Unité imaginaire

En mathématiques, l'unité imaginaire est un nombre complexe, noté i, dont le carré vaut − 1. Ses multiples par des nombres réels forment les nombres imaginaires purs.

Constructions

Puisque l'ensemble des nombres réels ont un carré positif, l'unité imaginaire ne peut être reconnue comme un point de la droite réelle. Il existe plusieurs façons de la définir.

Sa première apparition était sous la forme de $\sqrt{-1}$ , écriture qui n'a pas de sens dans les nombres réels (et qui n'est d'ailleurs pas utilisée non plus dans les nombres complexes), mais qui traduisait sa propriété principale. Une formalisation acceptable de cette construction n'est apparue que bien plus tard, dans un quotient de l'anneau $\R[X]$ des polynômes réels par l'idéal génèré par le polynôme $X 2 + 1$ :

Si on prend $X$ réel, $X 2 + 1 = 0$ n'admet pas de solution.

Si on imagine un nombre $i$ tel que $i 2 = - 1$ , et qu'on exprime $X = a + i b$ , alors l'équation $X 2 + 1 = 0$ possède deux solutions : $a = 0$ , $b = 1$ et $a = 0$ , $b = - 1$ . C'est à dire, la droite d'abscisses représentant les réels $\R$ a été étendue à un plan $\R$ x $\R$ (appelé plan complexe $\C$ ) contenant les points $(a; b)$ , et l'expression $X 2 + 1$ correspondante s'annule pour les points $(0;1)$ et $(0; - 1)$ . Par convention, on choisit le point $(0;1)$ comme représentation de l'unité imaginaire $i$ (l'autre point étant son opposé, d'affixe $- i$ ).

(Une représentation graphique complète de $X 2 + 1$ dans le domaine complexe nécessiterait 4 dimensions : 2 pour $X$ et 2 pour la valeur complexe de l'expression de $X 2 + 1$ . )

Le nombre imaginaire $i$ est par conséquent un outil mathématique pour apporter des solutions supplémentaires à certaines équations, en ajoutant une dimension aux nombres réels (remplacement d'une droite par un plan) ; les nombres comportant un multiple de cette unité imaginaire sont nommés nombres complexes.

Propriétés d'i

Son opposé est à la fois son inverse et son conjugué : $\frac{1}{i} = -i = \bar{i}$ . Son module est égal à 1. Il vérifie aussi l'égalité $(- i) 2 = - 1$ , mais le choix de l'unité imaginaire est lié à l'orientation du plan complexe.

Ses images par les fonctions trigonométriques s'écrivent :

$\cos(i)= \cosh(1)=\frac{eˆ{-1}+e}{2}\simeq1,54308063481524\$
$\sin(i)=i \sinh(1)=\frac{eˆ{-1}-e}{2i}\simeq1,17520119364379i\$
$\tan(i)=-i\frac{eˆ{-1}-e}{eˆ{-1}+e}\simeq0,761594155955762i\$

i est une racine de l'unité d'ordre 4, par conséquent ses puissances sont

$\begin{matrix} iˆ0=1, &iˆ1=i, & iˆ2=-1, & iˆ3=-i,\\ iˆ4=1, & iˆ5=i, & iˆ6=-1, & \ldots\\ \end{matrix}$

De plus, on peut se demander : pourquoi avoir noté cette unité i ?

Si on avait laissé la notion de $\sqrt{-1}$ , on aurait dû appliquer l'ensemble des lois s'appliquant à la racine carrée :

$\sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \Big({\sqrt{-1}}\Big)ˆ2 = -1$

Mais également :

$\sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \sqrt{\Big((-1)ˆ2\Big)} = 1$

Et par conséquent $- 1 = 1$ , ce qui pose réellement problème. Ainsi, c'est presque deux siècles après la naissance de l'unité imaginaire qu'Euler réforme l'écriture de ce nombre en posant : $i 2 = - 1$

i et la formule d'Euler

La formule d'Euler donne :

$eˆ{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \,$

Où x est un nombre réel. La formule peut alors être analytiquement étendue pour un complexe z :

remplaçons x par $π$

$eˆ{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + 0 \times i \,$

et on obtient par conséquent l'identité d'Euler :

$eˆ{i\pi} + 1 = 0\,$

C'est une équation remarquablement simple mettant en scène cinq nombres mathématiques particulièrement importants (0, 1, $π$ , $e$ et $i$ ) reliés seulement par des additions, multiplications et exponentiations.

Voir aussi

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