Théorème de Borel-Cantelli

Dans la théorie des probabilités, le lemme de Borel - Cantelli, quelquefois aussi nommé théorème de Borel-Cantelli, concerne une suite d'événements.



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Théorème de mathématiques - Probabilités

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  • Théorème : Soit un espace probabilisé, (An) une suite d'événements, ... Le lemme de Borel - Cantelli est un premier exemple de la loi du 0/1 de Kolmogorov.... (source : bibmath)
  • Borel - Cantelli Lemma. Theorem 2.1 (Borel - Cantelli Lemma). 1. If ∑n P (An) < ∞, then P (An i. o. ) =0.2. If ∑n P (An) = ∞ and An are independent, ... (source : stat.berkeley)

Introduction

Dans la théorie des probabilités, le lemme de Borel-Cantelli, quelquefois aussi nommé théorème de Borel-Cantelli, concerne une suite d'événements. Sous une forme légèrement plus générale, il est aussi valable en théorie de la mesure. Le lemme stipule que :

Lemme de Borel-Cantelli — Si la somme des probabilités d'une suite d'événements d'un espace probabilisé est finie, alors la probabilité qu'une illimitété d'entre eux se réalisent simultanément est nulle.

L'indépendance des événements n'est pas indispensable. A titre d'exemple, considérons une suite de variables aléatoires, telle que, pour tout,

\textstyle \mathbb{P}(X_n= 0) = \frac1{nˆ2}.

La somme des est finie[1], par conséquent selon le lemme de Borel-Cantelli la probabilité que se produise pour une illimitété d'indices est 0. En d'autres termes, avec une probabilité de 1, est non nul à partir d'un certain rang (aléatoire) On a par conséquent appliqué le lemme de Borel-Cantelli suite à évènements définie par

\textstyle A_n=\{X_{n+1}= 0\} =\{\omega\in\Omega\ |\ X_{n+1}(\omega)= 0\}.

Limite supérieure d'ensembles

Définition —  La limite supérieure d'une suite de parties d'un ensemble est la totalité des éléments de tels que l'assertion soit vérifiée pour une illimitété d'indices.

En d'autres termes, on peut dire que si et uniquement si la totalité est illimité, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout, on peut trouver tel que. Cette dernière formulation apporte une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles avec opérations élémentaires sur les ensembles :


\limsup_n A_n =\bigcap_{n\ge 0}(\bigcup_{k\ge n} A_k).

Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi quelquefois que si et uniquement si "illimitément fréquemment" ou bien "illimitétely often", d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :


\mathbb{P}\left(\limsup_n A_n\right)=\mathbb{P}\left(A_n\quad\text{i.o.}\right).

Finalement, remarquons que la définition " si et uniquement si appartient à une illimitété de " peut induire en erreur : si par exemple l'ensemble des parties sont identiques, il se peut que appartienne à pour une illimitété d'indices, et il se peut par conséquent que appartienne à sans pour tout autant qu' appartienne à une illimitété de (dans la mesure où il n'existe, au fond, qu'un seul).

Théorème de Borel-Cantelli (théorie de la mesure)

Pour un espace mesuré général, le lemme de Borel-Cantelli prend la forme suivante :

Théorème de Borel-Cantelli — Soit une suite dans. Si

\sum_{n\ge 0}\mu(A_n)<+\infty,

alors

\mu(\limsup_n A_n) = 0.

Lemme de Borel-Cantelli (probabilités)

Un espace probabilisé est un cas spécifique d'espace mesuré, en ce qu'on suppose, qui plus est , que, tandis que l'unique restriction du même ordre sur est Surtout, le lemme de Borel-Cantelli donné en introduction est une forme affaiblie du théorème de Borel-Cantelli donné à la section précédente. Peut-être le lemme de Borel-Cantelli est-il plus populaire en probabilités, où il est essentiel dans la démonstration, par Kolmogorov, de la loi forte des grands nombres (s'il ne faut donner qu'un seul exemple). Dans le cadre probabiliste, une formulation plus formelle du lemme donné en langage intuitif dans l'introduction pourrait par conséquent s'écrire :

Lemme de Borel-Cantelli — Dans un espace probabilisé considérons une suite d'éléments de. Si

\sum_{n\ge 0}\mathbb{P}(A_n)<+\infty,

alors

\mathbb{P}(\limsup_n A_n) = 0.

Loi du zéro-un de Borel

Le lemme de Borel-Cantelli ne doit pas être confondu avec la loi du zéro-un de Borel, quelquefois nommée second lemme de Borel-Cantelli :

Loi du zéro-un de Borel — Si les événements sont indépendants, alors vaut 0 ou 1 suivant que la série de terme général est convergente ou divergente.

La loi du zéro-un de Borel[2] montre surtout que l'hypothèse du lemme de Borel-Cantelli ne peut en aucun cas être affaiblie en. En effet on peut avoir simultanément, d'une part, d'autre part (indépendance des et), par conséquent on peut avoir simultanément :

\lim_{n}\mathbb{P}(A_n)=0\qquad\text{et}\qquad \mathbb{P}(\limsup_n A_n) = 1.

Notes et références

  1. En fait elle vaut voir l'article Fonction zêta de Riemann, par exemple la section Valeurs numériques spécifiques.
  2. La loi du zéro-un de Borel a été publiée en 1909 dans l'article Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques. Rend. Circ. Math. Palermo 27, pp. 247-271, par Emile Borel, en vue, semble-t-il, d'applications aux propriétés des fractions continues. Il semble que ce n'est qu'un peu plus tard que Cantelli a remarqué et utilisé le fait que, pour l'un des deux sens, l'hypothèse d'indépendance est superflue (à vérifier).

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