Superficie

L'aire ou la superficie est une mesure d'une surface. Par métonymie, on sert à désigner fréquemment cette mesure par le terme «surface» lui-même (par exemple, on parle de la «surface d'un appartement» tandis qu'il faudrait parler de sa superficie). Le terme aire (du bas latin æra, espace plan) est utilisé en mathématiques, tandis que superficie lui est préféré dans les autres domaines.

En pratique, la superficie est utilisée pour déterminer les prix d'un appartement, le rendement d'un terrain agricole ou la quantité de peinture à utiliser pour colorer une surface. L'unité d'aire, dans le système international d'unités est le mètre carré (m²), quoique l'hectare (1 ha = 10 000 m²) lui soit fréquemment préféré pour les terrains.

La détermination de la surface de terrains agricoles puis de figures abstraites a été à l'origine de la géométrie et un moteur important du développement de cette science et des mathématiques généralement.

Du point de vue mathématique, l'aire d'une surface est un nombre réel positif qui répond à des propriétés d'additivité (si on partage une surface, la somme des aires de chaque morceau est égale à la surface d'origine) et de conservation par des isométries (déplacer une surface ne modifie pas son aire). L'aire des surfaces complexes est déterminée avec ces propriétés et du fait que l'aire d'un carré de côté 1 est égale à 1 avec un raisonnement par découpage, déplacement et collage peut-être complété par un passage à la limite ou d'autres méthodes, comme le calcul intégral.

Propriétés

La superficie S d'une surface suit quatre propriétés^[1] :

1. La superficie d'une surface est un nombre positif ou nul.
2. Une unité de longueur étant choisie, la superficie du carré de côté 1 est égale à 1.
3. La superficie est additive. Cela veut dire que, les superficies de deux surfaces disjointes A et B étant données, la superficie de leur union est la somme de leurs superficies :

   S (A ∪ B) = S (A) + S (B).

   Cette propriété peut être interprétée ainsi : si on «découpe» une figure, on obtient deux figures dont les aires additionnées redonnent l'aire de départ.

4. La superficie est invariante par isométrie. Cela veut dire qu'une figure peut être déplacée ou retournée sans que cela modifie sa superficie.

La propriété d'additivité est étendue, par récurrence, à un entier naturel n supérieur à deux quelconque : si A₁, A₂, ... A_n sont des surfaces deux à deux disjointes d'aires respectives S (A₁), S (A₂), ... S (A_n), alors

S (A₁ ∪ A₂ ∪... ∪A_n) = S (A₁) + S (A₂) +... + S (A_n)

ce qui se note plus rigoureusement :

Mais cette propriété d'additivité finie ne suffit pas, ne serait-ce que pour prouver la formule de calcul de l'aire d'un disque (voir plus bas). Elle est par conséquent étendue à une famille illimitée dénombrable de surfaces planes (A_n) _{n∈ N^∗} deux à deux disjointes dont les aires sont supposées connues, avec le résultat analogue au précédent :

On parle alors de σ-additivité^[2] («sigma-additivité»).

Calcul de l'aire

La figure de base pour le calcul d'une aire est le carré unité, de côté 1, suivie du rectangle. Avec l'aire du rectangle, il est envisageable de déterminer l'aire d'un triangle rectangle (vu comme un demi-rectangle) ou d'un parallélogramme, puis celle d'un triangle et , par suite, d'un polygone quelconque.

La formule de l'aire d'un disque est plus complexe à démontrer : elle nécessite le passage par une limite de suite. L'idée d'approcher successivement une surface complexe par une suite de surfaces plus simples (en général, des rectangles ou des polygones) est principale. Une surface qui peut être «correctement» approchée par des rectangles, au point qu'on puisse en déduire son aire par un calcul de limite est dite quarrable.

Occasionnellemen, l'analyse vient au secours de la géométrie, quand les raisonnements par découpage et recollement ne suffisent plus. Certaines aires sont identiques à des intégrales qui peuvent quelquefois être calculées à partir de primitives d'une fonction.

D'autres cas sont plus pathologiques : les mathématiciens ont établi une théorie de la mesure pour généraliser les résultats sur les aires. Pour les fractales, les aires ne sont pas calculables — ou non satisfaisantes. La notion de dimension de Hausdorff généralise celle d'aire, pour un objet fractal plan.

