Suite
En mathématiques, une suite est une famille d'éléments indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant nommé «longueur» de la suite.
Définitions :
- suites - Testicules d'un sanglier (source : fr.wiktionary)
En mathématiques, une suite est une famille d'éléments indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant nommé «longueur» de la suite.
Quand l'ensemble des éléments d'une suite (illimitée) appartiennent à un même ensemble E, cette suite peut être assimilée à une application de dans E. On note classiquement une suite (un) , ou
.
Cas spécifiques :
- Si
, alors la suite est dite «entière».
- Si
, alors la suite est dite «réelle».
- Si
, alors la suite est dite «complexe».
Fragments d'histoire
Les suites numériques sont liées à la mathématique de la mesure (mesures d'un phénomène prises à intervalles de temps réguliers) ainsi qu'à l'analyse (une suite numérique est l'équivalent discret d'une fonction numérique). La notion de suite est présente dès qu'apparaissent des procédés infinis de calcul. On en trouve, par exemple, dans la mathématique babylonienne, chez Archimède, spécialiste des procédés infinis d'approximation (séries géométriques de raison 1/4) pour des calculs d'aires et de volumes, ou en Égypte vers 1700 avant Jésus-Christ et plus récemment au 1er siècle après Jésus-Christ dans le procédé d'extraction d'une racine carrée par la méthode de Héron d'Alexandrie :
- Pour extraire la racine carrée de
, choisir une expression arbitraire
et prendre la moyenne entre
et
et recommencer aussi loin qu'on veut le processus précédent
En notation moderne, cela définit la suite de nombres (un) telle que
et , pour tout entier
,
On retrouve ensuite cette préoccupation plusieurs siècles plus tard (à partir du XVIIe siècle) avec la méthode des indivisibles (Cavalieri, Torricelli, Pascal, Roberval). Dans l'Encyclopédie Raisonnée de d'Alembert et Diderot (1751), une grande part est laissée aux suites et séries dont le principal intérêt semble être leur convergence[1] :
- Suite et série : se dit d'un ordre ou d'une progression de quantités qui croissent ou décroissent suivant quelques lois. Quand la suite va toujours en s'approchant de plus en plus de quelque quantité finie (... ) on l'appelle suite convergente et si on la continue à l'infini, elle devient égale à cette quantité.
C'est ainsi qu'on voit Bernoulli, Newton, Moivre, Stirling et Wallis, s'intéresser aux suites pour approcher des valeurs numériques. C'est à Lagrange qu'on doit, semble-t-il, la notation indicielle. L'étude des suites ouvre la porte à celle des séries entières dont l'objectif est d'approcher, non plus des nombres, mais des fonctions. Dans la seconde moitié du XXe siècle, le développement des calculateurs et des ordinateurs donne un second souffle à l'étude des suites en analyse numérique grâce à la méthode des éléments finis. On en retrouve l'usage aussi dans les mathématiques financières.
Parallèlement à ces études de suites pour leur convergence, se développe un certain goût pour l'étude de la suite non tant pour sa convergence mais pour son terme général. C'est le cas par exemple de la plupart de suites d'entiers comme la suite de Fibonacci, celle de Lucas ou, plus il y a peu de temps, celle de Syracuse. Sont aussi spécifiquement étudiées les suites de cœfficients dans des séries entières ou les suites de nombres découvertes lors de dénombrements.
Notations
Soit A une partie de . Soit
une suite d'éléments de E. Nous notons un l'image u (n) de l'entier n par u.
Ainsi, les images de sont notées
.
On dit que un est le terme de rang n, ou d'indice n de la suite u.
Nous notons généralement la suite u : qui est par conséquent une application.
Quand , nous notons plus simplement la suite :
.
Quand , nous pouvons noter la suite
ou encore
.
La totalité des suites d'éléments de E indexées par une partie A de se note
ou EA.
Remarque
Nous ne devons pas confondre la suite avec la totalité des valeurs de la suite
qui est l'image directe de
par u. A titre d'exemple, considérons la suite
, la totalité des valeurs de la suite est { − 1, 1}.
