Théorème des deux carrés de Fermat

En mathématiques, le théorème des deux carrés de Fermat décrit les conditions pour qu'un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits et précise de combien de façons différentes il peut l'être.



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Théorème d'algèbre - Équation diophantienne - Arithmétique modulaire - Entier quadratique

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  • donc il sera facile de démontrer que pour N = 2 les solutions sont équivalente a... une puissance impaire elle éxistera dans le carré de cette puissance par ex N = 3 et N = 6.... Une nouvelle démonstration du théorème de Fermat -Wiles?... (source : forums.futura-sciences)
Pierre Fermat

En mathématiques, le théorème des deux carrés de Fermat décrit les conditions pour qu'un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits (c'est-à-dire de deux carrés d'entiers) et précise de combien de façons différentes il peut l'être. A titre d'exemple, selon ce théorème, un nombre premier impair est une somme de deux carrés parfaits si et uniquement si le reste de sa division euclidienne par 4 est 1 ; dans ce cas, les carrés sont déterminés de manière unique. On peut le vérifier sur 17 (= 4x4 + 1) ou 97 (= 24x4 + 1), qui sont bien tous deux d'une seule façon une somme de deux carrés (17 =1²+4² et 97 = 9²+4²), tandis que des nombres premiers comme 7 (=4x1+3) ou 31 (4x7+3) ne sont pas des sommes de deux carrés. Ce résultat est quelquefois appelé simplement théorème des deux carrés ou bien toujours théorème de Fermat de Noël.

Il s'inscrit dans la longue histoire de la représentation de nombres comme sommes de carrés qui remonte à l'Antiquité. Il est explicité par Pierre de Fermat (1601-1665) au XVIIe siècle, mais la première preuve publiée connue est l'œuvre de Leonhard Euler un siècle plus tard. Sa démonstration ne clôt pas les interrogations. Des nouvelles preuves et diverses généralisations sont proposées au cours des siècles suivants. Elles ont joué un rôle important dans le développement d'une branche des mathématiques nommée théorie algébrique des nombres.

À l'instar largement d'équations diophantiennes, c'est-à-dire d'équations dont les cœfficients et les solutions cherchées sont des nombres entiers ou fractionnaires, la simplicité de l'énoncé cache une difficulté réelle de démonstration. Certaines des preuves proposées ont aidé à la mise au point d'outils quelquefois particulièrement élaborés, comme les courbes elliptiques ou la géométrie des nombres, liant ainsi la théorie des nombres élémentaire à d'autres branches des mathématiques.

Présentation du théorème

Le cas des nombres premiers

Certains nombres premiers sont sommes de deux carrés parfaits. C'est évidemment le cas de 2 (=12 + 12), de même, 5 est la somme de 1 et de 4. D'autres comme 3 ou 7 ne vérifient pas cette propriété. Un test systématique jusqu'à 40 montre que :

5 = 1ˆ2 + 2ˆ2, \quad 13 = 2ˆ2 + 3ˆ2, \quad 17 = 1ˆ2 + 4ˆ2, \quad 29 = 2ˆ2 + 5ˆ2, \quad 37 = 1ˆ2 + 6ˆ2.

En revanche, 3, 7, 11, 19, 23 et 31 ne se décomposent pas ainsi. Le théorème apporte un critère général servant à discriminer ces deux situations :

Théorème des deux carrés de Fermat (cas des nombres premiers)  — Soit p un nombre premier impair, p est somme de deux carrés d'entiers naturels si et uniquement si p est congru à 1 modulo 4 :

\exists x,y\in \N \quad /\quad p = xˆ2 + yˆ2\quad \Leftrightarrow \quad p\equiv 1 \pmod{4}.

De plus, cette décomposition, lorsqu'elle existe, est unique, à l'échange près de x2 et y2.

Dire que "p est congru à 1 modulo 4" veut dire simplement que le reste de la division euclidienne de p par 4 est 1, ou encore que le nombre p est de la forme 4k+1. Ce vocabulaire est explicité dans l'article Congruence sur les entiers.

Le cas général

Si, tout d'abord, les entiers inférieurs à 50 sont écrits sur quatre lignes, selon le reste de leur division par quatre, on obtient :

{\color{OliveGreen}4},{\color{OliveGreen}8},{\color{red}12},{\color{OliveGreen}16},
        {\color{OliveGreen}20},{\color{red}24},{\color{red}28},{\color{OliveGreen}32},{\color{OliveGreen}36},
        {\color{OliveGreen}40},{\color{red}44},{\color{red}48}
{\color{OliveGreen}1},{\color{OliveGreen}5},{\color{OliveGreen}9},{\color{OliveGreen}13},
        {\color{OliveGreen}17},{\color{red}21},{\color{OliveGreen}25},{\color{OliveGreen}29},{\color{Red}33},
        {\color{OliveGreen}37},{\color{OliveGreen}41},{\color{OliveGreen}45},{\color{OliveGreen}49}
{\color{OliveGreen}2},{\color{Red}6},{\color{OliveGreen}10},{\color{Red}14},
        {\color{OliveGreen}18},{\color{Red}22},{\color{OliveGreen}26},{\color{Red}30},{\color{OliveGreen}34},
        {\color{Red}38},{\color{Red}42},{\color{red}46},{\color{OliveGreen}50}
{\color{Red}3},{\color{Red}7},{\color{Red}11},{\color{Red}15},
        {\color{Red}19},{\color{Red}23},{\color{Red}27},{\color{Red}31},{\color{Red}35},
        {\color{Red}39},{\color{Red}43},{\color{red}47}

Les entiers notés en vert sont ceux qui peuvent s'écrire comme la somme de deux carrés parfaits, les entiers pour lesquels une telle écriture est impossible sont notés en rouge. On constate que la quatrième ligne ne contient pas de solution. Or le produit d'un nombre pair de facteurs de la forme 4k+3 est de la forme 4k+1, par conséquent cette dernière ligne ne contient que des nombres qui ont un nombre impair de facteurs premiers de la forme 4k+3. Ceci donne une piste pour comprendre la situation générale.

Le cas d'un nombre n quelconque dépend de ses facteurs premiers. On a :

Théorème des deux carrés (cas général)  — Un entier est somme de deux carrés si et uniquement si chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k + 3 intervient à une puissance paire.

Ainsi 30 n'est pas somme de carrés, car 30 = 2.3.5, 3 intervient avec un exposant 1 dans sa factorisation en facteurs premiers. Par contre, 45 = 32. 5 est somme de carrés, car 3 intervient à la puissance 2 (on trouve quoique 45 = 62 + 32).

