Théorème des croissances comparées

Le théorème des croissances comparées est constitué de quelques résultats de limites de fonctions qui seraient qualifiées de formes indéterminées par la méthode usuelle.



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Le théorème des croissances comparées est constitué de quelques résultats de limites de fonctions qui seraient qualifiées de formes indéterminées par la méthode usuelle.

Énoncé des résultats classiques

\lim_{x \to +\infty} \frac{eˆx}{x} = +\infty
\lim_{x \to -\infty} x\,eˆx = 0
\lim_{x \to 0+} x\,\ln(x) = 0
\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0

Démonstrations

On sait que (voir ci-après)  : \forall x\geqslant 1,\ eˆx\geqslant xˆ2

On a alors : \forall x\geqslant 1, \frac{eˆx}{x}\geqslant x

Par le théorème des gendarmes, on a le résultat voulu.

Preuve de \forall x\geqslant 1,\ eˆx\geqslant xˆ2 :

Soit \begin{align}f\ : & \ [1;+\infty]\to \mathbb{R} \\ \ & \qquad \quad x \mapsto eˆx-xˆ2 \end{align}

\forall x\geqslant 1,\ f'(x)=eˆx-2x \qquad f''(x)=eˆx-2

\forall x\geqslant 1,\ eˆx \geqslant 2 \quad \Rightarrow f''(x) \geqslant 0 \quad \Rightarrow f'\ est\ croissante\ sur\ [1;+\infty]

Or\ f'(1)=e-2\geqslant 0 \qquad \Rightarrow f\ est\ croissante\ sur\ [1;+\infty]

Or\ f(1)=e-1\geqslant 0 \qquad \Rightarrow \forall x \geqslant 1,\ f(x) \geqslant 0

D'où le résultat voulu.


\lim_{x \to -\infty} x\,eˆx = \lim_{x \to +\infty} -x\,eˆ{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x}{eˆx} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{eˆx}{-x}} = 0

De la même manière, on utilise le résultat (montré par l'analyse de la fonction f (x) =ln (x) -sqrt (x) )  : \forall x\geqslant 1,\ ln(x)\leqslant \sqrt x \qquad \Rightarrow \frac{ln(x)}{x}\leqslant \frac{1}{\sqrt x}

Par le théorème des gendarmes, on a le résultat voulu.

0 = \lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = \lim_{x \to 0} x\,ln(1/x) = \lim_{x \to 0} -x\,ln(x)

Résultats généralisés

\forall n\in\mathbb{R},\ \lim_{x \to +\infty} \frac{eˆx}{xˆn} = +\infty


\forall n\in\mathbb{Z},\ \lim_{x \to -\infty} xˆn\,eˆx = 0

Démonstrations

Si n<0, le résultat est évident. Supposons 0

On peut alors appliquer le résultat de base.

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