Théorème des croissances comparées

Le théorème des croissances comparées est constitué de quelques résultats de limites de fonctions qui seraient qualifiées de formes indéterminées par la méthode usuelle.

Énoncé des résultats classiques

$\lim_{x \to +\infty} \frac{eˆx}{x} = +\infty$

$\lim_{x \to -\infty} x\,eˆx = 0$

$\lim_{x \to 0+} x\,\ln(x) = 0$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$

Démonstrations

$\lim_{x \to \infty} \frac{eˆx}{x} = \infty$

On sait que (voir ci-après) : $\forall x\geqslant 1,\ eˆx\geqslant xˆ2$

On a alors : $\forall x\geqslant 1, \frac{eˆx}{x}\geqslant x$

Par le théorème des gendarmes, on a le résultat voulu.

Preuve de $\forall x\geqslant 1,\ eˆx\geqslant xˆ2$ :

Soit $\begin{align}f\ : & \ [1;+\infty]\to \mathbb{R} \\ \ & \qquad \quad x \mapsto eˆx-xˆ2 \end{align}$

$\forall x\geqslant 1,\ f'(x)=eˆx-2x \qquad f''(x)=eˆx-2$

$\forall x\geqslant 1,\ eˆx \geqslant 2 \quad \Rightarrow f''(x) \geqslant 0 \quad \Rightarrow f'\ est\ croissante\ sur\ [1;+\infty]$

$Or\ f'(1)=e-2\geqslant 0 \qquad \Rightarrow f\ est\ croissante\ sur\ [1;+\infty]$

$Or\ f(1)=e-1\geqslant 0 \qquad \Rightarrow \forall x \geqslant 1,\ f(x) \geqslant 0$

D'où le résultat voulu.

$\lim_{x \to -\infty} x\,eˆx = 0$

$\lim_{x \to -\infty} x\,eˆx = \lim_{x \to +\infty} -x\,eˆ{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x}{eˆx} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{eˆx}{-x}} = 0$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0$

De la même manière, on utilise le résultat (montré par l'analyse de la fonction f (x) =ln (x) -sqrt (x) ) : $\forall x\geqslant 1,\ ln(x)\leqslant \sqrt x \qquad \Rightarrow \frac{ln(x)}{x}\leqslant \frac{1}{\sqrt x}$

Par le théorème des gendarmes, on a le résultat voulu.

$\lim_{x \to 0+} x\,ln(x) = 0$

$0 = \lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = \lim_{x \to 0} x\,ln(1/x) = \lim_{x \to 0} -x\,ln(x)$

Résultats généralisés

$\forall n\in\mathbb{R},\ \lim_{x \to +\infty} \frac{eˆx}{xˆn} = +\infty$

$\forall n\in\mathbb{Z},\ \lim_{x \to -\infty} xˆn\,eˆx = 0$

Démonstrations

$\forall n\in\mathbb{R},\ \lim_{x \to +\infty} \frac{eˆx}{xˆn} = +\infty$

Si n<0, le résultat est évident. Supposons 0

On peut alors appliquer le résultat de base.

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