Surfaces usuelles

Ci-dessous sont données les formules de calcul d'aire usuelles les plus courantes^[3] et des démonstrations, qui illustrent les raisonnements géométriques fréquemment utilisés pour résoudre les problèmes d'aire^[4] : «coupé-collé»^[5], quelquefois en imaginant une illimitété de découpages par des considérations sur les limites.

Rectangle

Démonstration

Un rectangle^[6] dont la longueur et la largeur sont identiques à des nombres entiers m et n peut être vu comme composé de m lignes contenant chacune n carrés unité. Son aire est par conséquent égale à m × n.

Si les dimensions du rectangle sont des fractions ^m⁄_p et ⁿ⁄_q, on considère qu'on a «découpé» le rectangle de dimensions m et n en p parts identiques, puis chacune de ces parts à nouveau en q parts identiques. Le rectangle de dimensions m et n contient par conséquent p × q fois celui de dimensions ^m⁄_p et ⁿ⁄_q. L'aire de ce dernier rectangle est par conséquent égale à ^m⁄_p × ⁿ⁄_q.

Ce résultat se généralise au cas où la longueur et la largeur du rectangle sont des nombres réels, mais le raisonnement est plus abstrait : il nécessite un passage à la limite, en considérant que tout nombre réel est la limite d'une suite de nombres rationnels^[7].

Cas spécifique du carré

Un carré est un rectangle dont la longueur et la largeur sont identiques à un même nombre nommé côté du carré. Un carré de côté c possède une aire égale à c × c, ce qui se note c². Réciproquement, tout nombre de la forme c² (où c est positif) peut être reconnu comme l'aire d'un carré de côté c, ce qui explique que c² se lit «c au carré» ou «le carré de c»^[8].

Triangle

La formule de calcul de l'aire d'un triangle la plus courante est^[9] :

Tout triangle rectangle dont les cathètes (ou petits côtés) mesurent a et b peut être reconnu comme la moitié d'un rectangle de dimensions a et b partagé en deux par une de ses diagonales. L'aire de ce triangle rectangle est par conséquent égale à .

D'une façon plus générale, tout triangle de hauteur d'un triangle h et de côté associé b (dans ce cas, le côté est nommé base) est la moitié d'un rectangle de dimensions h et b, ce qui donne la formule classique de calcul d'aire d'un triangle :

D'autres méthodes permettent de calculer l'aire d'un triangle et , par suite, de tout polygone en utilisant le fait que tout polygone peut être partagé en un nombre fini de triangles^[10]. C'est surtout en partageant un polygone régulier en triangles dont un sommet est son centre qu'on obtient les formules usuelles de calcul de l'aire d'un polygone régulier.

En accolant au triangle rectangle gris un autre triangle isométrique suivant l'hypoténuse, on obtient un rectangle.

Un triangle vu comme un demi-rectangle.

Un polygone partagé en triangles.

Disque

La démonstration de ce résultat^[11] repose sur un passage à la limite en partageant le disque en une illimitété de triangles.

En considérant n points A₁, A₂, ... A_n régulièrement espacés sur un cercle de centre O et de rayon R, on obtient un polygone régulier à n côtés constitué de n triangles isocèles OA₁A₂, OA₂A₃, etc. Tous ces triangles ont une hauteur égale à R et les bases associées, pour tous ces triangles, sont identiques à la distance A₁A₂. L'aire de chaque triangle est par conséquent ¹⁄₂R × A₁A₂ et celle du polygone régulier A₁A₂... A_n est ¹⁄₂R × nA₁A₂. Quand le nombre n de points tend vers l'infini, le périmètre du polygone tend à se confondre avec celui du cercle dans lequel il est inscrit, par conséquent nA₁A₂ tend vers 2πR. Ainsi, ¹⁄₂R × nA₁A₂ tend vers ¹⁄₂R × 2πR ce qui donne bien le résultat annoncé.

Intégrale

Le plan étant pourvu d'un repère orthonormé, pour une fonction numérique f positive et continue, l'intégrale de Riemann de f sur un intervalle [a ; b] est l'aire du domaine défini^[12] par :

• l'axe des abscisses ;
• les droites d'équation respectives x = a et x = b ;
• la graphe de la fonction f.