La question du nombre de couples de carrés dont la somme est égale à un entier n donné, est aussi plus complexe, ce nombre dépend des exposants des facteurs de n de la forme 4k+1. En écrivant n=n'p_1ˆap_2ˆbp_3ˆc..., où n'est divisible uniquement par 2 et des facteurs premiers de la forme 4k+3, et où les différents pi sont les facteurs premiers de la forme 4k+1, alors n a 1/2 (a+1) (b+1) (c+1)... décompositions différentes en somme de deux carrés si un au moins des exposants a, b, c, ... est impair et 1/2 (a+1) (b+1) (c+1)... +1/2 décompositions si l'ensemble des exposants sont pairs.

Une autre expression équivalente de ce nombre de décompositions a été donnée par Charles Gustave Jacob Jacobi (1804-1851)  :

Théorème des deux carrés (compléments)  — Soit n un entier \geq 1 et r2 (n) le nombre de représentations de n comme somme de deux carrés. Soit d1 (resp. d3) le nombre de diviseurs (pas obligatoirement premiers) de n congrus à 1 (resp. 3) modulo 4, la formule suivante est vérifiée :

r2 (n) = 4 (d1 (n) − d3 (n) ).

On compte l'ensemble des représentations, même celles qui ne changent que par le signe ou l'ordre. A titre d'exemple, 5 = (\pm 2)ˆ2 + (\pm 1)ˆ2 = (\pm 1)ˆ2 + (\pm 2)ˆ2 admet 8 représentations comme somme de deux carrés. On trouve cet énoncé et une preuve dans Introduction à la théorie des nombres de Hardy & Wright, théorème 278.

Un dernier aspect important est la construction explicite des carrés dont la somme est égale à un entier n donné.

Histoire

Antiquité : premiers résultats

Édition de 1670 des Arithmétiques de Diophante d'Alexandrie.

L'intérêt pour les sommes de carrés remonte à l'Antiquité : on trouve de telles sommes dans des tablettes en cunéiforme du début du 2e millénaire avant notre ère et deux lemmes ajoutés au théorème X. 28 dans les Éléments d'Euclide expliquent comment construire des carrés parfaits sont la somme ou la différence forment toujours des carrés parfaits, ou au contraire comment ne pas obtenir un carré en sommant deux carrés[1].

Mais c'est dans la tradition diophantienne qu'on trouve des traces plus précises sur les nombres sommes de carrés. Les Arithmetica[2], composées à une date incertaine, contiennent des problèmes dont les solutions cherchées sont rationnelles ou entières. La plupart d'entre eux concerne les nombres carrés ou cubiques (en l'occurrence des carrés ou des cubes de nombres rationnels). À titre d'exemples, le problème 11 du livre II est le suivant : «Ajouter un même nombre à deux nombres donnés de manière que chacun d'eux forme un carré», ou encore le problème 22 du livre IV : «Trouver trois nombres tels que le nombre solide issu de ces nombres [c'est à dire, le produit de ces trois nombres], augmenté de chacun d'eux, forme un carré. [3]». Pour résoudre toutes ces questions, Diophante introduit une «quantité indéterminée d'unités» qu'il nomme «arithme» et exprime en fonction d'elle l'ensemble des données du problème (c'est par conséquent un ancêtre de la notion d'inconnue en algèbre). Il arrive ainsi à trouver une solution numérique spécifique, par exemple pour le problème II. 11 la solution 97/64 si les nombres donnés sont 2 et 3, et pour le problème IV. 22, la solution 1, 34/6 et (2.1/2) /6.

Plusieurs mentions pertinentes pour la détermination des nombres sommes de deux carrés apparaissent de manière dispersée dans divers problèmes. A titre d'exemple, Diophante note sans explication que 15 ne peut être la somme de deux carrés de nombres rationnels au milieu de la solution du problème VI. 14. Dans le livre III, il affirme que le nombre 65 est une somme de deux carrés de deux façons différentes, car c'est le produit de 5 et 13, eux-mêmes sommes de deux carrés[4]. Un autre problème concerne le fait de «partager l'unité en deux parties et ajouter à chacun des fragments un nombre donné, de façon à former un carré.». Ceci revient à chercher une expression de :

 \frac ad + \frac bd = 1 \; ,\quad c+\frac ad\; ,\; c+ \frac bd\; sont des carrés de nombres rationnels. Ici :  a,b,c,d\in \mathbb N\;

Ceci revient à chercher 2c + 1 comme somme de deux carrés. Diophante dit explicitement que c doit être pair, c'est à dire que la division de 2c + 1 par 4 donne pour reste 1[5].

Certains mathématiciens lecteurs de Diophante étudieront de manière plus systématique et plus arithmétique les nombres sommes de carrés, surtout la tradition en langue arabe d'al-Khazin, al-Sizji, al-Samaw'al, etc. [6]. Leur perspective combine, sur les problèmes diophantiens qui s'y prêtent, des techniques inspirées de l'algèbre naissante et un point de vue euclidien, surtout une focalisation sur les nombres entiers et des preuves générales. A titre d'exemple, ils montrent qu'une somme impaire de deux carrés premiers entre eux est de la forme 12k+5 ou 12k+1. Un contexte important est l'étude des triangles rectangles en nombres, ou triplets pythagoriciens, c'est-à-dire des nombres vérifiant a2 + b2 = c2 : en effet, si les côtés a, b, c sont premiers entre eux, c lui-même s'écrit comme une somme de carrés.

XVIIe siècle : Les énoncés

Marin Mersenne, Minime et homme de science, établit un contact épistolaire solide entre Pierre Fermat et ses contemporains.

C'est en lien direct avec les éditions et commentaires des Arithmétiques de Diophante qu'on trouve au XVIIe siècle une exploration plus sytématique, puis les premiers énoncés complets de ce théorème.

Albert Girard achève ainsi la traduction de Simon Stevin des ouvrages de Diophante et dans ses annotations, en 1634, annonce que les nombres s'exprimant comme somme d'au plus deux carrés sont «les carrés, les nombres premiers de la forme 4k+1, les produits de nombres de ces deux formes et le double de chacun des nombres obtenus», c'est-à-dire un énoncé équivalent à l'énoncé général donné ci-dessus[7]. Aucun élément de preuve n'est cependant apporté.

