Symétrie

Une symétrie géométrique est une transformation géométrique qui est involutive : quand on l'applique deux fois à un point ou à une figure on retrouve la figure de départ. Parmi les symétries courantes, on peut citer la réflexion, la symétrie centrale, etc.

Une symétrie géométrique est un cas spécifique de symétrie. Il existe plusieurs sortes de symétries dans le plan ou dans l'espace.

Remarque : Le terme de symétrie possède aussi un autre sens en mathématiques. Dans l'expression groupe de symétrie, une symétrie sert à désigner une isométrie quelconque. Ce terme sert à désigner soit une translation, soit un automorphisme orthogonal, soit la composée des deux.

Symétrie dans le plan

Symétrie comparé à un point

Présentation

La symétrie de centre O est la transformation qui, à tout point M, associe le point M'tel que O soit le milieu de [MM'].

Construction : Tracez la droite (d) passant par A et O. Prolongez l'au-delà de O. Avec un compas pointé en O et un écartement égal à OA, recoupez (d) en A'.

Le seul point invariant de cette symétrie est le point O.

Une symétrie de centre O est aussi une rotation d'angle plat et une homothétie de centre O et de rapport -1

Centre de symétrie

Une figure possède un centre de symétrie C si elle est invariante par la symétrie de centre C.

Exemples de centre de symétrie :

• Les lettres N, S et Z possèdent un centre de symétrie. D'autres lettres possèdent un centre de symétrie car elles possèdent deux axes de symétrie, on les découvrira dans le chapitre des symétrie orthogonale dans un plan.
• Un parallélogramme possède pour centre de symétrie le point d'intersection de ses diagonales. Cette propriété est caractéristique des parallélogrammes : un quadrilatère ABCD possédant cette propriété est obligatoirement un parallélogramme.

• L'hexagone est un polygone qui admet l'intersection de ses diagonales comme centre de symétrie.
• Le cercle admet son centre comme centre de symétrie.
• En analyse, une courbe d'équation y = f (x) possède un centre de symétrie C (a ; b) si et uniquement si, pour tout réel h tel que a + h appartienne au domaine de définition de f, on a
  • a - h appartient au domaine de définition
  • f (a + h) + f (a - h) = 2b

Quand le centre de symétrie est à l'origine du repère, la fonction est dite impaire. Dans ce cas l'expression précédente se simplifie en : f (- h) = - f (h).

Groupe des symétries centrales-translations

La composée de deux symétries de centres O et O', s_O' o s_O est une translation de vecteur

Le théorème des milieux sert à remarquer que

Cette propriété sert à définir un premier groupe de transformations du plan : celui des symétries centrales-translations. En effet, en composant deux symétries centrales ou translations, on obtient une symétrie centrale ou une translation. Et, pour obtenir l'application semblable, il suffit de composer une translation de vecteur u par la translation de vecteur -u, ou de composer une symétrie centrale par elle-même.

La symétrie centrale conserve les distances et les angles orientés. C'est par conséquent une isométrie positive ou déplacement. Le groupe défini auparavant est par conséquent un sous-groupe du groupe des déplacements.

Symétrie orthogonale comparé à une droite

Présentation

On les nomme aussi des réflexions d'axe (d) . La réflexion d'axe (d) est la transformation du plan qui laisse l'ensemble des points de (d) invariants et qui, à tout point M non localisé sur (d), associe le point M'tel que (d) soit la médiatrice de [MM']. Comme il existe deux définitions équivalentes de la médiatrice, on connaît ainsi deux constructions équivalentes du point M'.

Construction

Données : l'axe de symétrie (d), le point A.

Objectif : construire A'symétrique de A par la symétrie orthogonale d'axe (d).

• Première méthode :

Tracez une droite perpendiculaire à (d) passant par A. Cette droite coupe l'axe en un point H.

Avec le compas pointé en H et écarté jusqu'à A, recouper la droite (AH) en A'

• Deuxième méthode :

Le point B étant donné, on cherche le point B'tel que l'axe (d) doit être la médiatrice de [BB'].

Pour construire le point B'nous allons utiliser la propriété suivante :Tout point d'une médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.

Nous choisissons deux points quelconques c1 et c2 de (d) et nous allons déterminer un point B'tel que c1B=c1B'et c2B=c2B'.

Ainsi nous sommes certains que (c1c2), c'est-à-dire d, est la médiatrice de [BB'].

Choisissez c1 et c2 sur (d).

Placez la pointe sèche du compas sur c1 et écartez l'autre branche jusqu'à B. Tracez un arc.

Exécutez la même chose avec la pointe sèche en c2.

Les deux arcs se coupent en B et en B'.