Cette intégrale est notée

Cette aire peut être évaluée par des méthodes numériques en approchant l'aire sous la courbe par des surfaces usuelles : rectangles ou trapèzes surtout. Occasionnellemen, un calcul de limite sert à déterminer la valeur exacte de l'intégrale, par un raisonnement comparable à celui utilisé ci-dessus pour le disque^[13].

Un raisonnement mêlant des considérations sur les aires et du calcul différentiel sert à prouver^[14] que

où F est une primitive de f sur [a ; b]. Ainsi, la connaissance de primitives d'une fonction permet d'élargir la totalité des aires calculables par «découpage» vues auparavant.

Ainsi les raisonnements sur les aires et le calcul différentiel se nourrissent et s'enrichissent mutuellement. Les calculs d'aire ont par conséquent un retentissement sur de nombreux domaines des mathématiques, par le biais des intégrales, surtout les probabilités ou les statistiques par le calcul de la valeur moyenne d'une fonction.

Méthode de Monte Carlo

Si le calcul d'aires permet de perfectionner la connaissance de probabilités via les intégrales, la réciproque est aussi vraie. Soit une surface S, dont l'aire est connue, qui en contient une autre, L d'aire inconnue. La méthode de Monte-Carlo consiste à envoyer des points au hasard dans S. On dénombre alors le nombre total n_S de points et le nombre n_L qui se sont trouvés, par hasard, dans L. Il est alors probable que le rapport des aires de L et S soit proche du rapport de n_L sur n_S. La marge d'erreur sera statistiquement d'autant plus faible que le nombre de points n_S sera grand.

Problèmes d'aire

Quadrature du cercle

Un problème d'aire a traversé les siècles, depuis au moins Anaxagore^[15] (V^e siècle av. J. -C. ) jusqu'à 1882, quand Ferdinand von Lindemann prouve que π est un nombre transcendant : celui de la quadrature du cercle qui consiste à construire, à la règle et au compas, un carré d'aire égale à celle d'un disque donné.

Confusion entre aire et périmètre

Le périmètre est , avec l'aire, l'une des deux mesures principales des figures géométriques planes. Il est habituel de confondre ces deux notions^[16] ou de croire que, plus l'une est grande, plus l'autre l'est aussi. En effet l'agrandissement (ou la réduction) d'une figure géométrique fait croître (ou décroître) simultanément son aire et son périmètre. A titre d'exemple, si un terrain est représenté sur une carte à l'échelle 1 :10 000, le périmètre réel du terrain peut être calculé en multipliant le périmètre de la représentation par 10 000 et l'aire en multipliant celle de la représentation par 10 000². Il n'existe cependant aucun lien direct entre l'aire et le périmètre d'une figure quelconque. A titre d'exemple, un rectangle possédant une aire égale à un mètre carré peut avoir comme dimensions, en mètres : 0, 5 et 2 (donc un périmètre égal à 5 m) mais également 0, 001 et 1000 (donc un périmètre de plus de 2 000 m). Proclus (V^e siècle) rapporte que des paysans grecs se sont partagés «équitablement» des champs suivant leurs périmètres, mais avec des aires différentes^{[17], [18]}. Or, la production d'un champ est proportionnelle à l'aire, non au périmètre : certains paysans naïfs ont pu obtenir des champs avec de longs périmètres, mais une aire (et par conséquent une récolte) médiocre.

Isopérimétrie, surface minimale

L'isopérimétrie traite, surtout, la question de trouver la surface la plus vaste envisageable, pour un périmètre donné. La réponse est intuitive, c'est le disque^[19]. Ceci explique pourquoi, surtout, les yeux à la surface d'un bouillon ont une forme circulaire.

Ce problème, d'apparence anodin, fait appel à des théories particulièrement élaborées pour obtenir une démonstration rigoureuse. On simplifie quelquefois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées. Par exemple on cherche le quadrilatère ou le triangle d'aire la plus vaste envisageable, toujours pour un périmètre donné. Les solutions respectives sont le carré et le triangle équilatéral. Généralement, le polygone à n sommets ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est celui qui se rapproche le plus du cercle, c'est le polygone régulier.

L'isopérimétrie ne se limite pas à ces questions. On recherche aussi une zone d'aire la plus vaste envisageable pour un périmètre donné, avec des géométries différentes. A titre d'exemple, dans le cas d'un demi-plan, la réponse est le demi-disque.

