Treillis
Un treillis est, en mathématiques, un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque couple d'éléments admet une limite supérieure et une limite inférieure.


Un treillis (en anglais : lattice) est , en mathématiques, un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque couple d'éléments admet une limite supérieure et une limite inférieure. On parle aussi d'espace réticulé.
Il existe en réalité deux définitions équivalentes du treillis, une concernant la relation d'ordre citée auparavant, l'autre algébrique.
Définition algébrique
Un treillis est un ensemble E pourvu de deux lois internes généralement notées et
vérifiant :
- les deux lois sont commutatives et associatives
- pour tout a de E,
et
(idempotence)
- pour tout a et b de E :
et
(absorption)
Pour démontrer que E est un treillis comme ensemble ordonné, il faut définir une relation d'ordre le plus souvent notée de la manière suivante :
On peut montrer que cette relation est bien une relation d'ordre (peut-être partielle). La propriété d'associativité assure la transitivité. La propriété d'idempotence assure la réflexivité. La définition même assure l'antisymétrie. Grâce aux deux propriétés d'absorption, on peut aussi montrer que
On peut alors vérifier que,
Ce qui assure que (E, ) est bien un treillis au sens des ordres.
Définition par relation d'ordre
Un treillis est un ensemble E pourvu d'une relation d'ordre vérifiant, :
- pour tous éléments a et b de E, il existe une limite supérieure et une limite inférieure à la totalité {a, b}
Pour montrer que E est un treillis algébrique, on remarque que la limite supérieure et la limite inférieure définissent alors deux lois internes :
Les propriétés de treillis algébrique pour ces deux lois découlent assez directement de la définition.
On définit par conséquent indifféremment les treillis de façon algébrique ou par une relation d'ordre.
Exemples
- L'ensemble des parties d'un ensemble pourvu de l'inclusion forme un treillis où la limite supérieure est l'union et la limite inférieure l'intersection.
- Dans le même ordre d'idée, la totalité des ouverts d'un espace topologique (toujours pourvu de l'inclusion) forme un treillis. La totalité des ouverts réguliers (ouverts égaux au sein de leur adhérence) d'un espace topologique forme un treillis sans atomes (voir plus loin la définition d'atome).
- La totalité des entiers naturels pourvu de son ordre courant est un exemple de treillis incomplet : il n'admet pas lui-même de limite supérieure.
- Soient f, g deux fonctions boréliennes sur R, intégrables au sens de Lebesgue et vérifiant f
. La totalité des fonctions boréliennes h comprises entre f et g est un treillis non complet qui devient complet si on identifie deux fonctions identiques presque partout (attention ! la limite supérieure d'une famille de fonctions boréliennes peut être non mesurable ; quand on quotiente modulo l'égalité presque-partout, on regarde ce qu'on nomme une limite essentielle supérieure, laquelle, en revenant aux fonctions, majore presque-partout chaque élément de la famille).
Dualité
Si (E, ,
, ≤) est un treillis, alors son treillis dual est (E,
,
, ≥).
Théorème de dualité : Si un théorème T est vrai pour l'ensemble des treillis alors le théorème dual de T, obtenu en remplaçant l'ensemble des occurrences de par
(et réciproquement) et l'ensemble des occurrences de ≤ par ≥ (et réciproquement) est un théorème vrai pour l'ensemble des treillis.
Cas spécifiques
Un ensemble ordonné dans lequel chaque couple d'éléments possède une limite supérieure (ou une limite inférieure) est un demi-treillis.
Un treillis E est complet si et uniquement si tout sous-ensemble F (de E) possède une limite supérieure et une limite inférieure ; on dit aussi que E est un espace totalement réticulé. (Ne pas confondre la notion de treillis complet avec celle d'ordre partiel complet. )
Un treillis E est borné s'il possède un maximum et un minimum. Surtout l'ensemble des treillis complets sont bornés.
Si E est un treillis possédant un minimum qu'on note 0, un atome de E est un élément tel que pour tout
tel que
, on ait
. Par exemple dans le treillis de la totalité des parties d'un ensemble, l'ensemble des singletons sont des atomes.
Un treillis est distributif si et uniquement si la loi est distributive sur la loi
ou si la loi
est distributive sur la loi
. En réalité, les deux distributivités sont équivalentes, si un treillis en possède un type, il possède l'autre.
Un treillis est complémenté s'il admet un plus petit élément noté 0, un plus grand élément noté 1, et si chacun de ses éléments x possède un complément y vérifiant et
.
Bibliographie
Ressources disponibles en ligne :
- Birkhoff, Garrett. Théorie et applications des treillis. Annales de l'institut Henri Poincaré, 11 no. 5 (1949), p. 227-240. [1]
- Burris, Stanley N., et Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
- Jipsen, Peter, et Rose, Henry. Varieties of Lattices, Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8.
Ouvrages de référence :
- Donnellan, Thomas, 1968. Lattice Theory. Pergamon.
- Grätzer, G., 1971. Lattice Theory : First concepts and distributive lattices. W. H. Freeman.
- Davey, B. A., et Priestley, H. A., 2002. Introduction to Lattices and Order. Cambridge University Press.
- Birkhoff, Garrett, 1967. Lattice Theory, 3rd ed. Vol. 25 of American Mathematical Society Colloquium Publications. American Mathematical Society.
Voir aussi
- Treillis de Galois
- Algèbre de Kleene
- Morphologie mathématique
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