Théorie algébrique des nombres

En mathématiques, la théorie algébrique des nombres est la branche de l'arithmétique utilisant des outils issus de l'algèbre pour mieux comprendre les nombres.



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Théorie algébrique des nombres

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  • ... source du développement de la théorie algébrique des nombres est le probl` eme de la résolution des équations en nombres entiers ou rationnels...... de p premiers tels que la classe de 2 modulo p soit un générateur du groupe... (source : people.math.jussieu)
  • Je pense que mon chapitre de théorie algébrique des nombres est plus élémentaire que le Samuel..... ensemble des entiers naturels, avec l'arithmétique naturelle, ..... Il semble que sur les cubiques il y ait une loi de groupe.... (source : dma.ens)

En mathématiques, la théorie algébrique des nombres est la branche de l'arithmétique utilisant des outils issus de l'algèbre pour mieux comprendre les nombres. Son origine est l'étude des nombres entiers et spécifiquement les équations diophantiennes. Pour en résoudre certaines, il est utile de considérer d'autres entiers, dit algébriques. Un exemple est donné par le théorème des deux carrés de Fermat utilisant les entiers de Gauss.

Ces ensembles sont équipés de deux lois une addition et une multiplication qui vérifient les mêmes propriétés élémentaires que les entiers naturels, on parle d'anneaux. Surtout, certains d'entre eux disposent d'une division euclidienne. Les résultats classiques de l'arithmétique des entiers naturels s'appliquent toujours : lemme d'Euclide, Identité de Bézout ou encore le théorème essentiel de l'arithmétique. Une structure est spécifiquement utilisée, celle de l'anneau quotient Z/n. Z composée de congruences sur les entiers. Elle est à l'origine d'une branche de la théorie algébrique des nombres : l'arithmétique modulaire.

Tous les ensembles de cette nature n'admettent pas une division euclidienne. Il existe, quelquefois plusieurs décompositions en facteurs premiers. Cette spécificité amène à étudier généralement les propriétés de ces structures. Si la totalité choisi n'est pas trop vaste, c'est-à-dire qu'il existe un entier n tel que tout élément de la totalité est racine d'un polynôme dont le degré ne dépasse pas n, il existe une famille de propriétés toujours vérifiées. De telles structures sont nommées anneau de Dedekind. L'étude de ces structures est nommée théorie algébrique classique des nombres.

Une autre structure est utile, elle correspond au plus petit ensemble contenant celui des entiers algébriques reconnus tel que l'ensemble des éléments non nuls admettent un inverse pour la multiplication. La structure porte le nom de corps, il s'obtient par une démarche de la même nature que celle qui sert à construire les nombres rationnels, on parle de corps des fractions. Ces ensembles dont les éléments sont nommés nombres algébriques sont l'objet d'une théorie dite de Galois.

Des technologies mathématiques avancées comme la cohomologie galoisienne, la théorie des corps de classe, la théorie des représentations d'un groupe fini et les fonctions L - permettent d'étudier les propriétés fines de ces classes de nombres. De nombreuses questions en principe des nombres sont étudiées modulo p pour l'ensemble des nombres premiers p (voir les corps finis). Ce procédé est nommé localisation et conduit à la construction des nombres p-adiques ; l'étude des corps locaux emploie les mêmes techniques que celle décrite auparavant des corps de nombres algébriques. Elle est même en fait bien plus simple, et les résultats sur les corps de nombres algébriques sont fréquemment déduits de ceux sur les corps locaux : c'est le principe local-global.

Arithmétique élémentaire

Résoudre des équations diophantiennes, c'est-à-dire des équations à cœfficients entiers et dont les solutions recherchées sont entières est une question qui fascine l'humanité depuis l'antiquité. Ainsi, les Eléments d'Euclide expliquent comment construire des carrés parfaits dont la somme est toujours un carré parfait[1].

Les propriétés et théorèmes utilisés pour résoudre de tels équations sont dans un premier temps assez simples. Ils dérivent tous plus ou moins directement de la division euclidienne dans Z, l'anneau des entiers. Les premiers résultats sont le lemme d'Euclide, l'identité de Bézout et le théorème essentiel de l'arithmétique qui indique que tout nombre entier positif se décompose de manière unique en produit de nombres premiers.

