Système d'équations

Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations faisant appel aux mêmes inconnues.



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Mathématiques élémentaires - Équation

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Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations faisant appel aux mêmes inconnues.

Dans la vie courante et en sciences, les phénomènes dépendent le plus fréquemment de plusieurs paramètres. Pour les modéliser, on utilise en mathématiques les dispositifs d'équations à plusieurs inconnues. Un problème mathématique comportant moins d'équations que d'inconnues a une illimitété de solutions.

Exemple d'équation avec une illimitété de solutions

L'équation 4x + 2y = -1\, a une illimitété de solutions. Si je prends pour x\, la valeur 1\,, j'obtiens :

D'une façon plus générale, si x\, est un nombre quelconque, y\, doit totalement valoir

Définitions mathématiques

On nomme système d'équations un ensemble (S)\, de plusieurs équations à plusieurs inconnues qu'on doit résoudre en même temps.

Exemple :\left\{\begin{matrix} 4x + 2y = -1 \\ 3x - y = 2 \end{matrix}\right. est un dispositif de deux équations à deux inconnues.

Résoudre (S)\,, c'est trouver l'ensemble des valeurs qu'il faut donner à chaque inconnue en même temps pour que toutes les égalités soient vraies.

Le dispositif (S)\, est linéaire s'il existe des nombres réels a,b,c,a',b',c'\, tels que (S)\, soit de la forme :\left\{\begin{matrix} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{matrix}\right..

Systèmes de 2 équations linéaires à 2 inconnues

Interprétation graphique

Celle-ci va nous permettre d'établir des théorèmes utiles pour la suite.
Chaque équation du dispositif (S)\, définit une fonction affine, et est par conséquent représentée par une droite dans un repère. Or :

D'où le théorème suivant :

Théorème 1 : Un dispositif de 2 équations linéaires à 2 inconnues a :

On démontre aussi le théorème suivant (en se reportant plus haut pour les notations)  :

Théorème 2 : Un dispositif de 2 équations linéaires à 2 inconnues admet une seule solution si, et uniquement si, le nombre  ab'-a'b\, est non nul, c'est-à-dire : ab'-a'b \ne 0\,.

On nomme  ab'-a'b\, le déterminant du dispositif (S).

Exemple de résolution graphique : Soit le dispositif :\left\{\begin{matrix} 4x + 2y = -1 \\ 3x - y = 2 \end{matrix}\right..

La première équation équivaut à y = -0P- 2x\, (voir plus haut).

La seconde équation équivaut à :

En traçant les droites d'équations respectives y = -0P- 2x\, et y = 3x - 2\,, on voit que leur point d'intersection est (00-1\,. La solution (approximative) du dispositif est x= 00, et y= -1,.

Résolution algébrique

Il existe deux méthodes a priori différentes, mais qui reposent sur le même principe de base : élimination d'une inconnue. Détaillons-les sur un exemple.

Méthode par substitution

Exemple : Reprenons le dispositif :\left\{\begin{matrix} 4x + 2y = -1 \\ 3x - y = 2 \end{matrix}\right..

Exprimons y\, selon x\, dans la première équation. On obtient y = -0P- 2x\,. Remplaçons par conséquent y\, par -0P- 2x\, dans la seconde équation. On a :

Or, y = -0P- 2x\,. Par conséquent on obtient : y = -0P- 2 \times 00= -0P- 0`= -1,.

La solution du dispositif est le couple (x ; y) = (00; -1\,.

Méthode par combinaison ou élimination

Cette méthode est aussi nommée "méthode par addition" ou "par combinaison linéaire".
Exemple : Reprenons le dispositif :\left\{\begin{matrix} 4x + 2y = -1 \\ 3x - y = 2 \end{matrix}\right..

Pour éliminer y\,, multiplions la seconde ligne par 2\, et additionnons les deux lignes ainsi obtenues. On a : \left\{\begin{matrix} 4x +2y = -1 \\2 \times 3x - 2 \times y = 2 \times 2 \end{matrix}\right. puis \left\{\begin{matrix} 4x +2y = -1 \\ 6x - 2y = 4 \end{matrix}\right. et l'addition donne : 10x = 3\,
. En résolvant cette équation, on obtient x = \dfrac{3}{10} = 00,.

Remplaçons x\, par 00, dans la première ligne. On obtient :

On retrouve la solution (00; -1\,

Cas général

En général, pour un dispositif sous la forme : \left\{\begin{matrix} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{matrix}\right., pour lequel le déterminant ab'-ba' \, est non nul, on a y=\dfrac{ac' - a'c}{ab' - a'b} et x=\dfrac{cb'-c'b}{ab'-a'b}.

Système de 3 équations à 3 inconnues

Les dispositifs de 3 équations à 3 inconnues se résolvent aussi de cette manière :

Méthode par substitution

\left\{\begin{matrix} x+10y-3z=5 \quad[1] \\ 2x-y+2z=2 \quad[2] \\ -x+y+z=-3 \quad[3] \end{matrix}\right..

Pour résoudre ce dispositif de 3 équations à 3 inconnues, on isole une inconnue dans une des équations. Dans ce dispositif, on isole l'inconnue x dans l'équation [1]

[1] : \ x=-10y+3z+5 .

Maintenant on remplace l'inconnue \ x dans les équations [2] et [3], qui donne un dispositif de 2 équations à 2 inconnues à résoudre avec les méthodes de substitution ou d'addition.

\left\{\begin{matrix} 2(-10y+3z+5)-y+2z=2 [2] \\ -(-10y+3z+5)+y+z=-3 [3] \end{matrix}\right..

Après avoir trouvé \ y et \ z , on les remplace dans l'équation [1] pour trouver \ x .

Méthode par élimination

\left\{\begin{matrix} x+10y-3z=5 \quad[1] \\ 2x-y+2z=2 \quad[2] \\ -x+y+z=-3 \quad[3] \end{matrix}\right..

Pour résoudre ce dispositif, on peut éliminer \ x par exemple dans les équations [2] et [3] en les remplaçant par les équations - 2 × [1] + [2] et [1] + [3]. Le dispositif est alors équivalent au dispositif

\left\{\begin{matrix} x+10y-3z=5 \quad[1] \\ -21y+8z=-8 \quad[2'] \\ 11y-2z=2\quad[3'] \end{matrix}\right..

Il suffit alors d'éliminer une autre inconnue, \ z par exemple, dans [3'] en la remplaçant par 4 × [3'] + [2']. Le dispositif est alors équivalent au dispositif triangulaire suivant :

\left\{\begin{matrix} x+10y-3z=5 \quad[1] \\ -21y+8z=-8 \quad[2'] \\ 23y=0\quad[3''] \end{matrix}\right.

L'équation [3"] sert à trouver \ y, qui remplacé dans l'équation [2'] sert à trouver \ z. Ces deux valeurs, remplacées dans l'équation [1] sert à trouver \ x

Cette méthode se généralise à des dispositifs comportant davantage d'équations et davantage d'inconnues et prend le nom de méthode du pivot de Gauss.


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