Table de primitives

Le calcul d'une primitive d'une fonction est l'une des deux opérations de base de l'analyse et comme cette opération est délicate à effectuer, à l'inverse de la dérivation, des tables de primitives connues sont fréquemment utiles.



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Primitive

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Cet article est membre de la série
Primitives de fonctions
Rationnelles
Logarithmes
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Trigonométriques
Hyperboliques
Circulaires réciproques
Hyperboliques réciproques

Le calcul d'une primitive d'une fonction est l'une des deux opérations de base de l'analyse et comme cette opération est délicate à effectuer, à l'inverse de la dérivation, des tables de primitives connues sont fréquemment utiles.

Nous savons qu'une fonction continue sur un intervalle admet une illimitété de primitives et que ces primitives changent d'une constante ; nous désignons par C une constante arbitraire qui peut uniquement être déterminée si nous connaissons la valeur de la primitive en un point.

\textstyle\int f(x)\,\mathrm dx – nommé intégrale indéfinie de f – sert à désigner la totalité de l'ensemble des primitives d'une fonction f à une constante additive près.

Règles générales d'intégration

\int \bigl(a f(x) + b g(x)\bigr)\mathrm dx = a \int f(x)\,\mathrm dx + b \int g(x)\,\mathrm dx
\int_{a}ˆ{c}f(x)\,\mathrm dx = \int_{a}ˆ{b}f(x)\,\mathrm dx + \int_{b}ˆ{c}f(x)\,\mathrm dx

et surtout

\int_aˆb f(x) \, \mathrm dx = - \int_bˆa f(x) \, \mathrm dx
\int  f(x)\,g'(x)\,\mathrm dx = [f(x)\,g(x)] - \int g(x)\,f'(x)\,\mathrm dx

Primitives de fonctions simples

Article connexe : Primitive#Primitives courantes.
\int \,\mathrm dx = x + C

Primitives de fonctions rationnelles

\int xˆn\,\mathrm dx =  \frac{xˆ{n+1}}{n+1} + C\qquad\text{ si }n \ne -1
\int \frac1x\,\mathrm dx = \ln \left|x\right| + C
\int \frac{1}{1+xˆ2} \, \mathrm dx = \operatorname{Arctan}{x} + C
\int \frac{1}{aˆ2+xˆ2} \, \mathrm dx = \frac{1}{a}\operatorname{Arctan}{\frac{x}{a}} + C\qquad\text{ si }a \ne 0
\int \frac{1}{1-xˆ2} \, \mathrm dx = \frac{1}{2}\ln{\left|\frac{x+1}{x-1}\right|} + C = \operatorname{Argth}(x) + C
\int \frac{1}{(x-a)ˆn} \, \mathrm dx = -\frac{1}{(n-1)\,(x-a)ˆ{n-1}} + C\qquad\text{ si }n \ne 1
\int \frac{1}{x-a} \, \mathrm dx  = \ln|x-a| + C

Primitives de fonctions logarithmes

\int \ln {x}\,\mathrm dx = x \ln ({x}) - x + C
\int \log_b {x}\,\mathrm dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C

D'une façon plus générale, une primitive n-ième de ln (x) est donnée par

\frac{xˆn}{n!} (\ln ({x}) - \sum_{k=1}ˆ{n} \frac{1}{k}) + P_{n-1}(x) avec Pn − 1 (x) un polynôme de degré n − 1.

Primitives de fonctions exponentielles

\int eˆx\,\mathrm dx = eˆx + C
<img class=Primitives de fonctions irrationnelles
\int {1 \over \sqrt{1-xˆ2}} \, \mathrm dx = \operatorname{Arcsin} {x} + C
\int {-1 \over \sqrt{1-xˆ2}} \, \mathrm dx = \operatorname{Arccos}{x} + C
\int {x \over \sqrt{xˆ2-1}} \, \mathrm dx = \sqrt{xˆ2-1} + C

