Théorème de Bachet-Bézout

Cet article parle de l'identité de Bézout et du théorème de Bézout en arithmétique. Pour le théorème de Bézout en géométrie algébrique voir Théorème de Bézout.

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Théorème de mathématiques - Équation diophantienne - Arithmétique élémentaire - Mathématiques élémentaires

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Étant donnés a et b deux entiers relatifs et d le pgcd d'a et b, il existe alors deux... Théorème de Bézout (quelquefois nommé théorème de Bachet - Bézout).... (source : espacemath)
Théorème de Bezout : Deux entiers relatifs a et b sont premiers... est indispensable d'introduire le pgcd (via Bezout) pour le montrer.... (source : les-mathematiques)

Cet article parle de l'identité de Bézout et du théorème de Bézout en arithmétique. Pour le théorème de Bézout en géométrie algébrique voir Théorème de Bézout.

En mathématiques, le théorème de Bachet-Bézout ou identité de Bézout est un résultat d'arithmétique élémentaire, qui prouve l'existence de solutions à l'équation diophantienne linéaire :

$a \cdot x + b \cdot y = PGCD(a,b)$

d'inconnues x et y entiers relatifs et où a, b sont des cœfficients entiers relatifs et où PGCD (a, b) est le plus grand commun diviseur d'a et b.

Le théorème de Bézout affirme que l'équation $a \cdot x + b \cdot y = 1$ admet des solutions si et uniquement si les entiers relatifs a et b sont premiers entre eux.

La première démonstration aujourd'hui connue de ce théorème est due à Claude-Gaspard Bachet de Méziriac ; elle figure dans la seconde édition de son ouvrage Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres, parue en 1624. Cependant, le mathématicien Étienne Bézout a généralisé ce résultat, surtout aux polynômes, démonstration notablement plus complexe. Par un de ces accidents de l'histoire mathématique, particulièrement habituels, le nom de Bézout a été attribué à tort au résultat de Bachet.

Identité de Bézout dans la totalité des entiers relatifs

Théorème de Bachet de Méziriac

Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581 - 1638)

Théorème — Étant donnés deux entiers relatifs $a$ et $b$ pas tous nuls, si $d$ est le PGCD de $a$ et de $b$ alors il existe deux entiers relatifs $x$ et $y$ tels que $x\cdot a + y\cdot b = d$

En particulier, deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et uniquement s'il existe deux entiers relatifs $x$ et $y$ tels que $x\cdot a + y\cdot b = 1$

L'algorithme d'Euclide étendu, en fournissant un couple d'entiers solution de l'équation ax + by = pgcd (a, b), prouve déjà l'existence de solution à l'équation. Mais la démonstration qui suit, plus proche de celle qui sera utilisé dans les anneaux principaux, possède aussi un intérêt.

On peut suposer par exemple $a$ non nul.

Si $A = \{xa+yb; (x;y) \in \Zˆ2\}$ , on montre que le plus petit élément strictement positif de

A

est le plus grand commun diviseur de

a

b

En effet $A \cap \Nˆ*$ est non vide (il contient la valeur absolue de

a

) par conséquent contient un plus petit élément

d 0 = x 0 a + y 0 b

. La division euclidienne de

a

par

d 0

a pour reste

r

qui est un entier naturel élément de A car s'écrit $r = a-qd_0 = a-qx_0a-qy_0b = (1-qx_0) \cdot a + (-qy_0) \cdot b$ . C'est un entier plus petit que

d 0

, il ne peut par conséquent pas appartenir à $A \cap \Nˆ*$ , par conséquent r est nul. Cela veut dire que

d 0

divise a. De même,

d 0

divise b. Par conséquent

d 0

est un diviseur commun à a et b.

Enfin, soit

d

un autre diviseur commun à

a

b

. Comme

d

divise

a

b

d

divise

x 0 a + y 0 b

par conséquent

d

divise

d 0

d 0

est bien le plus grand diviseur commun de

a

b

et il existe deux entiers

x 0

y 0

tels que

p g c d (a, b) = a x 0 + b y 0

Remarque : si a et b sont nuls ils sont divisibles par n'importe quel entier et le pgcd n'existe pas

Ce théorème ne possède généralement pas de réciproque : l'existence de deux entiers tels que $d = a x + b y$ n'assure pas que $d$ soit le PGCD de $a$ et $b$ . Il suffit pour s'en convaincre de remarquer, par exemple, qu'il existe deux entiers x et y tels que 2x + 3y = 5 tandis que 5 n'est pas le PGCD de 2 et 3. S'il existe deux entiers x et y tels que $d = a x + b y$ , on peut uniquement dire que $d$ est un multiple du PGCD. En effet, $a$ et $b$ étant des multiples de leur PGCD, $a x + b y$ est un multiple du PGCD par conséquent si $d = a x + b y$ alors $d$ est un multiple du PGCD de $a$ et $b$ .