C'est environ à la même date que Marin Mersenne (1588-1648) met en place à Paris une académie toute mathématique communiquant les résultats des différents travaux, et appuyée sur un important réseau de correspondants à travers toute l'Europe. Y participent des noms restés plus ou moins célèbres comme Étienne et Blaise Pascal (1623 1662) , René Descartes, Bernard Frénicle de Bessy (1605 1675) , Gilles Personne de Roberval ou encore Pierre de Carcavi, bibliothécaire du Roi. Cette correspondance est une des deux principales sources pour les travaux arithmétiques de Pierre Fermat, l'autre étant ses propres commentaires à l'édition de Diophante qu'a donnée Claude Gaspard Bachet de Méziriac en 1621[8]. Dans ses travaux de théorie des nombres, Bachet s'inscrit dans la tradition de l'analyse diophantienne entière, il donne de nouveaux exemples numériques en entiers, et en particulier des preuves à la mode euclidienne de nombreuses propositions[9]. Surtout il prouve que le produit de deux sommes de deux carrés est une somme de deux carrés, de deux façons différentes[10] ; plus exactement, en notation algébrique actuelle :

(aˆ2+bˆ2)(cˆ2+dˆ2)=(ac\pm bd)ˆ2+(ad\mp bc)ˆ2.

Cette identité est principale pour passer du cas des nombres premiers au cas général.

Mersenne encourage ses correspondants à se proposer mutuellement des problèmes, afin d'en tester la difficulté auprès des autres mathématiciens et de les stimuler dans leurs recherches. L'un des premiers proposés à Fermat en 1636 concerne les sommes de plusieurs carrés, et dès mars 1638, Mersenne indique à Descartes que Fermat a prouvé qu'un nombre de la forme[11] 4''k''+3 n'est ni carré, ni somme de deux carrés (rationnels). En 1640, reprenant contact avec Roberval après une interruption de leur correspondance, Fermat lui rappelle ce résultat déjà légèrement ancien et explique :

Voici ce que j'ai découvert depuis sur le sujet de la proposition 12 du cinquième Livre de Diophante [12]. Si un nombre donné est divisé par le plus grand carré qui le mesure et que le quotient se trouve mesuré par un nombre premier moindre de l'unité qu'un multiple du quaternaire, le nombre donné n'est ni carré, ni composé de deux carrés (rationnels).... J'ai démontré ensuite... [que s]i un nombre se compose de deux carrés premiers entre eux, je dis qu'il ne peut être divisé par aucun nombre premier moindre de l'unité qu'un multiple du quaternaire[13].

Le début de la Méthode des exclusions de Bernard Frenicle de Bessy, publiée en 1693 : on y trouve des tables de sommes de carrés et des problèmes fondés sur le théorème des deux carrés

C'est à dire, en termes plus modernes, si on écrit un nombre n sous la forme n'ˆ2\prod p_i et qu'un des facteurs premiers pi est de la forme 4k-1, n n'est pas une somme de carrés, ni en entiers, ni en nombres rationnels (c'est-à-dire ne divise même pas une somme de carrés). Et si p premier divise a2 + b2, avec a et b premiers entre eux, alors p n'est pas de la forme 4k-1 (c'est par conséquent 2 ou un premier de la forme 4k+1).

Mais c'est en particulier dans une longue missive à Mersenne[14] datée du jour de Noël que Fermat décrit ses fondements pour résoudre l'ensemble des problèmes liés aux sommes de carrés. Pour cette raison, le théorème est quelquefois nommé théorème de Fermat de Noël.

Tout nombre premier [=p], qui surpasse de l'unité un multiple du quaternaire [tel que p = 4k + 1] est une seule fois la somme de deux carrés. De même son carré [p2]. Son cube [p3] et son carré-carré [p4] sont chacun deux fois la somme de deux carrés ; son carrécube [p5] et son cubecube [p6] sont chacun trois fois la somme de deux carrés; etc., à l'infini...

Ce résultat réapparaît dans le contexte de différents problèmes, Fermat y ajoute bientôt le problème de la construction même des carrés. Le théorème sur les sommes de carrés figure aussi dans les fameuses observations que Fermat a rédigé en marge de l'édition de Bachet des Arithmétiques de Diophante, observations qu'on connaît par la version posthume publiée par son fils en 1670[15].

L'interlocuteur principal de Fermat sur la théorie des nombres, Frenicle, manifeste d'ailleurs qu'il a trouvé aussi cet énoncé : il demande par exemple à Fermat de trouver le plus petit nombre qui soit somme de deux carrés précisément un nombre de fois donné, et consacre le 5e exemple de son propre traité La Méthode des Exclusions au problème : «un nombre étant donné, déterminer combien de fois il est la somme de deux carrés».

Le XVIIe siècle : qu'en est-il des preuves ?

Si l'énoncé est un bien collectif pour ces mathématiciens, il n'en est pas de même de la démonstration. Éliminer les diviseurs premiers de la forme 4k-1 peut se faire en considérant simplement les restes de la division des carrés par 4 : sollicité par Mersenne, comme indiqué, Descartes délègue un de ses protégés, Jean Gillot, pour résoudre la question avec succès. Le dénombrement des solutions, une fois l'identité «de Brahmagupta» connue, est un exercice de combinatoire que plusieurs auteurs, comme Frenicle par exemple mènent aussi à bien. Reste la preuve que tout nombre premier de la forme 4k+1 est une somme de carrés parfaits. Or, il existe peu (voire absolument pas) de modèles de telles preuves d'existence dans un contexte arithmétique. L'interprétation géométrique des nombres entiers, à la base des preuves euclidiennes, est particulièrement lourde. Une solution consiste en une réinterprétation algébrique de ces problèmes : tout comme Stevin, François Viète, l'inventeur d'une des premiers symbolismes algébriques cohérents à grande échelle, a ainsi reformulé une grande partie des Arithmétiques de Diophante à la fin du XVIe siècle. Mais, géométrie ou algèbre, comment garder trace du fait qu'on cherche ici des solutions entières ? Fermat est tout spécifiquement conscient de cette difficulté : dans un défi mathématique aux mathématiciens d'Europe, en 1657, il déclare : «À peine trouve-t-on qui pose des problèmes purement arithmétiques, ni qui les comprenne. N'est ce pas parce que jusqu'ici l'arithmétique a été traité géométriquement plutôt qu'arithmétiquement[16] ?»

C'est dans l'objectif de développer cette analyse diophantienne entière, avec des preuves, que Fermat a mis au point une méthode, celle qu'il appelle la descente illimitée[17] et qui, selon ses dires, lui permet d'en venir à bout :

Je fus longtemps sans pouvoir appliquer ma méthode aux questions affirmatives, parce que le tour et le biais pour y venir est bien plus malaisé que celui dont je me sers aux négatives. De sorte que, quand il me fallut démontrer que tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple de 4, se compose de deux quarrés, je me trouvai en belle peine. Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient, et les questions affirmatives passèrent par ma méthode, avec quelques nouveaux principes qu'il y fallut joindre par obligation. [18]

Fermat avait-il d'une démonstration complète de son théorème ? Aucune preuve rédigée par lui de ce théorème n'a subsisté. Par contre, les ingrédients qu'il a mis au point (petit théorème de Fermat, descente illimitée) permettent effectivement d'en fabriquer une et plusieurs historiens se sont livrés à cet exercice de reconstruction[19].

