Théorème de Bachet-Bézout
Cet article parle de l'identité de Bézout et du théorème de Bézout en arithmétique. Pour le théorème de Bézout en géométrie algébrique voir Théorème de Bézout.

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Théorème de mathématiques - Équation diophantienne - Arithmétique élémentaire - Mathématiques élémentaires
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- Théorème de Bezout : Deux entiers relatifs a et b sont premiers... est indispensable d'introduire le pgcd (via Bezout) pour le montrer.... (source : les-mathematiques)
Cet article parle de l'identité de Bézout et du théorème de Bézout en arithmétique. Pour le théorème de Bézout en géométrie algébrique voir Théorème de Bézout.
En mathématiques, le théorème de Bachet-Bézout ou identité de Bézout est un résultat d'arithmétique élémentaire, qui prouve l'existence de solutions à l'équation diophantienne linéaire :

d'inconnues x et y entiers relatifs et où a, b sont des cœfficients entiers relatifs et où PGCD (a, b) est le plus grand commun diviseur d'a et b.
Le théorème de Bézout affirme que l'équation admet des solutions si et uniquement si les entiers relatifs a et b sont premiers entre eux.
La première démonstration aujourd'hui connue de ce théorème est due à Claude-Gaspard Bachet de Méziriac ; elle figure dans la seconde édition de son ouvrage Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres, parue en 1624. Cependant, le mathématicien Étienne Bézout a généralisé ce résultat, surtout aux polynômes, démonstration notablement plus complexe. Par un de ces accidents de l'histoire mathématique, particulièrement habituels, le nom de Bézout a été attribué à tort au résultat de Bachet.
Identité de Bézout dans la totalité des entiers relatifs
Théorème de Bachet de Méziriac


Théorème — Étant donnés deux entiers relatifs a et b pas tous nuls, si d est le PGCD de a et de b alors il existe deux entiers relatifs x et y tels que
En particulier, deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et uniquement s'il existe deux entiers relatifs x et y tels que
L'algorithme d'Euclide étendu, en fournissant un couple d'entiers solution de l'équation ax + by = pgcd (a, b), prouve déjà l'existence de solution à l'équation. Mais la démonstration qui suit, plus proche de celle qui sera utilisé dans les anneaux principaux, possède aussi un intérêt.
On peut suposer par exemple a non nul.
- Si
, on montre que le plus petit élément strictement positif de A est le plus grand commun diviseur de a et b.
- En effet
est non vide (il contient la valeur absolue de a) par conséquent contient un plus petit élément d0 = x0a + y0b. La division euclidienne de a par d0 a pour reste r qui est un entier naturel élément de A car s'écrit
. C'est un entier plus petit que d0, il ne peut par conséquent pas appartenir à
, par conséquent r est nul. Cela veut dire que d0 divise a. De même, d0 divise b. Par conséquent d0 est un diviseur commun à a et b.
- Enfin, soit d un autre diviseur commun à a et b. Comme d divise a et b, d divise x0a + y0b par conséquent d divise d0. d0 est bien le plus grand diviseur commun de a et b et il existe deux entiers x0 et y0 tels que pgcd (a, b) = ax0 + by0.
Remarque : si a et b sont nuls ils sont divisibles par n'importe quel entier et le pgcd n'existe pas
Ce théorème ne possède généralement pas de réciproque : l'existence de deux entiers tels que d = ax + by n'assure pas que d soit le PGCD de a et b. Il suffit pour s'en convaincre de remarquer, par exemple, qu'il existe deux entiers x et y tels que 2x + 3y = 5 tandis que 5 n'est pas le PGCD de 2 et 3. S'il existe deux entiers x et y tels que d = ax + by, on peut uniquement dire que d est un multiple du PGCD. En effet, a et b étant des multiples de leur PGCD, ax + by est un multiple du PGCD par conséquent si d = ax + by alors d est un multiple du PGCD de a et b.
Dans le cas de l'équation ax+by = 1, il existe cependant une réciproque : l'existence de deux entiers x et y tels que ax + by = 1 assure que 1 est un multiple du PGCD d'a et b. Cela ne se peut que si le PGCD de a et b est 1 par conséquent uniquement si a et b sont premiers entre eux.
Le théorème de Bachet-Bézout assure l'existence d'un couple d'entier tels que ax + by = PGCD (a, b). L'algorithme d'Euclide étendu apporte un des couples solutions, mais il en existe, généralement, une illimitété d'autres..
A titre d'exemple, le plus grand diviseur commun de 12 et 42 est 6, et on peut écrire
mais également
.
Si le PGCD d est non nul, à partir d'un couple solution (x0, y0) , il est facile de prouver qu'on a aussi :
où k peut fluctuer dans
Applications
Le théorème de Bachet -Bézout intervient dans de nombreux domaine de la théorie des nombres.
- Il sert à démontrer le théorème de Gauss.
- Il intervient dans la recherche d'inverse modulo b et est par conséquent utile dans le décodage de message en cryptographie
- Il intervient dans la résolution de l'équation diophantienne ax+by = c
Généralisation
Théorème — Étant donnés des entiers relatifs a1, ..., an non tous nuls, si d est le PGCD de a1, ..., an alors il existe des entiers relatifs x1, ..., xn tels que
En particulier, a1, ..., an sont premiers entre eux (dans leur ensemble) si et uniquement s'il existe des entiers relatifs x1, ..., xn tels que .
En d'autres termes, lorsque les ai ne sont pas tous nuls, le PGCD de a1, ..., an est le plus petit entier strictement positif qui peut s'écrire comme combinaison linéaire, à cœfficients entiers, de a1, ..., an.
Identité de Bézout dans la totalité des polynômes
L'identité de Bézout se généralise à la totalité des polynômes à une indéterminée sur un corps commutatif K
Théorème — Étant donné une famille finie de polynômes non tous nuls de
, si Δ est un PGCD de la famille
, il existe une famille
de polynôme de
telle que
En particulier, les polynômes sont premiers entre eux (dans leur ensemble) si et uniquement s'il existe une famille
de polynômes de
telle que
.
Extension aux anneaux principaux quelconques
L'identité de Bézout peut s'écrire non seulement dans l'anneau des nombres entiers relatifs, mais également dans tout autre anneau principal. Notons que dans ce cas "plus grand diviseur" s'entend uniquement au sens de la relation d'ordre apportée par la divisibilité dans l'anneau, l'unicité du pgcd n'est conservée qu'à un facteur inversible près de l'anneau. C'est-à-dire, si A est un anneau principal, et a et b sont des éléments de A non tous nuls, et d est un plus grand diviseur commun de a et b, alors il existe des éléments x et y dans A tels que :
Dans un anneau principal, un PGCD de a et b est un générateur de aA + bA, l'identité de Bézout est une conséquence de cette définition.
Extension à d'autres anneaux
L'identité de Bachet-Bezout a donné lieu à une classe d'anneaux : un anneau A est dit de Bezout si tout parfait de type fini de A est principal. Évidemment l'identité de Bezout est valable dans tout anneau de Bezout.
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