurs dans l'espace des fonctions continues de dans pourvu de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, et de la tribu borélienne correspondante. Pour chaque,, qui représente la position de la particule à l'instant, est une variable aléatoire réelle dont la loi est gaussienne. Ainsi peut aussi être vu comme une famille de variables aléatoires réelles.

Recherche sur Amazon (livres) :

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Variable_al%C3%A9atoire.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.