Suite arithmético-géométrique

En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.

Définition

On se place dans un corps $K$ quelconque, par exemple $\R$ (corps des réels) ou $\mathbb C$ (corps des complexes). Soient $a,b \in K$ et soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite à valeur dans $K$ . On dit que la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est une suite arithmético-géométrique si et uniquement si elle vérifie la relation de récurrence suivante au delà d'un certain rang $n 0$ :

$\forall n\geq n_0,\ u_{n+1}=a u_n+b$

Terme général

Pour le cas $a = 1$ , on a affaire à une suite arithmétique.

Méthode classique

Dans le cas où $a \ne 1$ , on cherche par translation à se ramener à une suite géométrique : On pose

v n = u n + c

avec $c \in K$ , puis on démontre que $(v n)$ est géométrique de raison $a$ si et uniquement si

$c = -\frac{b}{1-a}$

On trouve tandis que

$v_n = v_{n_0}aˆ{n-n_0}$

Puis, grâce aux relations entre $u n$ et $v n$ , on obtient

$u_n = aˆ{n-n_0}(u_{n_0}- r)+r$

en posant

$r =\frac{b}{1-a}$

On peut remarquer que la valeur $r$ est l'unique valeur de $u_{n_0}$ pour laquelle la suite est constante.

Méthode utilisant une série géométrique

Une autre méthode, dans le cas où $n 0 = 0$ consiste à voir la suite $(u n)$ comme la somme des terme d'une suite géométrique.

On remarque que

u 1 = a u 0 + b

u 2 = a 2 u 0 + a b + b

u 3 = a 3 u 0 + a 2 b + a b + b

Le terme général est par conséquent (résultat obtenu par récurrence) :

$u_{n}=aˆ{n}u_{0}+ \sum_{i=0}ˆ{n-1}aˆ{i}b$ .

Avec la somme des premiers termes d'une suite géométrique, on obtient le terme général suivant :

$u_{n}=aˆ{n}u_{0} + b\dfrac{1-aˆ{n}}{1-a} = aˆ{n}\left(u_{0}-\dfrac{b}{1-a}\right)+\dfrac{b}{1-a}$

En posant

$r=\dfrac{b}{1-a}$

on trouve

u n = a n (u 0 - r) + r

On obtient bien le même résultat que dans la section précédente, dans le cas $n 0 = 0$ .

Somme des premiers termes

Dans le cas où $n 0 = 0$ , on a la formule suivante (que on peut démontrer par récurrence) :

$\sum_{i=0}ˆ{n-1} u_{i}=(u_{0}-r)\dfrac{1-aˆ{n}}{1-a} + nr\,$ .

toujours en posant

$r=\frac{b}{1-a}$

Convergence

Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de $a$ et , peut-être, le signe de

$u_{n_0} - \frac{b}{1-a}$

Une remarque intéressante est à faire dans le cas où $| a | < 1$ . Dans ce cas, la limite de la suite est

$\frac{b}{1-a}$

quelle que soit la valeur d'origine. La limite d'une suite de ce type est par conséquent totalement indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (suite logistique) qui peuvent, elles, être particulièrement sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.

Utilisation

Les suites arithmético-géométriques se rencontrent dans la modélisation de certains flux de population (apport fixe et fuite proportionnelle). Exemple : apport de 10 et fuite de 5%, $u_{n+1} = u_n+ 10 - \frac{5}{100} \times u_n$

Elle se rencontre aussi dans les plans de remboursement : un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités M conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement. Si $R n$ représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite $(R_n)\,$ est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence : $R n + 1 = (1 + t) R n - M$

On la trouve aussi dans une chaîne de Markov à deux états. La matrice stochastique est alors

$\begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-b & b \end{pmatrix}$

De la relation

$(p_{n+1},q_{n+1})=(p_n,q_n) \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-b & b \end{pmatrix}$

On déduit que :

$p_{n+1} = ap_n + (1-b)q_n\,$ .

Comme d'autre part,

$q_n = 1-p_n\,$ ,

en remplaçant on obtient

$p_{n+1}= (a + b - 1)p_n + 1 - b\,$

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