Suite récurrente linéaire

En mathématiques, on nomme suite récurrente linéaire d'ordre p, toute suite à valeurs dans un corps K définie pour tout par la relation de récurrence suivante ...



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En mathématiques, on nomme suite récurrente linéaire d'ordre p, toute suite à valeurs dans un corps K (généralement \mathbb C ou \R) définie pour tout  n \geq n_0 par la relation de récurrence suivante :

a0, a1, …ap − 1 étant p scalaires fixés de K (a0 non nul), pour tout  n \geq n_0, on a

u_{n+p} = a_0u_n + a_1u_{n+1} + \cdots + a_{p-1}u_{n+p-1}

Une telle suite est entièrement déterminée par la donnée des p premiers termes de la suite et par la relation de récurrence.

Les suites récurrentes linéaires d'ordre 1 se nomment plus simplement des suites géométriques de raison a0.

L'étude des suites récurrentes linéaires d'ordre supérieur se ramène à un problème d'algèbre linéaire. L'expression du terme général d'une telle suite est envisageable pour peu qu'on soit capable de factoriser un polynôme qui lui est associé, nommé polynôme caractéristique ; le polynôme caractéristique associé à une suite vérifiant la relation de récurrence ci-dessus est :

P(X) = Xˆp - \sum_{i = 0}ˆ{p-1}a_iXˆi=Xˆp-a_{p-1}Xˆ{p-1}-a_{p-2} Xˆ{p-2}-\dots-a_1 X-a_0.

Son degré est ainsi égal à l'ordre de la relation de récurrence. Surtout, dans le cas des suites d'ordre 2, le polynôme est de degré 2 et peut par conséquent être factorisé avec un calcul de discriminant. Ainsi, le terme général des suites récurrentes linéaires d'ordre 2, peut être exprimé en utilisant uniquement les deux premiers termes, quelques valeurs constantes, quelques opérations élémentaires de l'arithmétique (addition, soustraction, multiplication, exponentielle) et les fonctions sinus et cosinus (si le corps des scalaires est le corps des réels). Une des suites de ce type est la très célèbre suite de Fibonacci qui peut s'exprimer à partir de puissances faisant intervenir le nombre d'or.

Suite récurrente linéaire d'ordre 1

Si la relation de récurrence est u_{n+1}=q\,u_{n}, le terme général est u_n = u_{n_{0}}qˆ{n-n_{0}}

Suite récurrente linéaire d'ordre 2

a et b étant deux scalaires fixés de K avec b non nul, la relation de récurrence est

un + 2 = aun + 1 + bun (R)

On va prouver que le terme général d'une telle suite à valeurs dans K, est

avec λ, μ paramètres dans K déterminés par les deux premières valeurs de la suite.

On va prouver de plus que dans le premier de ces deux cas, si les deux racines r1, r2 du polynôme X2aXb sont deux complexes conjugués ρeiθ et ρe iθ, alors le terme général de la suite s'écrit aussi

On ne perd rien à la généralité de la suite en supposant que celle-ci est définie sur tout \mathbb N et pas uniquement à partir de n0. En effet, si une suite (u) n'est définie qu'à partir de n0, elle induit la création d'une suite (v) définie sur \mathbb N en posant v_n = u_{n + n_0}.

L'idée est alors de rechercher des suites géométriques vérifiant la récurrence (R) . C'est-à-dire chercher des scalaires r tels que la suite (rˆn)_{n \in \mathbb N} vérifie (R) . On démontre facilement que ce problème équivaut à résoudre l'équation du second degré rˆ2- ar - b = 0\,. Le polynôme rˆ2- ar - b \, est alors nommé le polynôme caractéristique de la suite. Son discriminant est \Delta = aˆ2 + 4b\,. Il faudra alors distinguer plusieurs cas, selon le nombre de racines du polynôme caractéristique.