Ces théorèmes permettent de démontrer une série de résultats, comme le dernier théorème de Fermat pour n égal à 2 ou à 4, ou le petit théorème de Fermat ou celui nommé Wilson. Pour aller plus loin, il devient indispensable de comprendre plus exactement la relation entre la multiplication de deux nombres et le reste du produit par une division euclidienne. A titre d'exemple, résoudre le théorème des deux carrés de Fermat demande de déterminer la liste des nombres premiers p tel qu'il existe un entier naturel nn2 + 1 est un multiple de p. Le petit théorème de Fermat est un résultat fournissant des informations de cette nature, il est utilisé pour résoudre élémentaire la question des deux carrés ou étudier la primalité d'un entier (c'est-à-dire pour permettre de savoir si un nombre est premier ou non. On en trouve un exemple pour l'étude des nombres de Fermat.

Arithmétique modulaire

Article détaillé : Arithmétique modulaire.

Si l'équation devient plus complexe, comme par exemple la recherche de solutions entières de l'équation x2 + 2y2 = p avec p un nombre premier, les techniques précédentes imposent des calculs de plus en plus astucieux et complexes. Occasionnellemen, comme pour la loi de réciprocité quadratique, aucune solution n'est trouvée au XVIIIe siècle par les grands arithméticiens qui se penchent sur la question : Leonhard Euler, Adrien-Marie Legendre et Joseph-Louis Lagrange.

La technique qui, finalement, en vient à bout consiste à étudier des nouveaux nombres et en particulier les propriétés structurelles que possèdent leurs ensembles pourvus de l'addition et de la multiplication. Un de ces ensembles se compose des restes de la division euclidienne d'un entier par p, si p est un nombre premier. Pourvu d'une multiplication naturelle (cf l'article Anneau Z/nZ) , il forme un groupe cyclique. L'étude de ce groupe sert à venir à bout de la loi de réciprocité quadratique. Une autre famille d'ensembles s'avère utile, ceux de la forme a + ξ. b ou a et b sont des entiers et ξ une solution d'une équation du second degré. Pour certaines valeurs de ξ comme i l'unité imaginaire, j la racine troisième de l'unité dans les nombres complexes ou 1/2 (1 + √5), il est envisageable de définir une division euclidienne. L'analyse de la structure abstraite des anneaux possédant une division euclidienne, nommés anneaux euclidiens, sert à résoudre des questions jusqu'alors inaccessibles, comme le dernier théorème de Fermat pour n égal à 3 ou 5.

Théorie algébrique classique des nombres

Entier algébrique

Article détaillé : Entier algébrique.

Pour définir généralement ces ensembles, il est utile de considérer le plus petit ensemble K contenant les nombres rationnels, l'ensemble des racines d'un polynôme à cœfficients rationnels et stable pour l'addition et la multiplication. Une telle structure est nommée corps de décomposition du polynôme. L'anneau reconnu, fréquemment noté OK est celui des éléments de K qui sont aussi racines d'un polynôme à cœfficients entiers et dont le monôme de plus haut degré possède un cœfficient égal à 1. Ces nombres sont dits entiers algébriques et la totalité est appelé fermeture algébrique de K. Ces deux structures sont légèrement analogues aux rationnels et entiers relatifs. Le deuxième ensemble OK possède des éléments qui n'ont pas d'inverse pour la multiplication, à part quelques exceptions comme 1 et -1 pour les entiers relatifs. Ces exceptions forment une structure multiplicative nommée groupe des unités. Le corps K peut être vu comme composé de fractions d'entiers algébriques et tout élément excepté zéro possède un inverse pour la multiplication. Un corps quadratique correspond à une incarnation des plus simples de cette situation, le polynôme est de degré deux. Les fermetures algébriques ne ressemblent pas forcément à Z. Deux obstructions éloignent la nouvelle structure de la configuration d'origine.

La totalité des éléments inversibles de OK peut devenir vaste. Un exemple est donné par l'étude de l'entier de Dirichlet dont le groupe des unités est illimité. Pour tous ces éléments, les outils comme le lemme d'Euclide, l'identité de Bézout ou la décomposition en facteurs premiers s'avèrent inopérants. Dirichlet parvient à élucider la structure de ce groupe à travers le théorème dit des unités de Dirichlet. Pour les corps quadratiques, cette difficulté se traduit par l'équation de Pell-Fermat.

