Suite géométrique
En mathématiques, une suite géométrique est une séquence u de nombres réels ou complexes non nuls indexée par un intervalle d'entiers, telle que, pour tous n et n+1 dans I, le rapport u /u est indépendant de n.
Définitions :
- Suite dans laquelle le rapport q, différent de 1, de deux termes consécutifs est constant. Synonyme de progression géométrique (source : netmaths)
En mathématiques, une suite géométrique est une séquence u de nombres réels ou complexes non nuls indexée par un intervalle d'entiers, telle que, pour tous n et n+1 dans I, le rapport u (n+1) /u (n) est indépendant de n. Ce rapport q est nommé la raison de u. (Le mot raison dérive du latin ratio qui veut dire rapport. ) La suite u vérifie par conséquent la relation de récurrence
.
On dit tandis que les termes sont en «progression géométrique». La définition peut s'étendre à un corps quelconque K. Les suites géométriques interviennent dans la recherche des solutions d'une relation de récurrence linéaire. Ils interviennent naturellement dans la description des dispositifs d'évolution (désintégration du Carbone 14).
Exemple Si la raison et
:
Champ d'applications
La suite géométrique est l'outil privilégié pour l'étude de phénomènes à croissance ou décroissance exponentielle, ou encore l'étude de populations dont la taille double ou diminue de moitié dans un intervalle de temps constant (période).
- Exemple : Le carbone 14 14C est un atome radioactif dont la période ou demi-vie est de T = 5730 ans (à 40 ans près). Cela veut dire que, en cas de fermeture d'un dispositif (fin des échanges avec le monde extérieur), la quantité de carbone 14 diminue de moitié l'ensemble des 5730 ans.
- Si N est la quantité de 14C dans le dispositif, au bout de T années (T = 5730 ans), il n'existe plus que N/2 atomes de 14C. Au bout de 2T, il n'y a plus que N/4 atomes. Au bout de 3T, il ne reste plus que N/8 atomes. Si on nomme Nn la quantité d'atomes 14C au bout de n périodes, la suite (Nn) est une suite géométrique de raison 1/2.
On la retrouve aussi dans le dispositif bancaire avec le calcul des intérêts composés.
- Exemple : Un capital C0 positionné à 5% rapporte au bout d'un an
d'intérêts. Ces intérêts ajoutés au capital nous donnent un nouveau capital
. En recommençant le processus chaque année, on crée une suite géométrique de raison 1, 05 car
.
On la retrouve enfin, en musicologie, dans la suite des quintes (gamme pythagoricienne)
Elle est l'équivalent discret de la fonction exponentielle.
Terme général
Si E est un corps et si est une suite géométrique de E de raison
alors, pour tout
:
D'une façon plus générale, si la suite est définie sur et si n et p appartiennent à A et si q est non nul, alors :
Une suite géométrique est par conséquent entièrement déterminée par la donnée de son premier terme et par sa raison q.
Réciproquement, une suite définie sur par
est une suite géométrique de raison q.
Sens de variation et convergence
On supposera et q non nul.
Sens de variation
Ce paragraphe concerne les suites géométriques à valeurs dans .
- si
la suite n'est pas monotone et oscille alternativement dans les nombres négatifs et positifs.
- si
- si
la suite est croissante négative
- si
- si
- si
la suite est décroissante négative
- si
- si
la suite est constante.
Convergence
Dans
- si
, la suite diverge et ne possède pas de limite. Dans
les valeurs d'adhérence sont
et
.
- si
, la suite diverge et possède deux valeurs d'adhérence
et -
- si
, la suite converge vers 0
- si
, la suite est constante et converge vers
- si
pour
pour
Dans
- si
, la suite converge vers 0.
- si
q = 1, la suite est constante et converge vers
.
- si
et
, la suite diverge.
Croissance comparée
Dans
On démontre que, pour tout entier n et tout réel t positif, ce qui sert à dire qu'une suite géométrique de raison 1 + t et de premier terme a croît plus vite qu'une suite arithmétique de raison at. Cependant, en pratique, pour des valeurs de t petite et des valeurs de n raisonnables les deux suites sont presque confondues. Cette approximation se justifie mathématiquement, pour t tendant vers 0, par un Équivalent (voir aussi Développement limité) et se note (1 + t) n∼1 + nt (équivalent) ou (1 + t) n = 1 + tn + o (n) (développement limité sur t à l'ordre 1 en 0)
Illustration a = 1000 et t = 0, 004, at = 4
n | suite arithmétique | suite géométrique |
0 | 1000 | 1000 |
1 | 1004 | 1004 |
2 | 1008 | 1008, 016 |
3 | 1012 | 1012, 048 |
4 | 1016 | 1016, 1 |
5 | 1020 | 1020, 2 |
6 | 1024 | 1024, 2 |
7 | 1028 | 1028, 3 |
8 | 1032 | 1032, 5 |
9 | 1036 | 1036, 6 |
10 | 1040 | 1040, 7 |
11 | 1044 | 1044, 9 |
12 | 1048 | 1049 |
Cette approximation permet aux banques de présenter (dans le cadre de taux d'intérêt faibles) pour le taux mensuel, le taux annuel divisé par 12 au lieu de prendre
Somme des termes
La valeur de la somme des termes d'une suite géométrique est démontrée dans le Livre IX des Éléments d'Euclide.
Si ou
et si
est une suite géométrique de raison q de E alors, pour tout
:
pour q différent de 1
pour q = 1
- Voir série géométrique, somme des premiers termes
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