Tessarine

En mathématiques, les tessarines sont une idée introduite par James Cockle en 1848. La notion inclut à la fois les nombres complexes ordinaires et les nombres complexes fendus.



Catégories :

Nombre hypercomplexe - Algèbre

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Tessarine - VisWiki. The tessarines are a mathematical idea introduced by James Cockle in 1848.... où w et z peuvent être des nombres complexes quelconques... (source : ancient-rome)
  • Complexified algebras : Tessarine, biquaternion, and conic sedenion... Tessarines offer a commutative and associative multiplication, biquaternions are... (source : en.wikilib)
  • Some of these include : * (real tessarines James Cockle (1848) * (algebraic... numbers]] [[ar :??? ???? ????]] [[fr : Nombre complexe fendu]] [[it :Numero... (source : reachinformation)

En mathématiques, les tessarines sont une idée introduite par James Cockle en 1848. La notion inclut à la fois les nombres complexes ordinaires et les nombres complexes fendus. Une tessarine t peut être décrite comme une matrice 2 x 2

\begin{pmatrix} w & z \\ z & w\end{pmatrix},

w et z peuvent être des nombres complexes quelconques.

Isomorphismes avec les autres dispositifs de nombres

Nombres complexes

Quand z = 0, alors t correspond à un nombre complexe ordinaire, qui est w lui-même.

Nombres complexes fendus

Quand w et z sont tous deux des nombres réels, alors t correspond à un nombre complexe fendu, w + j z. La tessarine spécifique

j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}

possède la propriété suivante : Son produit matriciel au carré est la matrice identité. Cette propriété a conduit Cockle à appeler la tessarine j un "nouvel imaginaire en algèbre". L'importance de l'anneau commutatif et associative de l'ensemble des tessarines semble avoir eu moins d'importance que cette tessarine spécifique mais aussi le plan qu'elle crée au-delà de la ligne réelle.

Quaternion / octonion / sédénion coniques, nombres bicomplexes

Quand w et z sont à la fois des nombres complexes

w :=∼a + ib\,

z :=∼c + id\,

(a, b, c, d réels) alors l'algèbre t est isomorphe aux quaternions coniques a + bi + c \varepsilon + d i_0\,, de base \{ 1,∼i,∼\varepsilon ,∼i_0 \}\,, avec les identités suivantes :

1 \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad i \equiv \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix} \qquad \varepsilon \equiv \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \qquad i_0 \equiv \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{pmatrix}

Ils sont aussi isomorphes aux nombres bicomplexes (à partir des nombres multicomplexes) de base \{ 1,∼i_1, i_2, j \} si une identité :

1 \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad i_1 \equiv \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix} \qquad i_2 \equiv \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{pmatrix} \qquad j \equiv \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}

À noter que j dans les nombres bicomplexes est identifié avec le signe opposé de j à partir de ci-dessus.

Quand w et z sont à la fois des quaternions (de base \{ 1,∼i_1,∼i_2,∼i_3 \}\,), alors l'algèbre t est isomorphe aux octonions coniques ; donnant la possibilité les octonions pour w et z (de base \{ 1,∼i_1, ..., ∼i_7 \}\,), l'algèbre résultante est semblable aux sédénions coniques.

Propriétés algébriques

Les tessarines, quand w et z sont des nombres complexes, forment un anneau quaternionique commutatif et associatif (bien que les quaternions ne soient pas commutatifs). Ils permettent aussi les puissances, les racines et les logarithmes de j \equiv \varepsilon\,, qui est une racine non réelle de 1. Ils ne forment pas un corps à cause des éléments idempotents

\begin{pmatrix} z & \pm z \\ \pm z & z \end{pmatrix} \equiv z (1 \pm j) \equiv z (1 \pm \varepsilon)\,

a son déterminant / module 0 et donc ne peut pas être inversé multiplicativement. Qui plus est , l'arithmétique contient des diviseurs de zéro

\begin{pmatrix} z & z \\  z & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z & -z \\  -z & z \end{pmatrix}
\equiv zˆ2 (1 + j )(1 - j)
\equiv zˆ2 (1 + \varepsilon )(1 - \varepsilon) = 0.

Les quaternions forment un anneau inversible sans diviseurs de zéro, et peut aussi être représenté par des matrices de forme 2 x 2.

Références

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Tessarine.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu