Treillis

Le terme treillis provient de la forme du diagramme de Hasse associé à la relation d'ordre.

Un treillis (en anglais : lattice) est , en mathématiques, un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque couple d'éléments admet une limite supérieure et une limite inférieure. On parle aussi d'espace réticulé.

Il existe en réalité deux définitions équivalentes du treillis, une concernant la relation d'ordre citée auparavant, l'autre algébrique.

Définition algébrique

Un treillis est un ensemble E pourvu de deux lois internes généralement notées et vérifiant :

• les deux lois sont commutatives et associatives
• pour tout a de E, et (idempotence)
• pour tout a et b de E : et (absorption)

Pour démontrer que E est un treillis comme ensemble ordonné, il faut définir une relation d'ordre le plus souvent notée de la manière suivante :

On peut montrer que cette relation est bien une relation d'ordre (peut-être partielle). La propriété d'associativité assure la transitivité. La propriété d'idempotence assure la réflexivité. La définition même assure l'antisymétrie. Grâce aux deux propriétés d'absorption, on peut aussi montrer que

On peut alors vérifier que,

Ce qui assure que (E, ) est bien un treillis au sens des ordres.

Définition par relation d'ordre

Un treillis est un ensemble E pourvu d'une relation d'ordre vérifiant,  :

• pour tous éléments a et b de E, il existe une limite supérieure et une limite inférieure à la totalité {a, b}

Pour montrer que E est un treillis algébrique, on remarque que la limite supérieure et la limite inférieure définissent alors deux lois internes :

Les propriétés de treillis algébrique pour ces deux lois découlent assez directement de la définition.

On définit par conséquent indifféremment les treillis de façon algébrique ou par une relation d'ordre.

Exemples

• L'ensemble des parties d'un ensemble pourvu de l'inclusion forme un treillis où la limite supérieure est l'union et la limite inférieure l'intersection.
• Dans le même ordre d'idée, la totalité des ouverts d'un espace topologique (toujours pourvu de l'inclusion) forme un treillis. La totalité des ouverts réguliers (ouverts égaux au sein de leur adhérence) d'un espace topologique forme un treillis sans atomes (voir plus loin la définition d'atome).
• La totalité des entiers naturels pourvu de son ordre courant est un exemple de treillis incomplet : il n'admet pas lui-même de limite supérieure.
• Soient f, g deux fonctions boréliennes sur R, intégrables au sens de Lebesgue et vérifiant f. La totalité des fonctions boréliennes h comprises entre f et g est un treillis non complet qui devient complet si on identifie deux fonctions identiques presque partout (attention ! la limite supérieure d'une famille de fonctions boréliennes peut être non mesurable ; quand on quotiente modulo l'égalité presque-partout, on regarde ce qu'on nomme une limite essentielle supérieure, laquelle, en revenant aux fonctions, majore presque-partout chaque élément de la famille).