Suite géométrique

En mathématiques, une suite géométrique est une séquence u de nombres réels ou complexes non nuls indexée par un intervalle d'entiers, telle que, pour tous n et n+1 dans I, le rapport u /u est indépendant de n.



Catégories :

Mathématiques élémentaires - Suite de nombres

Définitions :

  • Suite dans laquelle le rapport q, différent de 1, de deux termes consécutifs est constant. Synonyme de progression géométrique (source : netmaths)

En mathématiques, une suite géométrique est une séquence u de nombres réels ou complexes non nuls indexée par un intervalle d'entiers, telle que, pour tous n et n+1 dans I, le rapport u (n+1) /u (n) est indépendant de n. Ce rapport q est nommé la raison de u. (Le mot raison dérive du latin ratio qui veut dire rapport. ) La suite u vérifie par conséquent la relation de récurrence

 u_{n+1} =q.u_n \,.

On dit tandis que les termes \ u_n sont en «progression géométrique». La définition peut s'étendre à un corps quelconque K. Les suites géométriques interviennent dans la recherche des solutions d'une relation de récurrence linéaire. Ils interviennent naturellement dans la description des dispositifs d'évolution (désintégration du Carbone 14).

Exemple Si la raison \ q=1,1 et \ u_0=10 :

Champ d'applications

La suite géométrique est l'outil privilégié pour l'étude de phénomènes à croissance ou décroissance exponentielle, ou encore l'étude de populations dont la taille double ou diminue de moitié dans un intervalle de temps constant (période).

Exemple : Le carbone 14 14C est un atome radioactif dont la période ou demi-vie est de T = 5730 ans (à 40 ans près). Cela veut dire que, en cas de fermeture d'un dispositif (fin des échanges avec le monde extérieur), la quantité de carbone 14 diminue de moitié l'ensemble des 5730 ans.
Si N est la quantité de 14C dans le dispositif, au bout de T années (T = 5730 ans), il n'existe plus que N/2 atomes de 14C. Au bout de 2T, il n'y a plus que N/4 atomes. Au bout de 3T, il ne reste plus que N/8 atomes. Si on nomme Nn la quantité d'atomes 14C au bout de n périodes, la suite (Nn) est une suite géométrique de raison 1/2.

On la retrouve aussi dans le dispositif bancaire avec le calcul des intérêts composés.

Exemple : Un capital C0 positionné à 5% rapporte au bout d'un an 0,05 \times  C_0 d'intérêts. Ces intérêts ajoutés au capital nous donnent un nouveau capital C_1 = 1,05\times C_0. En recommençant le processus chaque année, on crée une suite géométrique de raison 1, 05 car C_{n+1} = 1,05 \times C_n.

On la retrouve enfin, en musicologie, dans la suite des quintes (gamme pythagoricienne)

Elle est l'équivalent discret de la fonction exponentielle.

Terme général

Si E est un corps et si (u_n )_{n\in\mathbb N} est une suite géométrique de E de raison q\in E alors, pour tout n\in\mathbb N :

u_n = u_0 qˆn\,

D'une façon plus générale, si la suite est définie sur \{n \in \mathbb N, n \geq n_0\} et si n et p appartiennent à A et si q est non nul, alors :

u_n = u_p qˆ{n - p} \,

Une suite géométrique est par conséquent entièrement déterminée par la donnée de son premier terme u_{n_0} et par sa raison q.

Réciproquement, une suite définie sur \{n \in \mathbb N, n \geq n_0\} par

u_n = u_{n_0} qˆ{n - n_0} \,

est une suite géométrique de raison q.

Sens de variation et convergence

On supposera u_{n_0} et q non nul.

Sens de variation

Ce paragraphe concerne les suites géométriques à valeurs dans \R.

Convergence

Dans \R

Dans \mathbb{C}

Croissance comparée

Dans \R

On démontre que, pour tout entier n et tout réel t positif, (1 + t )ˆn \geq 1 + nt ce qui sert à dire qu'une suite géométrique de raison 1 + t et de premier terme a croît plus vite qu'une suite arithmétique de raison at. Cependant, en pratique, pour des valeurs de t petite et des valeurs de n raisonnables les deux suites sont presque confondues. Cette approximation se justifie mathématiquement, pour t tendant vers 0, par un Équivalent (voir aussi Développement limité) et se note (1 + t) n1 + nt (équivalent) ou (1 + t) n = 1 + tn + o (n) (développement limité sur t à l'ordre 1 en 0)

Illustration a = 1000 et t = 0, 004, at = 4

n suite arithmétique suite géométrique
0 1000 1000
1 1004 1004
2 1008 1008, 016
3 1012 1012, 048
4 1016 1016, 1
5 1020 1020, 2
6 1024 1024, 2
7 1028 1028, 3
8 1032 1032, 5
9 1036 1036, 6
10 1040 1040, 7
11 1044 1044, 9
12 1048 1049

Cette approximation permet aux banques de présenter (dans le cadre de taux d'intérêt faibles) pour le taux mensuel, le taux annuel divisé par 12 au lieu de prendre  \sqrt[12]{1+t}-1

Somme des termes

La valeur de la somme des termes d'une suite géométrique est démontrée dans le Livre IX des Éléments d'Euclide.

Si E = \R ou \mathbb C et si (u_n )_{n\in\mathbb N} est une suite géométrique de raison q de E alors, pour tout n\in\mathbb N :

\sum_{p=m}ˆ{p=n}u_p= \dfrac{u_m - u_{n+1}}{1 - q} = u_0\,qˆm\,\dfrac{1 - qˆ{n+1-m}}{1 - q} pour q différent de 1
\sum_{p=m}ˆ{p=n}u_p= (n-m+1) \, u_0 pour q = 1

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_g%C3%A9om%C3%A9trique.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu