Triangle équilatéral

En géométrie, un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont égaux. En géométrie euclidienne ou respectant les traditions, ils sont aussi équiangulaires, c'est-à-dire que les trois angles internes sont égaux et valent 60°.

Catégories :

Mathématiques élémentaires - Géométrie du triangle - Polygone

Page(s) en rapport avec ce sujet :

Il est aussi facile de construire un triangle équilatéral inscrit... (source : pagesperso-orange)
Triangle obtenu avec un point d'un cercle et un de ses diamètres.... Un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux, mais aussi ses trois angles (mesure... (source : mathsgeo)
... Objectif : connaître les propriétés liant le triangle rectangle et le cercle Thème (s) et sous-thème (s) : triangle – perpendiculaires... (source : www2.ac-lyon)

Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un polygone régulier.
arêtes et sommet	3
Symbole de Schläfli	{3}
Diagramme de Coxeter-Dynkin
Groupe de symétrie	Groupe diédral (D₃)
Angle interne (degrés)	60°

En géométrie, un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont égaux. En géométrie euclidienne ou respectant les traditions, ils sont aussi équiangulaires, c'est-à-dire que les trois angles internes sont égaux et valent 60°. Ce sont des polygones réguliers, et peuvent par conséquent aussi être reconnus comme des triangles réguliers.

Propriétés

En posant la longueur de chaque côté égale à $a\,\!$ , on a :

L'aire vaut $A=aˆ2\frac{\sqrt{3}}{4}$
Le périmètre vaut $p=3a\,\!$
Le rayon du cercle circonscrit vaut $R=a\frac{\sqrt{3}}{3}$
Le rayon du cercle inscrit vaut $r=a\frac{\sqrt{3}}{6}$
Chaque hauteur vaut $h=a\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ces formules peuvent êtres obtenues grâce au théorème de Pythagore.

Le triangle équilatéral est le triangle le plus symétrique, et a 3 lignes de symétries. Son groupe de symétrie le groupe diédral d'ordre 6D₃.

Un tétraèdre régulier est fait de quatre triangles équilatéraux.

Les triangles équilatéraux peuvent être trouvés dans de nombreuses constructions géométriques. Trois des solides de Platon sont composés de triangles équilatéraux. Surtout, le tétraèdre régulier a quatre triangle.

Le théorème de Morley est un résultat servant à trouver un triangle équilatéral dans n'importe quel triangle.

Construction géométrique

Construction d'un triangle équilatéral avec un compas et une règle

Un triangle équilatéral peut être aisément construit en utilisant un compas.

Dessiner un segment
Placer le point du compas sur un bout du segment
Dessiner un arc de cercle
Répéter avec l'autre bout du segment
Connecter le point où les deux arcs se croisent

Autre méthode, moins courante :

Tracer un cercle de rayon
Placer le point du compas sur le cercle
Dessiner un autre cercle de même rayon.

Les deux cercles se croisent en deux points. Un triangle équilatéral peut être construit en prenant les deux centres des cercles et l'un ou l'autre des points d'intersection.

Dans la culture

Plusieurs sites archéologiques ont des triangles équilatéraux dans leur construction, comme par exemple Lepenski Vir en Serbie.
La figure apparaît aussi dans l'architecture moderne, tels que dans le Jefferson National Expansion Memorial
Le triangle équilatéral a une signification mystique, étant une représentation de la trinité chrétienne dans The Two Babylons et faisant partie du Tetractys, figure utilisée par les Pythagoriciens.

Voir aussi

Trigonométrie
Théorème de Viviani

Recherche sur Amazon (livres) :

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle_%C3%A9quilat%C3%A9ral.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.