Théorème de König-Huyghens

En statistiques et en principe des probabilités, le théorème de König - Huygens est une identité remarquable reliant la variance et la moyenne.



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En statistiques et en principe des probabilités, le théorème de König-Huygens est une identité remarquable reliant la variance et la moyenne.

Énoncé en probabilités

Le théorème de König-Huygens décrit de la façon suivante :

Théorème — Pour toute variable aléatoire réelle X, on a :

\operatorname{Var}(X)\equiv E\bigl[(X-E[X])ˆ2\bigr]=E[Xˆ2]-E[X]ˆ2.

La démonstration est assez simple et algébrique. Trois points sont à rappeler :

Ces trois propriétés rappelées impliquent :

E\bigl[(X-E[X])ˆ2\bigr]=E[Xˆ2]-2E[X]E[X]+E[X]ˆ2.

Énoncé en statistiques

Ce théorème peut aussi s'appliquer pour une décomposition de la formule de la variance empirique :

Théorème — \frac{1}{n} \sum_{i=1}ˆn \left( x_i - \overline{x}\right)ˆ2 
 = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn x_iˆ2\right) - \overline{x}ˆ2


Généralisation

Cette formulation est un fait un cas spécifique d'une identité plus générale :

Identité —  \frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn(X_i-a)ˆ2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn(X_i -\bar X)ˆ2+(\bar X -a)ˆ2

Remarque :

En passant le deuxième terme de droite à gauche et en prenant a=0 on retrouve la formule de la variance montrée plus haut :

\frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn(X_i -\bar X)ˆ2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn(X_i-a)ˆ2-(\bar X -a)ˆ2

Et par conséquent si  a=0: \frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn(X_i -\bar X)ˆ2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn(X_i)ˆ2-(\bar X)ˆ2

Relation avec la fonction de Leibniz

Ce théorème est un cas spécifique de simplification de la fonction scalaire de Leibniz concernant des barycentres.

En effet, la moyenne m est le barycentre du dispositif pondéré { (xi, ni) }i = 1... k. La simplification de la fonction scalaire de Leibniz donne pour le dispositif { (Ai, ai) i = 1... k} de barycentre G :

\sum_{i = 1}ˆk a_i AA_iˆ2 = \sum_{i = 1}ˆk a_i GA_iˆ2  +\left( \sum_{i = 1}ˆk a_i\right) GAˆ2

En remplaçant G par m, M par m', ai par ni et Ai par xi, on obtient

\sum_{i = 1}ˆk n_i (x_i - m')ˆ2 = \sum_{i = 1}ˆk n_i (x_i - m)ˆ2  + n (m' - m)ˆ2

Ce qui est , à un facteur n près ainsi qu'à l'ordre près, la formule précédente.

Énoncé en mécanique (Théorème d'Huygens)

Soit un dispositif de k points matériels Ai, de masse respective mi, de masse totale M, de centre de masse G et un point A distant de d du point G. Le théorème de transport ou théorème de Huygens ou théorème de Steiner donne JA le moment d'inertie du dispositif comparé à A selon JG le moment d'inertie du dispositif comparé à G :

J_A=J_G+M\cdot dˆ2

avec

J_A=\sum_{i = 1}ˆk m_i AA_iˆ2


J_G=\sum_{i = 1}ˆk m_i GA_iˆ2

M=\sum_{i = 1}ˆk m_i

d2 = GA2

Références

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