Trigonométrie complexe

Dans le corps des nombres complexes, grâce aux formules d'Euler, les fonctions trigonométriques peuvent se définir ainsi ...



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Extension des fonctions circulaires

Dans le corps des nombres complexes, grâce aux formules d'Euler, les fonctions trigonométriques peuvent se définir ainsi :

\sin z = \frac {eˆ{iz} - eˆ{-iz}} {2i} = \frac {\sinh iz} {i} = \sum _{k=0}ˆ{\infty}{\frac {(-1)ˆk zˆ{2k+1}} {(2k+1)!}}
\cos z = \frac {eˆ{iz} + eˆ{-iz}} {2} = {\cosh iz}  = \sum _{k=0}ˆ{\infty}{\frac {(-1)ˆk zˆ{2k}} {(2k)!}}
\tan z = \frac {\sin z} {\cos z} = -i  \frac {\sinh iz} {\cosh iz} = -i \tanh iz = -i \frac {eˆ{iz} - eˆ{-iz}} {eˆ{iz} + eˆ{-iz}}

De même que leurs fonctions réciproques :

\arcsin z = -i \ln \left( i z + \sqrt { 1-zˆ2} \right)
\arccos z = -i \ln \left( z + \sqrt {zˆ2-1} \right)
\arctan z = \frac i 2 \Big( \ln(1 - iz) - \ln(1+iz) \Big)

Ces fonctions souffrent des mêmes problèmes d'indétermination que le logarithme complexe.


Fonctions trigonométriques d'un complexe

Voici la démonstration de la formule servant à calculer le cosinus d'un complexe :

af + ibf = \cos{(a + i°} = \frac{eˆ{i(a + i°} + eˆ{-i(a + i°}} {2} = \frac{eˆ{i - b} + eˆ{-i + b}}{2} = \frac{eˆ{-b}à{i  + eˆ{b}à{-i }{2} = \frac{eˆ{-b}}{2}à{i  + \frac{eˆ{b}}{2}à{-i 
<img class=t1 = a                <img class=t2 = − a
<img class=
<img class=
<img class== > cos (a + i. b) = cos (a). cosh (b) − i. sin (a). sinh (b)

Pour les autres fonctions trigonométriques, faire de même. Pour tan et cotan, mieux faut utiliser leur propriété suivante :

\tan{z} = \frac{\sin{z}}{\cos{z}}        \cot{z} = \frac{\cos{z}}{\sin{z}}


Voici la démonstration pour le cosinus hyperbolique :

af + ibf = \cosh{(a + i°} = \frac{eˆ{a + i° + eˆ{-(a + i°}} {2} = \frac{eˆ{a + i° + eˆ{-a - i°}{2} = \frac{eˆ{a}à{i° + eˆ{-a}à{-i°}{2} = \frac{eˆ{a}}{2}à{i° + \frac{eˆ{-a}}{2}à{-i°
<img class=t1 = b                <img class=t2 = − b
<img class=
<img class=
<img class== > cosh (a + i. b) = cosh (a). cos (b) − i. sinh (a). sin (b)

Pour les autres fonctions trigonométriques hyperboliques, faire de même. Pour tanh et cotanh, mieux faut utiliser leur propriété suivante :

\tanh{z} = \frac{\sinh{z}}{\cosh{z}}        \coth{z} = \frac{\cosh{z}}{\sinh{z}}

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