Théorème fondamental de l'arithmétique

En mathématiques, et surtout en arithmétique élémentaire, le théorème essentiel de l'arithmétique ou théorème de décomposition en produit de facteurs premiers ou théorème de factorisation unique s'énonce ainsi ...



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En mathématiques, et surtout en arithmétique élémentaire, le théorème essentiel de l'arithmétique ou théorème de décomposition en produit de facteurs premiers ou théorème de factorisation unique s'énonce ainsi :

Théorème essentiel de l'arithmétique — Chaque entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs.

A titre d'exemple, nous pouvons écrire

6936=2ˆ3\times3\times17ˆ2 ou encore 1200=2ˆ4\times3\times5ˆ2

et il n'existe aucune autre factorisation de 6936 ou 1200 sous forme de produits de nombres premiers, excepté par réarrangement des facteurs ci-dessus.

Le nombre 1 est le produit de zéro nombre premier (voir produit vide), de sorte que le théorème est aussi vrai pour 1.

Ce résultat se généralise sur d'autres ensembles comme les anneaux factoriels ou les polynômes à cœfficients dans les nombres réels ou complexes (cf arithmétique des polynômes) .

Histoire

Dans le livre VII de ses Éléments, Euclide décrit que tout nombre non premier est divisible par un nombre premier[1]. Cette proposition plus faible que le théorème essentiel de l'arithmétique, est suffisante pour certaines applications. Le résultat était déjà connu et utilisé par des civilisations antérieures.

En 1801 dans son ouvrage Recherches arithmétiques, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) développe des arithmétiques sur d'autres structures. L'existence d'une factorisation est étendue aux entiers relatifs, aux polynômes à cœfficients dans un corps ainsi qu'à un nouvel anneau d'entiers algébriques, les entiers de Gauss. La notion de nombre premier est alors étendue. Elle s'applique de la même manière pour les polynômes irréductibles ou les nombres premiers de Gauss. Dans tous ces cas, la décomposition est complétée par un facteur correspondant à un élément inversible. Dans le cas des entiers relatifs le facteur est égal à (+ 1) si le nombre est positif et (- 1) s'il est négatif.

La décomposition est toujours généralisée à toute une classe d'anneaux : les anneaux factoriels.

Démonstration

La démonstration est constituée de deux parties : premièrement, nous avons à montrer que (1) chaque nombre peut vraiment être écrit comme un produit de nombres premiers ; puis nous avons à montrer que (2) deux représentations d'un même nombre sont principalement les mêmes.

(1) Existence

La preuve de l'existence s'appuie sur le principe de récurrence ou une propriété équivalente (que la totalité des entiers naturels vérifie par construction).

Raisonnement par récurrence :

Par application du principe de récurrence, l'ensemble des entiers naturels peuvent s'écrire comme produit de nombres premiers.

Des variantes de cette démonstration s'appuyant sur le principe de descente illimitée de Fermat, ou sur l'existence d'une limite inférieure à toute partie de N sont principalement équivalentes.

(2) Unicité

La preuve de l'unicité peut être obtenue à partir du lemme d'Euclide selon lequel, si un nombre premier p divise un produit ab, alors il divise a ou il divise b (lemme qui découle lui-même de l'identité de Bézout) ). Maintenant, prenons deux produits de nombres premiers qui sont égaux. Prenons n'importe quel nombre premier p du premier produit. Il divise le premier produit, et , de là, aussi le second. Par ce qui précède, p doit alors diviser au moins un facteur dans le second produit. Mais les facteurs sont tous des nombres premiers eux-mêmes, par conséquent p doit être égal à un des facteurs du second produit. Nous pouvons par conséquent simplifier par p les deux produits. En continuant de cette manière, nous voyons que les facteurs premiers des deux produits coïncident exactement.

Autre démonstration de l'unicité
Une autre démonstration de l'unicité de la factorisation d'un entier donné utilise la descente illimitée.
On suppose qu'un certain entier peut être écrit comme (au moins) deux produits différents de nombres premiers, alors il doit exister un plus petit entier s avec ce genre de propriété. Appelons les deux produits égaux à s respectivement p1 ×... × pm et q1 ×... × qn. Il ne peut y avoir de facteur commun entre les deux produits, sinon il existerait un entier plus petit factorisable de deux manières (en simplifiant les facteurs premiers communs des deux produits). Nous pouvons désormais assurer sans perte de généralité que p1 est un facteur premier plus petit que n'importe quel q j (avec 1 ≤ j ≤ n). Divisons q1 par p1 : il existe des entiers d et r tels que q1 = p1 × d + r avec 0 < r < p1 (r ne peut être nul puisque q1 est premier et p1 < q1). Par substitution dans q1 ×... × qn nous obtenons immédiatement p1 ×... × pm = p1 × d × q2 ×... × qn + r × q2 ×... × qn. On voit que p1 divise le premier membre de l'égalité ci-dessus mais aussi le premier terme du second membre. Il divise par conséquent aussi r × q2 ×... × qn. Or comme r < p1 < q1 on voit que r × q2 ×... × qn est strictement inférieur à s et admet par conséquent une unique factorisation en nombres premiers. Or p1 divise ce nombre par conséquent devrait en être un facteur premier, mais ne peut être aucun des q j (2≤j) ni aucun des facteurs premiers de r puisque r < p1 d'où la contradiction. Donc, l'affirmation de départ doit être fausse, ce qui montre l'unicité de la décomposition.

Applications

Le théorème essentiel de l'arithmétique implique que tout entier naturel admet un facteur premier. Euclide utilisa ce résultat pour démontrer que les nombres premiers sont en quantité inépuisable : pour une famille finie de nombres premiers, le produit des éléments de cette famille augmenté de 1 est soit premier, soit divisible par un nombre premier qui n'est pas dans la famille d'origine. En conséquence, aucune famille finie ne contient l'ensemble des nombres premiers (cf Théorème d'Euclide sur les nombres premiers) .

Le théorème essentiel intervient explicitement dans l'étude des fonctions additives et multiplicatives. Surtout, toute fonction totalement multiplicative est seulement déterminée par les valeurs prises en les entiers premiers.

Cependant, la preuve de l'existence donnée ci-dessus ne donne pas un algorithme efficace de la recherche de la décomposition d'un entier naturel en produit de nombres premiers.

Notes et références

  1. Lire la proposition 31 du livre VII

Voir aussi

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