Treillis

Un treillis est, en mathématiques, un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque couple d'éléments admet une limite supérieure et une limite inférieure.



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Structure algébrique - Théorie des ordres

Le terme treillis provient de la forme du diagramme de Hasse associé à la relation d'ordre.

Un treillis (en anglais : lattice) est , en mathématiques, un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque couple d'éléments admet une limite supérieure et une limite inférieure. On parle aussi d'espace réticulé.

Il existe en réalité deux définitions équivalentes du treillis, une concernant la relation d'ordre citée auparavant, l'autre algébrique.

Définition algébrique

Un treillis est un ensemble E pourvu de deux lois internes généralement notées \vee et \wedge vérifiant :

Pour démontrer que E est un treillis comme ensemble ordonné, il faut définir une relation d'ordre le plus souvent notée \subseteq de la manière suivante :

a\subseteq b \Leftrightarrow a \vee b = b

On peut montrer que cette relation est bien une relation d'ordre (peut-être partielle). La propriété d'associativité assure la transitivité. La propriété d'idempotence assure la réflexivité. La définition même assure l'antisymétrie. Grâce aux deux propriétés d'absorption, on peut aussi montrer que

a \subseteq b \Leftrightarrow a \wedge b = a

On peut alors vérifier que,

Ce qui assure que (E, \subseteq) est bien un treillis au sens des ordres.

Définition par relation d'ordre

Un treillis est un ensemble E pourvu d'une relation d'ordre \subseteq vérifiant,  :

Pour montrer que E est un treillis algébrique, on remarque que la limite supérieure et la limite inférieure définissent alors deux lois internes :

Les propriétés de treillis algébrique pour ces deux lois découlent assez directement de la définition.

On définit par conséquent indifféremment les treillis de façon algébrique ou par une relation d'ordre.

Exemples

Dualité

Si (E, \vee, \wedge, ≤) est un treillis, alors son treillis dual est (E, \wedge, \vee, ≥).

Théorème de dualité : Si un théorème T est vrai pour l'ensemble des treillis alors le théorème dual de T, obtenu en remplaçant l'ensemble des occurrences de \vee par \wedge (et réciproquement) et l'ensemble des occurrences de ≤ par ≥ (et réciproquement) est un théorème vrai pour l'ensemble des treillis.

Cas spécifiques

Un ensemble ordonné dans lequel chaque couple d'éléments possède une limite supérieure (ou une limite inférieure) est un demi-treillis.

Un treillis E est complet si et uniquement si tout sous-ensemble F (de E) possède une limite supérieure et une limite inférieure ; on dit aussi que E est un espace totalement réticulé. (Ne pas confondre la notion de treillis complet avec celle d'ordre partiel complet. )

Un treillis E est borné s'il possède un maximum et un minimum. Surtout l'ensemble des treillis complets sont bornés.

Si E est un treillis possédant un minimum qu'on note 0, un atome de E est un élément a\in E\setminus\{0\} tel que pour tout b\in E tel que b\leq a, on ait b\in\{0,a\}. Par exemple dans le treillis de la totalité des parties d'un ensemble, l'ensemble des singletons sont des atomes.

Un treillis est distributif si et uniquement si la loi \vee est distributive sur la loi \wedge ou si la loi \wedge est distributive sur la loi \vee. En réalité, les deux distributivités sont équivalentes, si un treillis en possède un type, il possède l'autre.

Un treillis est complémenté s'il admet un plus petit élément noté 0, un plus grand élément noté 1, et si chacun de ses éléments x possède un complément y vérifiant x \wedge y = 0 et x \vee y =1.

Bibliographie

Ressources disponibles en ligne :

  • Birkhoff, Garrett. Théorie et applications des treillis. Annales de l'institut Henri Poincaré, 11 no. 5 (1949), p. 227-240. [1]
  • Burris, Stanley N., et Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
  • Jipsen, Peter, et Rose, Henry. Varieties of Lattices, Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8.

Ouvrages de référence :

  • Donnellan, Thomas, 1968. Lattice Theory. Pergamon.
  • Grätzer, G., 1971. Lattice Theory : First concepts and distributive lattices. W. H. Freeman.
  • Davey, B. A., et Priestley, H. A., 2002. Introduction to Lattices and Order. Cambridge University Press.
  • Birkhoff, Garrett, 1967. Lattice Theory, 3rd ed. Vol. 25 of American Mathematical Society Colloquium Publications. American Mathematical Society.

Voir aussi

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