La seconde obstruction provient du fait qu'il n'existe plus assez de nombres premiers pour assurer une décomposition unique. Par exemple sur l'anneau des entiers de la forme a + i√5. b, le nombre 6 admet deux factorisations différentes :

6 = 20= (1 + i\sqrt 5)(1- i\sqrt 5)\;

Pourtant aucun des quatre entiers algébriques utilisés ne contient de diviseurs autres qu'eux-mêmes et 1 (à un facteur du groupe des unités près). Un contournement est imaginé par Ernst Kummer, il propose d'adjoindre des nombres idéaux pour obtenir à nouveau une factorisation unique. Plus tard, Richard Dedekind formalise la notion d'idéal généralisant cette idée à l'ensemble des anneaux. Les fermetures algébriques possèdent un jeu de propriétés formalisé par les axiomes définissant l'anneau de Dedekind. Pour une telle structure, à chaque nombre est associé son parfait, qualifié de principal et il existe des idéaux qui ne sont associés à aucun nombre. Les idéaux disposent d'une addition et en particulier d'une multiplication. De même que les entiers se généralisent en nombres rationnels, la définition d'un parfait couvre à celle d'idéal fractionnaire qui possède un inverse s'il est non nul. Cette généralisation confère une structure de groupe multiplicatif à la totalité. Le groupe des idéaux fractionnaires possède un sous-groupe spécifique, celui des idéaux fractionnaires principaux, correspondant aux vrais nombres de K. Le quotient du groupe par ce sous-groupe, opération analogue à celle utilisée en arithmétique modulaire, sert à mesurer le volume des nombres premiers manquants. Le théorème servant à contourner la seconde obstruction décrit une propriété de ce groupe quotient, nommé groupe des classes d'idéaux. Il possède un nombre fini d'éléments.

Théorie classique de Galois

Article détaillé : Théorie de Galois.

D'autres questions, ne portant pas sur les nombres entiers, imposent une généralisation de la notion de nombre. La diagonale d'un carré de côté de longueur un ne s'exprime pas comme une fraction. Elle amène à l'étude d'un nouveau nombre, originellement perçu comme une longueur et égale à la racine carrée de deux. De manière plus générale, l'étude des équations polynomiales introduit des nombres comme l'unité imaginaire ou des racines nièmes de rationnels, nommées radicaux. Certaines méthodes comme celles de Cardan ou de Ferrari permettent la résolution par radical de toute équation de degré strictement inférieur à cinq.

Un nombre algébrique est défini comme une racine d'un polynôme. Evariste Galois étudie les propriétés de symétrie de telles racines et met en évidence l'existence d'un groupe fini dit de Galois. En terme moderne, le cadre d'étude est celui d'une extension finie L d'un corps K, c'est-à-dire d'un corps L contenant un corps K et de dimension finie s'il est reconnu comme un espace vectoriel sur K. Le groupe de Galois est le groupe des automorphismes de L laissant K invariant. Un exemple est donnée par le plus petit corps contenant l'ensemble des racines d'un polynôme mais aussi ses cœfficients. Le groupe de Galois permet une expression générale du théorème d'Abel donnant une condition indispensable et suffisante pour qu'une équation soit résoluble par radicaux.

La théorie classique de Galois s'appuie sur deux théorèmes, celui de l'élément primitif et celui dit essentiel. Le premier suppose une propriété sur le polynôme minimal d'un élément a de L. Le polynôme minimal de a est le polynôme à cœfficients dans K de plus petit degré, unitaire et admettant a pour racine. La théorie montre que dans une extension finie, un tel polynôme existe toujours. Une configuration fréquente indique qu'un polynôme minimal n'admet jamais de racine multiple. Si tel est le cas, l'extension est dite séparable. Le théorème de l'élément primitif indique qu'une extension finie séparable contient toujours un élément p, dit primitif tel que L est le plus petit corps contenant K et p. Si l'extension est séparable et si le groupe de Galois contient tout autant d'éléments que la dimension de L comme espace vectoriel, l'extension est dite galoisienne. Dans une telle extension, les sous-corps de L contenant K sont en bijection avec les sous-groupes du groupe de Galois. L'analyse des propriétés de cette bijection est le contenu du théorème essentiel de cette théorie.

Cette approche structurelle, fréquemment reconnue comme l'origine de l'algèbre moderne, dépasse le cadre de l'étude de la résolution d'équations polynomiales. Avant les travaux de Galois, Carl Friedrich Gauss avait compris certains éléments de la théorie, ce qui lui sert à trouver un nouveau polygone régulier constructible à la règle et au compas. Il contient dix-sept sommets (cf l'article Polynôme cyclotomique) . La théorie classique des entiers algébriques utilise souvent les outils de cette théorie. Le calcul de grandeur comme la norme d'un entier ou le discriminant d'un anneau peut s'exprimer à l'aide du groupe de Galois. Cette propriété est à l'origine de nombreuses démonstrations comme celle du théorème des unités de Dirichlet.

Corps cyclotomique

Théorie des corps de classes

Arithmétique géométrique

Notes et références

  1. Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac [détail des éditions], vol. 3, Livre X, pp. 171-176

Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions] (en) Jürgen Neukirch, Algebraic number theory [détail des éditions]

Voir aussi

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