Primitives de fonctions trigonométriques

\int \cos{x}\, \mathrm dx = \sin{x} + C
\int \sin{x}\, \mathrm dx = -\cos{x} + C
\int \tan{x} \, \mathrm dx = -\ln| \cos x | + C OU \int \tan{x} \, \mathrm dx = \ln| \sec x | + C
\int \operatorname{cosec}\,x \, \mathrm dx = -\ln| \operatorname{cosec}\,x + \operatorname{cotan}\,x| + C
\int \sec{x} \, \mathrm dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C
\int \operatorname{cotan}\,x \, \mathrm dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C
\int \secˆ2 x \, \mathrm dx = \tan x + C
\int \operatorname{cosec}ˆ2\,x \, \mathrm dx = -\operatorname{cotan}\,x + C
\int \sinˆ2 x \, \mathrm dx = {2x - \sin 2x \over 4} + C
\int \cosˆ2 x \, \mathrm dx = {2x + \sin 2x \over 4} + C
\int \frac{1}{\sin x}\,\mathrm dx = \ln{\left| \tan \frac{x}{2} \right|} + C
\int \frac{1}{\cos x}\,\mathrm dx = \ln{\left| \tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \right|} + C

Primitives de fonctions hyperboliques

\int \operatorname{sh}\,x \, \mathrm dx = \operatorname{ch}\,x + C
\int \operatorname{ch}\,x \, \mathrm dx = \operatorname{sh}\,x + C
\int \operatorname{th}\,x \, \mathrm dx = \ln (\operatorname{ch}\,x) + C
\int \operatorname{cosech}\,x \, \mathrm dx = \ln\left| \operatorname{th} {x \over2}\right| + C
\int \operatorname{sech}\,x \, \mathrm dx = \operatorname{Arctan}(\operatorname{sh}\,x) + C
\int \coth x \, \mathrm dx = \ln|\operatorname{sh}\,x| + C

Primitives de fonctions circulaires réciproques

Elles s'obtiennent dans la majorité des cas par intégration par parties. On suppose a\ne 0.

\int \operatorname{Arcsin}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm dx=x \operatorname{Arcsin}\,\left(\frac{x}{a}\right)+\sqrt{aˆ2-xˆ2}+C
\int \operatorname{Arccos}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm dx=x \operatorname{Arccos}\,\left(\frac{x}{a}\right)-\sqrt{aˆ2-xˆ2}+C
\int \operatorname{Arctan}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm dx=x \operatorname{Arctan}\,\left(\frac{x}{a}\right)-\frac{a}{2}\ln(aˆ2+xˆ2)+C
\int \operatorname{Arccotan}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm dx=x \operatorname{Arccotan}\,\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{a}{2}\ln(aˆ2+xˆ2)+C
\int \operatorname{Arcsec} \left(\frac{x}{a}\right) \, \mathrm dx = x\,\operatorname{Arcsec} \left(\frac{x}{a}\right) -a\,\ln{\left [\frac{x}{a}\,\left(1+\sqrt{1-{aˆ2\over xˆ2}}\right)\right ]} + C
\int \operatorname{Arccosec} \left(\frac{x}{a}\right) \, \mathrm dx = x\,\operatorname{Arccosec} \left(\frac{x}{a}\right) +a\,\ln{\left [\frac{x}{a}\,\left(1+\sqrt{1-{aˆ2\over xˆ2}}\right)\right ]} + C

Primitives de fonctions hyperboliques réciproques

On suppose a\ne 0.

\int \operatorname{argsh}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm dx=x \,\operatorname{argsh}\,\left(\frac{x}{a}\right)-\sqrt{xˆ2+aˆ2}+C
\int \operatorname{argch}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm dx=x \,\operatorname{argch}\,\left(\frac{x}{a}\right)-\sqrt{xˆ2-aˆ2}+C
\int \operatorname{argth}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm dx=x\, \operatorname{argth}\,\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{a}{2}\ln(aˆ2-xˆ2)+C
\int \operatorname{argcoth}\,\left(\frac{x}{a}\right)\,\mathrm dx=x \,\operatorname{argcoth}\,\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{a}{2}\ln(xˆ2-aˆ2)+C
\int \operatorname{argsech} \left(\frac{x}{a}\right) \, \mathrm dx = x\,\operatorname{argsech} \left(\frac{x}{a}\right) - a\,\operatorname{arctan} \left ( \sqrt{{aˆ2\over xˆ2}-1}\right )+ C
\int \operatorname{argcosech} \left(\frac{x}{a}\right) \, \mathrm dx = x\,\operatorname{argcosech} \left(\frac{x}{a}\right) + a\,\ln{\left [\frac{x}{a}\left(1+\sqrt{1+{aˆ2\over xˆ2}}\right)\right]}+ C



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