Comme quelques autres, les premiers cas de son Grand Théorème surtout, l'énoncé sur les sommes de deux carrés occupe en tout cas une place centrale dans le programme de Fermat pour rénover la théorie des nombres. Quatorze ans plus tard, bien après la mort de Mersenne, on voit réapparaître ces énoncés dans un projet d'ouvrage que Fermat adresse à Blaise Pascal, puis en 1658 au cours d'un échange avec les mathématiciens anglais, John Wallis et William Brouncker, et un an plus tard, dans un bilan sur la théorie des nombres destinée au jeune Christiaan Huygens. Fermat remarque aussi que des lois analogues peuvent être trouvées pour les nombres premiers x2 + 2. y2 = p et x2 + 3. y2 = p[20].

XVIIIe siècle : Preuves et extensions

Leonhard Euler rédige la première preuve connue.

L'environnement scientifique du siècle suivant est bien différent. Les mathématiques se sont professionnalisées partout en Europe et des journaux réguliers, surtout les publications des diverses Académies des sciences, offrent la possibilité de publier au fur et à mesure résultats et preuves. Leonhard Euler (1707-1783) s'est intéressé au théorème des deux carrés, comme à énormément d'autres résultats de théorie des nombres laissés par Fermat[21], et on lui doit les premières preuves connues de ces énoncés.

La référence géométrique à des triangles rectangles de côtés entiers disparait totalement au profit d'un formalisme purement algébrique. Euler étudie surtout, à côté d'autres équations diophantiennes, les trois familles d'équations suivantes :

(1)\quad xˆ2 \pm n = p.y
(2)\quad xˆ2-n.yˆ2 = 1
(3)\quad xˆ2 \pm n.yˆ2 = p
Joseph-Louis Lagrange développe un outil essentiel pour généraliser le résultat : les formes quadratiques.

Ici, n sert à désigner un nombre entier strictement positif et p un nombre premier. La dernière équation généralise celle associée au théorème des deux carrés (cas où n est égal à un).

En ce qui concerne le théorème des deux carrés, Euler montre en premier lieu qu'un nombre premier p = 4n − 1 ne divise pas une somme de deux carrés premiers entre eux, a2 + b2, en appliquant le petit théorème de Fermat. Il montre aussi qu'un diviseur d'une somme de deux carrés a2 + b2 est toujours de cette forme (et par conséquent s'il est premier, c'est soit 2 soit un entier de la forme 4n+1)  ; ce résultat couvre au cas de n=2 ou 3 (on trouve qu'un diviseur impair premier est congru à 1 ou 3 modulo 8 pour n=2 ainsi qu'à 1 modulo 3 pour n=3) ; dans ces derniers cas, la preuve inverse repose aussi sur des identités de puissances n-ièmes et le petit théorème de Fermat.

On trouve trace de ces résultats au fil de sa correspondance avec Christian Goldbach[22] (qui contribue lui-même à cette étude), dès le début des années 1740, avec des publications détaillées, dans les Mémoires de l'Académie de Saint-Pétersbourg surtout, une décennie plus tard[23]. André Weil évoque cette période comme une «campagne de sept années» pour prouver l'ensemble des assertions de Fermat sur les sommes de deux carrés ; jusque dans les années 1770, Euler y revient toujours pour donner des variantes de ses preuves et de ces résultats.

Euler accumule aussi toutes sortes d'expérimentations numériques. Il conjecture dans ce contexte un résultat nommé à devenir une des lois centrales de la théorie des nombres, la loi de réciprocité quadratique, sans pouvoir le démontrer[24].

Reprenant une suggestion de Fermat, il interprète aussi le théorème sur les sommes de carrés comme un test de primalité[25]. En effet, un nombre de la forme 4n + 1 est premier si et uniquement s'il s'écrit d'une seule façon comme somme de deux carrés, et que ces carrés sont premiers entre eux. Ce critère autorise Euler de montrer que le 5e nombre de Fermat, 2ˆ{2ˆ5}+1, n'est pas premier car il s'écrit de deux manières comme somme de carrés :

(216) 2 + 12 = 622642 + 204492.

Euler cherche aussi à déterminer pour quels entiers μ, ν, l'étude des nombres représentables sous la forme μx2 + νy2 lui apporterait toujours un critère de primalité analogue. Avec l'aide de ses assistants, il trouve que le critère marche quand le produit μν fait partie d'une liste de 65 nombres, qu'il baptise numeri idonei, nombres idoines [26]. En utilisant le plus grand de ces nombres, 1848, Euler montre par exemple que 18518809 (= 1972 + 180480000) est premier.

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) intègre les résultats tant théoriques que numériques d'Euler et les étend, dans un long mémoire en deux parties, intitulé «Recherches d'arithmétique»[27]. Lagrange ne se limite pas à l'étude des nombres représentés par des sommes de carrés, mais étudie d'une façon plus générale les nombres entiers qui peuvent s'écrire sous la forme ax2 + bxy + cy2, pour des entiers x, y à trouver, les entiers a, b, c étant fixés. Une telle expression est nommée une forme quadratique[28] binaire (c'est-à-dire du deuxième degré ainsi qu'à deux variables). Le théorème des deux carrés concerne la forme quadratique x2 + y2, c'est-à-dire celle pour laquelle a = c = 1, b = 0. Lagrange montre surtout que deux formes f (x, y) et F (X, Y) représentent les mêmes entiers si un changement de variables x = αX + βY, y = γX + δY (avec des cœfficients α, β, γ, δ entiers et tels que[29] \alpha\delta-\beta\gamma=\pm 1) transforme l'une en l'autre, et que pour deux formes ainsi reliées, la quantité b2 − 4ac, le discriminant de la forme, est semblable. De telles formes seront nommées «équivalentes» par Gauss quelques décennies plus tard et l'exploration de cette relation entre formes quadratiques par Lagrange forme l'une des premières études connues d'une relation d'équivalence. Pour un discriminant donné, il n'y a qu'un nombre fini de classes de formes, à équivalence près[30].

Lagrange remarque que les deux nombres entiers a et c sont représentés de manière primitive, c'est-à-dire avec des entiers x, y premiers entre eux par la forme quadratique ax2 + bxy + cy2 (puisque a = f (1, 0), c = f (0, 1) , et aussi par toute forme équivalente ; réciproquement, il établit que tout nombre entier représentable de manière primitive par une forme est le cœfficient du terme en X2 pour une autre forme équivalente à la première, et que tout diviseur d'une forme est représentable par une forme de même discriminant (pas obligatoirement équivalente). Surtout, si un nombre premier p divise la valeur en des entiers d'une forme quadratique, le discriminant D de la forme est un carré modulo p. La loi de réciprocité permet d'exprimer à l'inverse cette condition comme l'appartenance de p à certaines classes de congruence modulo la valeur absolue du discriminant (généralisant le fait que p doit être congru à 1 modulo 4 pour être représenté par une somme de carrés, c'est-à-dire une forme quadratique de discriminant -4).

Lagrange montre enfin comment, dans chaque classe de formes équivalentes, trouver des formes représentantes spécifiquement simples : pour un discriminant négatif, il peut définir une forme représentante unique (dite forme réduite) par classe, pour un discriminant positif, la caractérisation des formes réduites fait appel à son étude sur l'équation (2) ci-dessus ainsi qu'aux fractions continues[31].

Adrien-Marie Legendre (1752-1833) apporte sa pierre à l'édifice. Avant la fin du siècle, il introduit un symbole portant désormais son nom permettant d'exprimer plus simplement la loi de réciprocité quadratique, même si la démonstration complète de cette loi lui échappe toujours[32].

XIXe siècle : nouveaux outils et nouveaux cadres

Carl Friedrich Gauss propose une nouvelle preuve et développe plusieurs outils connexes au théorème.

Au cours du XIXe siècle, l'étude des problèmes sur les nombres entiers change de statut. D'une part, elle donne lieu à de vastes synthèses théoriques, unifiant de nombreuses questions jusqu'alors éparses. D'autre part, de marginale qu'elle était dans la totalité des mathématiques, elle devient l'objet de nombreuses interactions avec d'autres branches, comme la géométrie ou l'analyse réelle ou complexe[33]. Le théorème des deux carrés bénéficie de ce double changement : il est intégré dans de nouveaux cadres, utilisé quelquefois comme une illustration des propriétés plus ou moins profondes mises à jour, et il est démontré plus directement, ou affiné, grâce à l'emploi de méthodes géométriques ou analytiques.

En 1801, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publie un ouvrage d'arithmétique[34] novateur. La logique suivie consiste à étudier les nombres avec une démarche structurelle. Il découvre que de multiple configurations, désormais dénommées anneau euclidien bénéficiant des mêmes propriétés et par conséquent d'une arithmétique analogue. Elle est quelquefois nommée arithmétique de l'horloge. De nouveaux ensembles de nombres sont étudiés, quelquefois de cardinal fini, quelquefois généralisant les entiers. Ces résultats offrent des démonstrations plus simples du théorème des deux carrés[35], permettent de prouver la loi de réciprocité quadratique[36] et étendent la classification des formes quadratiques de Lagrange[37].

Les travaux de Gauss influencent les mathématiciens du siècle, Jacobi les utilisent pour établir une démonstration du nombre exact de décompositions d'un entier en deux carrés[38]. Richard Dedekind (1831-1916) , le dernier en date des élèves de Gauss, propose deux preuves à la fois élégantes et concises avec entiers de Gauss. Celle présentée dans cet article est la seconde[39].

Si les idées de Gauss permettent de mieux comprendre les nombres, le cas général reste hors de portée. Pour y arriver, il faudrait être capable de classifier l'ensemble des formes quadratiques et les avancées du mathématicien sont insuffisantes. Cette classification suppose la connaissance des structures des extensions d'entiers, nommées entiers algébriques. Si ces ensembles disposent toujours d'une addition et d'une multiplication conférant une structure d'anneau, plus la valeur n augmente plus elle devient complexe. La division euclidienne disparait, puis, fait toujours plus gênant, le théorème essentiel de l'arithmétique garantissant l'unicité de la décomposition en facteurs premiers s'évanouit à son tour.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) élucide la structure des éléments inversibles, Ernst Kummer (1810-1893) trouve comment remplacer les facteurs premiers manquant avec une notion désormais nommé idéal, Evariste Galois (1811-1832) ébauche une vaste théorie servant à mieux comprendre comment les nombres se multiplient. Chacun des progrès, conséquence de l'œuvre de ses différents savants, sert à résoudre quelques cas supplémentaires[40]. Le cas général n'est finalement résolu qu'à la dernière année du siècle grâce à la touche finale[41] de David Hilbert (1862-1943) .

Démonstrations

Les différentes démonstrations sont regroupées en fonctions des époques et des auteurs. Par contre, la rédaction choisie utilise le formalisme moderne : ainsi, la présentation des résultats de Diophante est particulièrement éloignée de la forme géométrique présente dans les textes originaux. Les preuves ont été choisies pour leur simplicité. En conséquence, la démonstration fondée sur les entiers de Gauss est due à Dedekind, celle utilisant les résultats de Lagrange sur les formes quadratiques est due à Gauss et certains résultats de Fermat sont exprimés en termes de résidus, terme contemporain qui n'apparait qu'à la fin du XVIIIe siècle.

Époque de Diophante

Une première approche élémentaire montre que :

  • Si un entier n est somme de deux carrés, alors le reste de la division de n par 4 n'est jamais égal à 3.

Elle se démontre en étudiant les restes de la division euclidienne par 4 d'un carré parfait.

Une identité remarquable, fréquemment dénommée identité de Brahmagupta permet d'établir le résultat suivant :

  • Si deux entiers n et m sont sommes de deux carrés, alors leur produit est aussi somme de deux carrés.

Les deux entiers n et m peuvent être vus comme le carré du module de deux nombres complexes à parties réelle et imaginaire entières. Comme le produit de deux modules est égal au module du produit, il suffit de considérer les parties réelles et imaginaires du produit pour conclure.

Il est aussi envisageable d'établir directement l'identité sans référence aux nombres complexes :

Conséquences de l'identité de Brahmagupta

L'identité de Brahmagupta permet d'aller plus loin dans l'analyse de l'équation. Elle sert à montrer que[42] :

  • Si un nombre premier p est somme de deux carrés, alors les deux carrés sont uniques.

Une autre propriété est utile :

  • Si un entier n, somme de deux carrés, est divisible par un nombre premier m, somme de deux carrés, alors le quotient est lui-même somme de deux carrés.

La démonstration est de même nature que la précédente, elle est fondée sur des calculs algébriques astucieux utilisant la même identité. Ce résultat est parfois utilisé pour établir une preuve du théorème. Il permet d'avancer aussi l'analyse du cas général. Il permet par exemple de démontrer la proposition suivante, présente dans une des preuves du théorème :

  • Si un nombre n, somme de deux carrés, est divisible par un nombre m, qui n'est pas somme de deux carrés, alors le quotient q contient un facteur premier qui n'est pas somme de deux carrés.