Ce concept donne naissance à une famille de théorèmes, dit isopérimétriques, à des majorations dites inégalités isopérimétriques, ainsi qu'à un rapport, nommé quotient isopérimétrique. L'inégalité isopérimétrique indique qu'une surface de périmètre p et d'aire a vérifie la majoration suivante :

Le terme de gauche, est nommé quotient isopérimétrique, il est égal à 1 si, et uniquement si la surface est un disque.

Si l'origine de cette question date d'au moins 2 900 ans^[20], ce n'est qu'en 1895, avec méthodes dérivées du théorème de Minkowski que la question est définitivement résolue sous sa forme antique^[21]. Ces méthodes permettent de démontrer le théorème isopérimétrique et de le généraliser à des dimensions supérieures dans le cas d'une géométrie euclidienne.

Le problème d'isopérimétrie dans l'espace à trois dimensions consiste à chercher, le plus grand volume contenu dans une surface d'aire donnée. La réponse est la sphère, ce qui entraîne surtout la forme des bulles de savon.

Voir l'article isopérimétrie pour les aspects élémentaires de cette question. Des éléments de réponse, faisant usage d'outils mathématiques plus particulièrement élaborés, sont proposés dans l'article Théorème isopérimétrique.

Une surface minimale est une surface de l'espace à trois dimensions qui, sous certaines contraintes, minimise l'aire au voisinage de chacun de ses points. Cela veut dire qu'une petite variation de cette surface rend l'aire plus grande^[22]. Pour un ensemble donné de contraintes, il peut exister plusieurs surfaces minimales. Les surfaces minimales sont spontanément prises par un film de savon qui s'appuie sur un cadre^[23] car de telles surfaces minimisent aussi les forces exercées sur le film. La recherche de telles surfaces est nommée en mathématiques problème de Plateau, elle nécessite des raisonnements de calcul différentiel^[24].

Grande surface

A contrario, le problème d'obtenir, pour un volume donné, la figure avec la plus grande superficie envisageable se pose. Une solution mathématiquement simple existe : une surface sans épaisseur possède un volume nul. De telles formes se trouvent dans la nature : une feuille de plante verte est le plus souvent particulièrement peu épaisse mais large, afin d'exposer la plus grande surface envisageable au soleil, pour faciliter la photosynthèse^[25]. Mais une grande surface du limbe foliaire de la feuille facilite aussi la transpiration, les plantes devant lutter contre des périodes de sécheresse (pins, cactus... ) ont ainsi fréquemment des feuilles plus épaisses pour diminuer leur superficie et par conséquent lutter contre le dessèchement^[26].

Une autre stratégie envisageable consiste à prendre une solide ainsi qu'à le percer de la plupart de trous. A titre d'exemple, l'éponge de Menger est construite à partir d'un cube qu'on partage trois tranches identiques suivant chacune des trois dimensions. Cela donne vingt-sept cubes égaux, puis on enlève les cubes centraux. On obtient alors un nouveau solide, de volume inférieur et d'aire supérieure au précédent, constitué de vingt cubes. Puis on reprend le même procédé pour chacun de ces vingt cubes, puis à nouveau pour les cubes ainsi obtenus, etc. En répétant le procédé indéfiniment, on obtient un objet fractal qui possède une aire illimitée et un volume égal à zéro, tout en ayant des dimensions (longueur, largeur, profondeur) identiques à celles du cube de départ^[27]. Des formes particulièrement découpées comme l'éponge de Menger se trouvent dans la nature, quand il s'agit de faciliter les échanges entre deux milieux : par exemple les poumons de mammifères (pour maximiser les échanges gazeux dans un volume réduit) ^[27], les branchies, intestins...

La surface spécifique d'un matériau est sa superficie par unité de masse^[28] : plus la surface spécifique est grande, plus l'objet peut échanger avec son environnement, plus il est poreux. La surface spécifique est surtout une caractéristique physique importante d'un sol, qui détermine sa capacité à retenir des éléments nutritifs ainsi qu'à les échanger avec des plantes^{[29], [30]}.

Histoire

Haute Antiquité

Selon Hérodote, la géométrie dans l'Égypte antique prend son origine dans l'obligation de répartir équitablement les surfaces des champs cultivés après les crues du Nil^[31]. Les Égyptiens connaissaient les formules usuelles de calcul des aires des polygones et la majorité des problèmes de géométrie conservés de cette époque concernent des problèmes d'aires^[32].