Axe de symétrie

Une figure possède un axe de symétrie (d) si et uniquement si elle est invariante par la réflexion d'axe (d)

Exemples de figures usuelles :

• Les lettres A, B, C, c, D, E, K, l, M, T, U, V, v, W, w possèdent le plus souvent un axe de symétrie dans nombre de polices de caractères simples (non cursives et non italiques).
• Le cercle possède une illimitétés d'axes de symétrie : tous ses diamètres. Ce peut être quelquefois le cas des lettres O et o élargies (non cursives et non italiques).
• Un angle quelconque a toujours un axe de symétrie : sa bissectrice. Ce peut être quelquefois le cas de la lettre L élargie (non cursives et non italiques).
• Le triangle isocèle possède un axe de symétrie : sa bissectrice principale. C'est le plus souvent le cas de la lettre grecque delta majuscule Δ (non cursive et non italique).
• Le triangle équilatéral possède 3 axes de symétrie : ses 3 bissectrices.
• Le losange en possède 2 : ses 2 diagonales.
• Le rectangle en possède 2 : ses 2 médianes.
• Le carré en possède 4 : ses 2 diagonales (puisque c'est aussi un losange) et ses 2 médianes (puisque c'est aussi un rectangle).
• En analyse,

  une courbe d'équation y = f (x) possède un axe de symétrie d'équation x = a si et uniquement si, pour tout h tel que (a + h) appartient au domaine de définition de f, on a :

  • (a − h) appartient au domaine de définition, et
  • f (a + h) = f (a − h)  ;

  quand l'axe de symétrie est l'axe (Oy), c'est-à-dire ici l'axe d'équation x = 0 (donc avec a = 0), la fonction est dite paire : f (h) = f (−h)

Une figure possédant deux axes de symétrie perpendiculaires a pour centre de symétrie le point d'intersection des deux droites. A titre d'exemple, les lettres H, I, O, X dans des polices de caractère simples (non cursives et non italiques) possèdent fréquemment deux axes de symétrie perpendiculaires, par conséquent aussi un centre de symétrie, de même le rectangle, le losange et le carré.

Réflexion et groupe des isométries

La réflexion conserve les distances et les angles. C'est par conséquent une isométrie. Mais elle ne conserve pas l'orientation (voir chiralité). On dit que c'est un antidéplacement.

Composition des réflexions

La composée de deux réflexions d'axes parallèles est une translation, de distance égale à deux fois la distance entre ces axes. Dans l'image ci-contre, les propriétés vectorielles des milieux permettent de dire que
La composée de deux réflexions d'axes sécants est une rotation, d'angle égal au double de l'angle constitué entre les deux axes. Dans l'image ci-contre, les propriétés sur les bissectrices permettent de dire que

On remarque tandis que la totalité des réflexions génère tout la totalité des isométries.

Symétrie oblique

La symétrie comparé à une droite (d) suivant une direction (d') (non parallèle à (d) ) est la transformation qui laisse l'ensemble des points de (d) invariants et qui, à tout point M non localisé sur (d) associe le point M' tel que la droite (MM') soit parallèle à (d') et le milieu de [MM'] soit sur (d)

Cette symétrie est bien involutive : le symétrique de M' est bien M. Elle offre moins d'intérêt que ses cousines car elle ne conserve pas les distances : elle déforme les figures. Cependant, elle conserve les barycentres et fait par conséquent partie des transformations affines.

Symétrie dans l'espace

Symétrie centrale

On retrouve la même définition et les mêmes propriétés que pour la symétrie centrale dans le plan, à ceci près qu'une symétrie centrale ne conserve pas l'orientation dans l'espace.



Le bonhomme lève la main droite et son image lève la main gauche.

Symétrie orthogonale comparé à une droite

On retrouve la même définition que dans le plan. Une symétrie orthogonale comparé à une droite est aussi une rotation d'axe (d) et d'angle plat.

Au contraire de ce qui se passe dans le plan, une telle symétrie dans l'espace conserve l'orientation.


Le bonhomme lève la main droite et son image lève la main droite.

Symétrie orthogonale comparé à un plan

La symétrie orthogonale comparé au plan (P) est la transformation qui laisse l'ensemble des points de (P) invariants et qui, à tout point M non localisé sur (P), associe le point M' tel que (P) soit le plan médiateur de [MM']

Une telle symétrie conserve les distances et les angles mais ne conserve pas l'orientation. C'est pourquoi, lorsque vous levez la main droite devant votre miroir, votre image lève sa main gauche.

On démontre que la totalité des symétries comparé à des plans génère par composition tout la totalité des isométries de l'espace

Les symétries obliques

On peut tout autant définir des symétries d'axe (d) selon la direction (P) ou des symétries comparé à (P) suivant la direction (d), à condition que tout sous-espace égal ou parallèle à (P) ne contienne pas entièrement (d) ni ne soit entièrement contenu dans (d) et que leur intersection se diminue à un seul point (sinon ces transformations ne sont pas des symétries mais des projections).

Mais ces transformations ne sont pas des isométries si (d) et (P) ne sont pas orthogonaux. Ces transformations (de même que les projections) conservent cependant les barycentres et sont des cas spécifiques de transformations affines de l'espace.

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Sym%C3%A9trie_(transformation_g%C3%A9om%C3%A9trique).
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.