Fermat et les résidus

Une autre étape de la démonstration consiste à étudier les restes de la division euclidienne par p de chacun des termes de l'équation x2 + y2 = p. Comme le reste du terme de droite est nul, celui du terme de gauche est aussi nul. Cette démarche revient finalement à trouver une solution à l'équation suivante :

(1)\quad xˆ2 + yˆ2 = k_1.p \quad\text{avec}\quad k_1 \in \mathbb N\;

L'objectif est de trouver les solutions telles que ni x ni y ne soient des multiples de p. Comme p est premier, cela veut dire que y et p sont premiers entre eux. L'identité de Bézout montre l'existence d'entiers α et β tels que :

 \alpha .y + \beta.p = 1 \quad \text{et}\quad \alphaˆ2 .yˆ2 = 1+\betaˆ2.pˆ2-2eta .p

En multipliant par α2 l'équation (1) et en remplaçant α2. y2 par la valeur calculée auparavant, on obtient :

(\alpha.x)ˆ2+ 1 = p.(\alphaˆ2.k_1 - \betaˆ2.p + 2eta)\quad \text{ou}\quad (2)\quad mˆ2 + 1 =k.p\quad\text{avec}\; m=\alpha.x \; \text{et}\; k = \alphaˆ2.k_1 - \betaˆ2.p + 2\beta\;

L'équation (2) admet toujours une solution si p est somme de deux carrés. Elle correspond à une simplification de l'équation générale, désormais connue sous le nom du problème du résidu quadratique. Elle revient à déterminer dans quel cas un multiple d'un nombre premier s'écrit comme la somme d'un carré parfait et de un. Si p est un nombre premier différent de deux, la solution est donnée par la proposition suivante :

  • Il existe un multiple de p s'écrivant comme somme d'un carré parfait et de un si et uniquement si le reste de la division euclidienne de p par quatre donne pour reste un.

La condition est indispensable, il a en effet déjà été démontré que le reste de la division euclidienne de m2 + 1 n'est jamais égal à trois. De nombreuses approches permettent d'établir la condition suffisante. L'une utilise le petit théorème de Fermat[43]. Une connaissance plus avancée en arithmétique modulaire permet une démonstration plus expéditive.

Euler et la descente illimitée

La démonstration d'Euler, présentée ici, suit précisément le plan indiqué par Fermat. Après l'utilisation du petit théorème de Fermat pour l'étude du résidu quadratique, il utilise la méthode de descente illimitée. Cette méthode, fréquemment utilisée en arithmétique, se fonde sur les propriétés des entiers positifs. Elle propose des raisonnements par l'absurde fondée sur le fait qu'il n'existe pas dans N (la totalité des entiers positifs) de suite illimitée strictement décroissante. La preuve consiste, avec hypothèses, à construire une suite illimitée strictement décroissante d'entiers positifs. Comme une telle suite n'existe pas, il est démontré qu'une hypothèse est fausse.

Les démonstrations de cette nature s'appliquent plus naturellement pour l'obtention de propriété d'inexistence de solutions. Fermat l'utilise surtout pour montrer une proposition équivalente à celle de son grand théorème pour n égal à quatre. La difficulté ici consiste à appliquer cette méthode pour démontrer un résultat positif : l'existence de solution[18]. Euler trouve une méthode astucieuse[43], il établit en premier lieu le lemme suivant en utilisant la descente illimitée :

  • Si un entier n est somme de deux carrés parfaits n = a2 + b2 et si a et b sont premiers entre eux, alors chaque facteur premier de n est somme de deux carrés.

Une fois ce résultat établi, la démonstration est brève. Le paragraphe précédent montre qu'il existe un entier k tel que k. p soit somme de deux carrés m2 + 12. Les deux entiers m et 1 sont premiers entre eux car 1 est premier avec l'ensemble des entiers. Le facteur p est par conséquent, selon la proposition précédente, somme de deux carrés.

Lagrange et les formes quadratiques

Si la démonstration d'Euler possède l'avantage de clore une conjecture de plus d'un siècle, elle est difficilement généralisable et ne permet guère de progresser sur l'équation diophantienne x2 + n. y2 = p.

Lagrange utilise une démarche moins entachée de cette faiblesse. Il considère l'expression x2 + y2 comme la forme quadratique associée au produit scalaire canonique. Cette approche élargit énormément la liste des outils disponibles, ceux de l'algèbre linéaire en font désormais partie. La situation n'est néanmoins pas celle la plus souvent rencontrée. Le produit scalaire n'est pas défini sur un espace vectoriel mais sur le module Z2. Un module est une structure comparable à celle d'espace vectoriel, à la différence près que la totalité des scalaires n'est plus un corps. Pour les modules de cette nature, certains résultats restent vrais, comme par exemple l'existence d'une base ce qui offre une expression algébrique simple.

Si M est la matrice de passage de la base canonique dans une autre base sur Z2, son déterminant est obligatoirement égal à 1 ou -1. En effet, une matrice de passage est inversible :

\det(M\circ Mˆ{-1})=\det(M)\cdot \det(Mˆ{-1})=\det(Id)=1

Ici Id sert à désigner la matrice identité. Comme les cœfficients de la matrice sont entiers, le déterminant l'est aussi. L'égalité précédente montre que le déterminant de M est inversible et comme les seuls entiers inversibles sont 1 et -1, ce sont les seules valeurs envisageables. La matrice du produit scalaire canonique est l'identité. Dans une base quelconque, la matrice est par conséquent de la forme tM. M (ici tM sert à désigner la matrice transposée de M). Une telle matrice est symétrique et de déterminant égal à un car la transposition ne modifie pas le déterminant. Comme le produit scalaire est défini positif, les cœfficients diagonaux sont positifs. Réciproquement, Lagrange établit le résultat suivant :

  • Toute forme bilinéaire sur Z2 dont la matrice est symétrique, de cœfficients diagonaux positifs et de déterminant égal à un, admet une base orthonormale.

Ainsi l'image par la forme quadratique associée d'un vecteur de coordonnées (x, y) dans la base orthonormale est égale à x2 + y2. Lagrange choisit la forme bilinéaire φ de matrice M suivante :

M = \begin{pmatrix} p & m \\ m & q \end{pmatrix}

Ici, p sert à désigner le nombre premier congru à un modulo quatre et m et q des entiers. La matrice M possède un déterminant égal à un si et uniquement si m2 + 1 = p. q. Cette équation est bien connue et déjà traitée. Elle correspond à l'étude du résidu quadratique -1 sur le modulo p. Elle admet une solution si et uniquement si p est congru à un modulo quatre.

Soit u le vecteur de coordonnées (1, 0), un calcul élémentaire montre que φ (u, u) = p. Si a et b sont les coordonnées de u dans la base orthonormale, alors l'expression de φ (u, u) devient a2 + b2, ce qui démontre le théorème[44].