À Babylone, l'aire A était calculée à partir du périmètre P d'un cercle suivant une procédure équivalente à la formule^[31] :

Même quand ils connaissaient le diamètre d'un cercle, les scribes passaient toujours par le calcul de son périmètre (en multipliant le diamètre par 3) pour ensuite obtenir son aire. La procédure était la suivante^[33], comme dans cet exemple, extrait de la résolution d'un problème où il est demandé de déterminer le volume d'une bûche cylindrique dont le diamètre était 1 + ²⁄₃ :

En Égypte^{[31], [32]}, le calcul s'effectuait à partir du diamètre D :

Le raisonnement consistait certainement à inscrire un octogone et un cercle dans un carré^{[31], [32]}. La figure ci-contre illustre ce raisonnement : si le carré a pour côté le diamètre D du disque, l'octogone construit sur le tiers du côté du carré possède une aire de

.

L'aire du disque est reconnue comme un peu supérieure à celle de l'octogone, soit

.

La Grèce antique

• Euclide, dans ses Éléments, démontre l'identité remarquable

(a + b) ² = a² + b² + 2ab

par un raisonnement sur des aires de carrés.

• Héron d'Alexandrie (c. 100 ap. J. -C. ) publie la formule servant à calculer l'aire d'un triangle, connaissant ces trois côtés, et nommé formule de Héron. Mais cette formule était connue d'Archimède^[34]

Mathématiques arabes

Al-Khawarizmi, dans son Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, analyse et résout les équations du second degré par des considérations géométriques sur des aires de carrés, poursuivant en cela la tradition de l'algèbre géométrique remontant à l'Antiquité.

Voir aussi

Bibliographie

• A. Amiot, Éléments de géométrie : rédigés selon le nouveau programme de l'enseignement scientifique des lycées ; suivis d'un Complément à l'usage des élèves de mathématiques spéciales, C. Delagrave et Cie, Paris, 1870, 428 p.  
• Jean-Paul Colette, Histoire des mathématiques, vol.  1, Vuibert/ERPI, Montréal, 1973 
• Jean-Paul Colette, Histoire des mathématiques, vol.  2, Vuibert/ERPI, Montréal, 1973 
• Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] 
• (en) Yu. D. Burago, V. A. Zalgaller et L. D. Kudryavtsev, Encyclopædia of Mathematics, Springer (ISBN 1402006098) .
  L'article Area de cette encyclopédie de mathématiques traite de ce sujet.
   
• Jacques Faraut, Calcul intégral, EDP Sciences Editions, coll. «Enseignement sup. Mathématiques», 2006, 196 p. (ISBN 2868839126)  
• Roberto Gonzalo et Karl J. Habermann (trad. Yves Minssart), Architecture et efficacite énergetique : Principes de conception et de construction, Springer, 2008, 221 p. (ISBN 3764384514)  
• William G. Hopkins (trad. Serge Rambour), Physiologie végétale, De Bœck Université, 2003, 532 p. (ISBN 2744500895)  
• Philippe Joseph (dir. ), Écosystèmes forestiers des Caraïbes, Karthala Editions, 2009, 777 p. (ISBN 2811100903)  
• Benoit Mandelbrot, Les objets fractals, 4e édition, Flammarion, 1995 (ISBN 978-2-08-081301-5) [présentation en ligne] 
• Daniel Perrin, «Aires et volumes : découpage et recollement», Euler, Académie de Versailles
• (en) Eleanor Robson, Mathematics in Ancient Iraq : a Social History, Princeton University Press, 2008, 442 p. (ISBN 9780691091822)  
• Paul Tannery,, C. Delagrave, Paris, 1903, 352 p.
• Marc Troyanov, Cours de géométrie, PPUR presses polytechniques, 2009, 358 p.  
• Pieter Versteegh, Vincent Kaufmann, Michel Malet et Florinel Radu, Méandres : penser le paysage urbain, PPUR presses polytechniques, Lausanne, 2005, 192 p. (ISBN 9782880746230)  
• Bernard Vitrac, «Les géomètres de la Grèce antique», dans CultureMath, 2004 [texte intégral] 

Notes

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