Dans le cas de l'équation ax+by = 1, il existe cependant une réciproque : l'existence de deux entiers $x$ et $y$ tels que $a x + b y = 1$ assure que 1 est un multiple du PGCD d'a et b. Cela ne se peut que si le PGCD de $a$ et $b$ est 1 par conséquent uniquement si $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

Le théorème de Bachet-Bézout assure l'existence d'un couple d'entier tels que ax + by = PGCD (a, b). L'algorithme d'Euclide étendu apporte un des couples solutions, mais il en existe, généralement, une illimitété d'autres..

A titre d'exemple, le plus grand diviseur commun de 12 et 42 est 6, et on peut écrire

$(-3) \cdot 12 + 1 \cdot 42 = 6$

mais également

$4 \cdot 12 + (-1) \cdot 42 = 6$ .

Si le PGCD $d$ est non nul, à partir d'un couple solution $(x 0, y 0)$ , il est facile de prouver qu'on a aussi :

$a \cdot \left(x_0 - k \cdot {b \over d}\right) + b \cdot \left(y_0 + k \cdot {a \over d}\right) = d$

où $k$ peut fluctuer dans $\Z$

Applications

Le théorème de Bachet -Bézout intervient dans de nombreux domaine de la théorie des nombres.

Il sert à démontrer le théorème de Gauss.
Il intervient dans la recherche d'inverse modulo b et est par conséquent utile dans le décodage de message en cryptographie
Il intervient dans la résolution de l'équation diophantienne ax+by = c

Généralisation

Théorème — Étant donnés des entiers relatifs $a 1$ , ..., $a n$ non tous nuls, si $d$ est le PGCD de $a 1$ , ..., $a n$ alors il existe des entiers relatifs $x 1$ , ..., $x n$ tels que $x_1\cdot a_1 + \cdots x_n\cdot a_n = d$

En particulier, $a 1$ , ..., $a n$ sont premiers entre eux (dans leur ensemble) si et uniquement s'il existe des entiers relatifs $x 1$ , ..., $x n$ tels que $x_1\cdot a_1 + \cdots + x_n\cdot a_n = 1$ .

En d'autres termes, lorsque les $a i$ ne sont pas tous nuls, le PGCD de $a 1$ , ..., $a n$ est le plus petit entier strictement positif qui peut s'écrire comme combinaison linéaire, à cœfficients entiers, de $a 1$ , ..., $a n$ .

Identité de Bézout dans la totalité des polynômes

Article détaillé : Arithmétique des polynômes.

L'identité de Bézout se généralise à la totalité des polynômes à une indéterminée sur un corps commutatif K

Théorème — Étant donné une famille finie $\left(P_i\right)_{i\in I}$ de polynômes non tous nuls de $\mathbb{K}[X]$ , si $Δ$ est un PGCD de la famille $\left(P_i\right)_{i\in I}$ , il existe une famille $\left(A_i\right)_{i\in I}$ de polynôme de $\mathbb{K}[X]$ telle que $\Delta = \sum_{i\in I} A_iP_i$

En particulier, les polynômes $\left(P_i\right)_{i\in I}$ sont premiers entre eux (dans leur ensemble) si et uniquement s'il existe une famille $\left(A_i\right)_{i\in I}$ de polynômes de $\mathbb{K}[X]$ telle que $1 = \sum_{i\in I} A_iP_i$ .

Extension aux anneaux principaux quelconques

L'identité de Bézout peut s'écrire non seulement dans l'anneau des nombres entiers relatifs, mais également dans tout autre anneau principal. Notons que dans ce cas "plus grand diviseur" s'entend uniquement au sens de la relation d'ordre apportée par la divisibilité dans l'anneau, l'unicité du pgcd n'est conservée qu'à un facteur inversible près de l'anneau. C'est-à-dire, si $A$ est un anneau principal, et $a$ et $b$ sont des éléments de $A$ non tous nuls, et $d$ est un plus grand diviseur commun de $a$ et $b$ , alors il existe des éléments $x$ et $y$ dans $A$ tels que :

a x + b y = d

Dans un anneau principal, un PGCD de $a$ et $b$ est un générateur de $a A + b A$ , l'identité de Bézout est une conséquence de cette définition.

Extension à d'autres anneaux

L'identité de Bachet-Bezout a donné lieu à une classe d'anneaux : un anneau $A$ est dit de Bezout si tout parfait de type fini de $A$ est principal. Évidemment l'identité de Bezout est valable dans tout anneau de Bezout.

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