Gauss et ses entiers

Article détaillé : Entier de Gauss.
Illustration de la démonstration par les entiers de Gauss

L'adjonction d'une géométrie euclidienne à la question des deux carrés est d'un incontestable apport. Elle permet d'introduire les outils de l'algèbre linéaire dans l'arithmétique. Elle ouvre cependant plus de questions qu'elle n'en résout. Bien peu d'outils restent disponibles pour attaquer le cas général. Gauss propose un nouvel enrichissement structurel de la totalité des couples de coordonnées entières. Le plan, qui dispose déjà d'une addition, d'un produit externe par un élément de Z et d'une forme quadratique, est en plus équipé d'une multiplication interne. Le point (a, b) de coordonnées entières est identifié au complexe a + i. b. La totalité des points dispose alors d'une structure d'anneau dont les éléments sont nommés entiers de Gauss.

La forme quadratique est désormais interprétée comme une norme. À un point z est associé la norme N (z) définie par le produit de z et de son conjugué. La norme dispose d'un double avantage aux yeux du théorème sujet de l'article, la question posée s'exprime sous une forme simple N (z) = p et la norme est une valuation de l'anneau. Une valuation est ici une application qui à un entier de Gauss associe un entier naturel (le terme entier naturel sert à désigner ici un élément de Z) positif et qui respecte la multiplication, c'est-à-dire si Z[i] sert à désigner la totalité des entiers de Gauss :

\forall z_1,z_2 \in \mathbb Z[i]\quad N(z_1.z_2)=N(z_1).N(z_2)\;
Richard Dedekind est l'auteur de la démonstration proposée ici.

Elle possède l'avantage de conférer à l'anneau une structure euclidienne, c'est-à-dire que l'anneau dispose d'une division euclidienne. Ainsi, si n et m sont deux entiers de Gauss :

\exists d,r \in \mathbb Z[i]\quad n = d.m + r\quad \text{avec}\quad N(r)<N(d)

Tout anneau euclidien est aussi factoriel, ce qui veut dire que le théorème essentiel de l'arithmétique s'applique toujours. Il existe ainsi des nombres premiers de Gauss et une décomposition unique en facteur premiers, aux entiers inversibles près.

Ce nouveau cadre structurel autorise la démonstration du théorème en quelques lignes. Si p est un nombre premier congru à 1 modulo 4, l'objectif est de montrer l'existence d'un entier z tel que N (z) = p. Le résultat sur le résidu quadratique -1 montre qu'il existe deux entiers naturels positifs m et k tel que N (m + i) = k. p. On en déduit l'égalité suivante :

(m+i)(m-i) = k.p\;

Cette égalité sert à déduire que p n'est pas premier comme entier de Gauss. S'il l'était, il diviserait m + i ou m - i, mais aussi son conjugué. Ainsi il diviserait l'un et l'autre mais aussi leur différence -2. i. Or l'entier de Gauss p ne divise pas -2. i car sa norme est trop grande. Il existe par conséquent deux entiers de Gauss z1 et z2, qui ne sont pas des unités et tel que z1. z2 est égal à p. Comme les diviseurs ne sont pas des unités, leur normes sont différentes de 1 et N (z1). N (z2) = p2. Comme p est premier, les seuls diviseurs de p2 sont 1, p et lui-même. On en déduit que N (z1) est égal à p, ce qui termine la démonstration. [45]

Résultats connexes

Autres problèmes posés par Fermat

Quatorze ans plus tard, dans une lettre à Blaise Pascal, Fermat conjecture deux résultats analogues si p est un nombre premier impair :

Ces deux résultats sont pour la première fois démontrés par Lagrange.

Généralisation à l'ensemble des entiers

Une fois connu les nombres premiers somme de deux carrés, il devient envisageable de généraliser la question à l'ensemble des entiers :

  • Un entier n est somme de deux carrés d'entiers si, et uniquement si, dans sa décomposition en facteurs premiers, les nombres premiers congrus à 3 modulo 4 figurent à une puissance paire.

Ce résultat peut s'énoncer de la manière suivante :

Un entier est somme de deux carrés d'entiers si et uniquement si les valuations p-adiques des facteurs premiers p de n congrus à 3 modulo 4 sont paires.