Si le polynôme possède deux racines différentes

Soient r1 et r2 les deux racines différentes. Les suites (r_1ˆn)_{n \in \mathbb N} et (r_2ˆn)_{n \in \mathbb N} vérifient (R) mais aussi toute suite dont le terme général serait \lambda r_1ˆn + \mu r_2ˆn (cela tient au caractère linéaire de la récurrence). A-t-on alors trouvé l'ensemble des suites vérifiant (R)  ? Une suite vérifiant (R) étant entièrement déterminée par la donnée de u0 et u1, il suffit de prouver qu'on peut toujours trouver λ et μ solutions du dispositif


\begin{cases}
\lambda + \mu = u_0 \\
\lambda r_1 + \mu r_2 = u_1
\end{cases}

Or ce dispositif a pour déterminant r2r1 non nul. Il est par conséquent toujours envisageable d'exprimer une suite vérifiant (R) comme combinaison linéaire des suites (r_1ˆn)_{n \in \mathbb N} et (r_2ˆn)_{n \in \mathbb N}

Cette situation se produit pour toute suite à valeurs réelles pour laquelle le discriminant \Delta = aˆ2 + 4b\, est strictement positif, ou pour toute suite à valeurs complexes pour laquelle le discriminant est non nul.

Si le polynôme possède une racine double

Si le discriminant est nul, le problème est tout autre car on ne trouve qu'une seule valeur r0, par conséquent une seule famille de suites géométriques (\lambda r_0ˆn)_{n \in \mathbb N} vérifiant (R) . L'idée consiste alors à rechercher les suites (\lambda_n)_{n \in \mathbb N} telles que, pour tout entier n, u_n = \lambda_n r_0ˆn avec (u_n)_{n \in \mathbb N} vérifiant (R) . Cette méthode se nomme la méthode de variation de la constante. On s'assure en premier lieu de l'existence de la suite (\lambda_n)_{n \in \mathbb N} en vérifiant que r0 n'est jamais nul. La relation de récurrence sur (u_n)_{n \in \mathbb N} se traduit par une relation de récurrence sur (\lambda_n)_{n \in \mathbb N} :

 r_0ˆ2\lambda_{n+2} =ar_0\lambda_{n+1} + b\lambda_n

En utilisant ensuite le fait que a2 + 4b = 0 et que r_0 = \dfrac{a}{2}, on obtient la relation caractéristique de toute suite arithmétique :

λn + 2 − λn + 1 = λn + 1 − λn

La suite (\lambda_n)_{n \in \mathbb N} est par conséquent une suite arithmétique de terme général

λn = λ + μn.

Les suites (u_n)_{n \in \mathbb N} vérifiant (R) ont alors pour terme général :

u_n =(\lambda + \mu n)r_0ˆn.

Ce résultat s'applique pour des suites à valeurs réelles ou complexes pour lesquelles le discriminant du polynôme caractéristique est nul.

Cas spécifique de deux racines différentes conjuguées

C'est le cas si le polynôme caractéristique est à cœfficients réels ainsi qu'à discriminant strictement négatif. L'équation du second degré possède alors dans \mathbb C deux racines conjuguées.

 r_1= \rho eˆ{i\theta}\, et  r_2= \rho eˆ{-i\theta}\,, différentes.

Le résultat du premier des deux cas ci-dessus s'applique : les suites complexes vérifiant (R) sont par conséquent les suites de terme général  \lambda\rhoˆn eˆ{in\theta} + \mu\rhoˆn eˆ{-in\theta}\,, avec λ, μ paramètres complexes. Par le changement de paramètres A=\lambda+\mu,\; B=i(\lambda-\mu)∼, ce sont aussi les suites de termes général  u_n = \rhoˆn (A\cos(n\theta) + B\sin(n\theta))\, avec A, B paramètres complexes.

Les suites réelles vérifiant (R) sont par conséquent les suites de terme général

 u_n = \rhoˆn (A\cos(n\theta) + B\sin(n\theta))\,

avec A, B paramètres réels. En effet, la condition sur les paramètres A, B (complexes a priori) pour que cette suite soit à valeurs réelles est que A, B soient réels : c'est immédiat dans un sens (si A, B sont réels alors la suite est réelle), et pour la réciproque il suffit de remarquer que u0 = A, u1 = Aρcosθ + Bρsinθ, et ρsinθ non nul (donc si u0, u1 sont réels alors A, B aussi).

