Théorème d'Euler

En mathématiques, et surtout en arithmétique modulaire, le théorème d'Euler est un théorème, appelé ainsi en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler, qui stipule que



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Arithmétique modulaire - Théorème de mathématiques

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Théorèmes de Lagrange, Euler et Fermat. Page 5. G. COSTANTINI http ://bacamaths. net/. 2.4. Théorème d'Euler. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.... (source : pagesperso-orange)
  • Théorème d'Euler. La formule générale donnant l'expression de la dérivée particulaire d'une intégrale de volume... On obtient ainsi le Théorème d'Euler :... (source : enpc)

En mathématiques, et surtout en arithmétique modulaire, le théorème d'Euler est un théorème, appelé ainsi en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler, qui stipule que

Théorème d'Euler —  Soit n un entier naturel et a un entier premier avec n, alors

aˆ{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n.

\varphi est la fonction indicatrice d'Euler et mod sert à désigner la congruence sur les entiers.

Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat (qui ne traite que le cas où n est un nombre premier), et est lui-même généralisé par le théorème de Carmichaël.

Ce théorème permet simplement la réduction modulo n de puissance. A titre d'exemple, si on veut trouver le chiffre des unités de 7222, c'est-à-dire trouver à quoi est congru 7222 modulo 10, il suffit de voir que 7 et 10 sont premiers entre eux, et que \varphi(10)=4. Le théorème d'Euler nous indique par conséquent que

7ˆ4 \equiv 1 \pmod{10}.

On en déduit que

7ˆ{222} \equiv 7ˆ{4\times 55 + 2} \equiv  (7ˆ4)ˆ{55}\times 7ˆ2 \equiv 1ˆ{55}\times 7ˆ2 \equiv 49 \equiv 9 \pmod{10}.

Le chiffre recherché est par conséquent 9.

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