Voir aussi

Notes

  1. Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac [détail des éditions], vol. 3, Livre X, pp. 171-176.
  2. Diophante d'Alexandrie, Les six livres arithmétiques, trad. P. Ver Ecke, Paris : Albert Blanchard, 2000 (ISBN 2853671577) . La numérotation des problèmes fluctue d'une édition à l'autre, on utilise ici celle de cette édition. Ces six livres, les seuls connus jusqu'à une époque récente, font en fait partie d'un ensemble initialement plus vaste de 13 livres. Quatre autres livres ont été retrouvés dans une version arabe vers 1970, cf. Diophante, Les Arithmétiques, Paris : Les Belles Lettres, 1984, 2 volumes parus.
  3. Cette traduction est celle de P. Ver Ecke, citée plus haut.
  4. (en) André Weil, Number Theory : An Approach through History, from Hammurapi to Legendre [détail des éditions], ch. I, § 6.
  5. Diophante ajoute une autre condition, mais malheureusement, le texte qui a survécu est corrompu et peu clair, de nombreuses interprétations en ont été proposées, qui attribuent à Diophante une compréhension plus ou moins complète des conditions pour qu'un nombre soit somme de carrés, voir par exemple dans (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers [détail des éditions], vol. 2, p. 225 ou Ver Ecke, commentaire des Arithmétiques de Diophante, op. cit., p. 197.
  6. R. Rashed, «Analyse combinatoire, analyse numérique, analyse diophantienne et théorie des nombres», in Histoire des sciences arabes, vol. 2, Paris : Seuil, 1997, p. 80-85.
  7. (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers [détail des éditions], vol. 2, p. 227 ; Edouard Lucas Recherches sur l'analyse indéterminée et l'arithmétique de Diophante Bulletin de la Société d'émulation de l'Allier 1873 Lire sur Gallica
  8. Diophante Arithmetica édition grecque et traduction en latin commentée de Claude-Gaspard Bachet de Méziriac, Paris 1621
  9. Dans la seconde édition de son ouvrage, Problèmes plaisans et délectables, qui se font par les nombres, partie recueillis de divers auteurs, et inventez de nouveau, avec leur démonstration, par Claude Gaspar Bachet, Sr. de Méziriac. Particulièrement utiles pour toutes sortes de personnes curieuses qui se servent d'arithmétique (1624), Bachet donne aussi la première preuve aujourd'hui connue de l'identité de Bezout
  10. Cette identité est fréquemment nommée identité de Brahmagupta car on l'a trouvée aussi sous une forme un peu différente chez cet auteur indien du 7e siècle
  11. Fermat préfère les écrire sous la forme 4''k''-1, ce qui revient évidemment au même.
  12. Fermat ajoute : «en quoi j'ai... rétabli en même temps la corruption du texte de Diophante», s'inscrivant ainsi dans une longue lignée de mathématiciens érudits qui ont cherché à la fois à reconstituer le texte de Diophante ainsi qu'à trouver la solution complète du problème sous-jacent !
  13. Fermat, Œuvres complèteséditées par C. Henry & P. Tannery, 4 vols., 1891–1912, vol. II, p. 203-204
  14. Lettre du 25 décembre 1640 de Fermat à Mersenne, Œuvres complèteséditées par C. Henry & P. Tannery, 4 vols., 1891–1912, vol. II, p. 213.
  15. Le théorème complet et des applications figure dans une observation au livre III, un cas spécifique au livre V, près du problème 12 de Diophante mentionné plusieurs fois.
  16. Pierre de Fermat Œuvres complètes, éditées par C. Henry & P. Tannery, 4 vols Tome II p 334 1891–1912.
  17. Les détails de l'utilisation de cette méthode par Fermat sont explicités dans , C. Goldstein Un théorème de Fermat et ses lecteurs Saint-Denis, Presses Universitaires de Vincennes 1995 (ISBN 2910381102) .
  18. Pierre de Fermat, Œuvres complètes, éditées par C. Henry & P. Tannery, 4 vols., 1891–1912, vol. II, p 441 ; Lire
  19. A titre d'exemple, Edouard Lucas, Recherches sur l'analyse indéterminée et l'arithmétique de Diophante, 1873 ou (en) André Weil, Number Theory : An Approach through History, from Hammurapi to Legendre [détail des éditions] ; voir aussi la preuve donnée plus bas dans cet article.
  20. Pierre de Fermat Œuvres complètes, éditéés par C. Henry & P. Tannery, 4 vols., 1891–1912 Tome II p313, 403 et 405
  21. A. Weil Sur les origines de la géométrie algèbrique Compositio Mathematica 44 n° 1-3, p 399 lire
  22. Lire.
  23. Pour le détail délicat des dates et des publications des différents résultats, voir (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers [détail des éditions], vol. 2, chap. VI, et (en) André Weil, Number Theory : An Approach through History, from Hammurapi to Legendre [détail des éditions], chapitre 3, §5b e, IX et XI.
  24. Leonhard Euler Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos Opuscula analytica 1, 1783, p. 64-84 lire
  25. Voir (en) André Weil, Number Theory : An Approach through History, from Hammurapi to Legendre [détail des éditions], chapitre 3, §X.
  26. On ne sait toujours pas si cette liste est complète, mais on sait qu'elle contient au plus 66 nombres.
  27. Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, première partie, 1775, supplément 1777, rep. dans Joseph-Louis Lagrange, Œuvres, vol. III, pp. 695-758 et 759-795. Le théorème est démontré sous le nom de Lemme VII pp. 782-783. Quelques années jusque là, en 1772, Lagrange a démontré un autre résultat connexe, le théorème des quatre carrés, le fait que tout nombre entier peut s'écrire comme une somme de 4 carrés, voir (en) André Weil, Number Theory : An Approach through History, from Hammurapi to Legendre [détail des éditions], chap. IV, § II (D).
  28. Il faut remarquer que Lagrange ne considère que des formes à cœfficients entiers, l'étude des formes à cœfficients réels ne commencera qu'un demi-siècle plus tard.
  29. Cette condition indique que la transformation est inversible.
  30. (en) André Weil, Number Theory : An Approach through History, from Hammurapi to Legendre [détail des éditions], chap. IV, § 4.
  31. (en) André Weil, Number Theory : An Approach through History, from Hammurapi to Legendre [détail des éditions], chap. IV, § 4.
  32. Il trouve une démonstration à condition d'admettre le théorème de la progression arithmétique, question qui s'avère toujours plus complexe que celle de la réciprocité quadratique et ne sera démontrée qu'en 1837 : Adrien-Marie Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Duprat, Paris, 1798
  33. Legendre considère que dès 1830, parler de théorie des nombres n'est pas abusif : On a cru devoir lui donner définitivement le titre de Théorie des nombres au lieu de celui d'essai sur cette Théorie qu'il avait porté jusqu'à présent : Adrien-Marie Legendre Théorie des nombres Firmin-Didot Paris 1830 lire sur Gallica
  34. Carl Friedrich Gauss Recherches arithmétiques trad. française des Disquisitiones arithmeticæ par A. -C. -M. Poullet-Delisle 1801 lire
  35. Carl Friedrich Gauss Recherches arithmétiques trad. française des Disquisitiones arithmeticæ par A. -C. -M. Poullet-Delisle 1801 article 182
  36. Carl Friedrich Gauss Recherches arithmétiques trad. française des Disquisitiones arithmeticæ par A. -C. -M. Poullet-Delisle 1801 p 96 lire
  37. Carl Friedrich Gauss Recherches arithmétiques trad. française des Disquisitiones arithmeticæ par A. -C. -M. Poullet-Delisle 1801 p 338 lire
  38. Charles Gustave Jacob Jacobi Fundamenta nova theoriæ functionum ellipticarum Königsberg, 1829
  39. Richard Dedekind Vorlesungen über Zahlentheorie. Hrsg. und mit Zusätzen versehen von R. Dedekind. 4. umgearb. u. verm. Aufl. Braunschweig 1894. La preuve est proposée dans le supplément XI rédigée par Dedekind, le texte principal est une publication par Dedekind d'un travail de Dirichlet intitulé Leçons en principe des nombres
  40. Cette analyse est un résumé de : F. Lemmermeyer The development of the principal genus théorem lire
  41. David Hilbert Über die Theorie der relativquadratischen Zahlkörper Jahresber. DMV 6 1899
  42. On peut trouver cette démonstration, par exemple sur le site Les théorèmes orphelins par J. -M. Breton
  43. La démonstration proposée est celle d'Euler. Elle est disponible en latin sur le web Lire
  44. Cette démonstration est celle de Lagrange avec les notations (mondernisées) de Gauss qu'on trouve dans la référence : Carl Friedrich Gauss Disquisitiones Aritmeticæ Traduction française par Poullet-Delisle en 1807 lire sur Gallica Article 185
  45. Cette preuve est l'œuvre de Richard Dedekind, l'orginal est publié dans : Richard Dedekind Vorlesungen über Zahlentheorie. Hrsg. und mit Zusätzen versehen von R. Dedekind. 4. umgearb. u. verm. Aufl. Braunschweig 1894. La preuve est proposée dans le supplément XI rédigée par Dedekind, le texte principal est une publication par Dedekind d'un travail de Dirichlet intitulé Leçons en principe des nombres

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Références

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