Suite récurrente d'ordre p

Sous-espace vectoriel de dimension p

Si on nomme (Rp) la relation de récurrence :

pour tout entier n,  u_{n+p} = a_0u_n + a_1u_{n+1} + \cdots + a_{p-1}u_{n+p-1}

et si on nomme  E_{R_p}, la totalité des suites à valeurs dans K et vérifiant (Rp) , on démontre que  E_{R_p} est un sous-espace vectoriel de la totalité des suites à valeurs dans K. Cela tient à la linéarité de la relation de récurrence.

De plus, ce sous espace vectoriel est de dimension p. En effet, il existe un isomorphisme d'espace vectoriel entre  E_{R_p} et la totalité Kˆp\, : à chaque suite (u) de  E_{R_p}, on associe le p_uplet (u_0, u_1, \cdots,u_{p-1}). Il suffit alors de connaître une famille libre de p suites vérifiant (Rp) , la totalité  E_{R_p} est alors génèré par cette famille libre.

Terme général

La recherche du terme général et des suites spécifiques s'effectue en œuvrant sur Kp. À chaque suite (u_n)_{n \in \mathbb N} on associe la suite (U_n)_{n \in \mathbb N} telle que

U_n = (u_n, u_{n + 1},\cdots, u_{n+p-1})

La relation de récurrence sur (u_n)_{n \in \mathbb N} induit une relation de récurrence sur (U_n)_{n \in \mathbb N}

Un + 1 = AUn
 A =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \\
a_0 & a_1 & \cdots & \cdots & a_{p-1}
\end{pmatrix}

Le terme général de la suite U est alors déterminé par

Un = AnU0 (A est la matrice compagnon du polynôme caractéristique de la suite).

Le problème semble alors terminé. Mais la réelle difficulté consiste alors à calculer An... On préfère plutôt déterminer une base de  E_{R_p}.

Recherche d'une base

Le polynôme caractéristique de la matrice A est P(X) = Xˆp - \sum_{i = 0}ˆ{p-1}a_iXˆi. Ce n'est pas un hasard si on le retrouve pour caractériser les suites u = (u_n)_{n \in \mathbb N} vérifiant Rp.

On note f la transformation linéaire qui, à une suite u = (u_n)_{n \in \mathbb N} associe la suite v = (v_n)_{n \in \mathbb N} définie par vn = un + 1. La condition u vérifie Rp se traduit alors par P (f) (u) = 0. La totalité E_{R_p} est par conséquent le noyau de P (f). Si P est un polynôme scindé dans K (ce qui est toujours vrai si K = \mathbb C), il existe k racines  r_1, r_2, \cdots, r_k et k exposants  \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k tel que P = \prod_{i=1}ˆk(X - r_i)ˆ{\alpha_i}. Le noyau de P (f) est alors la somme directe des noyaux des (f - r_iId)ˆ{\alpha_i}. Il suffit par conséquent de trouver une base de chacun de ces noyaux pour déterminer une base de E_{R_p}.

On peut montrer que toute suite de terme général Q(n)r_iˆn est élément du noyau de (f - r_iId)ˆ{\alpha_i} pour peu que le degré de Q soit inférieur strictement à αi. Cette démonstration se fait par récurrence sur αi. Comme les suites (nˆjr_iˆn)_{n \in \mathbb N}, pour j = 0 à αi − 1 forment une partie libre de αi éléments, la famille de l'ensemble des suites (nˆjr_iˆn)_{n \in \mathbb N}, pour j = 0 à αi − 1 et pour i = 1 à k forme une famille libre de \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_k = p éléments de E_{R_p} (de dimension p) par conséquent une base de E_{R_p}. Les éléments de E_{R_p} sont par conséquent des sommes de suites dont le terme général est Q(n)r_iˆn avec degré de Q strictement inférieur à αi.

Retour à la récurrence d'ordre 2

Si le polynôme caractéristique se scinde en (Xr1) (Xr2) alors les polynômes Q sont de degré 0 et les éléments de E_{R_2} sont des suites dont le terme général est \lambda_1r_1ˆn + \lambda_2r_2ˆn.

Si le polynôme caractéristique se scinde en (Xr0) 2 alors les polynômes Q sont de degré 1 et les éléments de E_{R_2} sont des suites dont le terme général est (\lambda_1n +\lambda_2)r_0ˆn.


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