Exemples
La suite nulle est la suite dont l'ensemble des termes sont nuls :
.
D'une façon plus générale, si (un) est une suite et que , alors on dit que (un) est une suite «presque nulle», ou «nulle à partir d'un certain rang», ou encore «cofinale à zéro».
Pour des raisons de commodité, pour tout élément k de E on peut identifier k et la suite :
Posons ;
est la suite des inverses des nombres entiers. Celle-ci peut être représentée par :
Terme général et récurrence
Une suite étant une application de A (partie de ) dans E, il est intéressant, ou alors essentiel, de connaître l'image de n pour tout n de A. Si un est donné comme expression de n et permet un calcul direct du nombre, on dit qu'on connait le terme général de un.
Cependant, si , la nature de la totalité de départ sert à définir la suite par une relation de récurrence : le terme d'indice n est donné comme fonction de n et des termes d'indices k, k ≤ n. La propriété de récurrence permet d'affirmer qu'il suffit alors de donner
pour en déduire l'ensemble des termes. En pratique, la détermination de
va nécessiter le calcul de l'ensemble des termes de
à
, soit une opération bien longue. En programmation, cette récurrence a donné lieu à la création des fonctions récursives. Une partie de la recherche sur les suites va consister à déterminer le terme général d'une suite connaissant sa relation de récurrence.
Exemple : la suite définie par u0 = 1 et , pour tout entier n, un + 1 = (n + 1) un est la suite des factorielles : un = n!
Somme des termes d'une suite
Si E est un groupe additif, on note :
ou
la somme :
Voir aussi : Série (mathématiques) .
Exemples de suites
Suite arithmétique
C'est une suite à valeurs dans un groupe additif, définie par récurrence par
où r est une constante. Son terme général est alors
Suite géométrique
C'est une suite à valeurs dans un monoïde, définie par récurrence par
Où q est une constante. Son terme général est alors
Suites arithmético-géométriques
C'est une suite à valeurs dans un corps[2], définie par récurrence par
- Si a = 1, la suite est arithmétique
- Si
[3], son terme général est alors
Suites récurrentes linéaires à cœfficients constants
Une suite récurrente linéaire est définie par une relation de récurrence :
où a0, a1, …ap − 1 sont p scalaires (a0 non nul). L'entier p est nommé l'ordre de la récurrence. Les suites à récurrence linéaire d'ordre 1 sont les suites géométriques ; une suite récurrente linéaire d'ordre 2 célèbre est la suite de Fibonacci. L'étude des suites récurrentes linéaires d'ordre p fait appel à la notion d'espace vectoriel et au calcul matriciel, et on dispose de méthodes donnant la possibilité le calcul du terme général de n'importe quelle suite de ce type.
Quelques suites célèbres
Il est assez étonnant que ce soit dans l'univers des suites d'entiers qu'on trouve les suites les plus célèbres :
- la suite de Fibonacci où chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent et dont on connaît le terme général et sa relation avec le nombre d'or
- la suite de Conway, piège de test de QI, où chaque terme est la description à voix haute du terme précédent
- la suite de Syracuse ou de Collatz définie par une relation de récurrence simple : le terme suivant est obtenu en prenant, ou bien la moitié du terme précédent si ce dernier est pair, ou bien le triple du terme précédent augmenté d'un si ce dernier est impair. Le comportement de cette suite reste toujours une énigme pour les mathématiciens.
Limite de suite
Suite convergente
La notion de limite d'une suite est classique en topologie et les cas de convergence dans ou
sont un cas spécifique de cette définition. De façon simpliste, une suite a une certaine limite quand ses points se rapprochent de la valeur limite quand l'indice devient grand.
Définition générale :
Soit E un espace pourvu d'une topologie . On note
la totalité des ouverts contenant u.
On dira que la suite est une suite convergente vers
si
,
tel que
.
Cette définition se traduit plus simplement pour des suites convergente dans ou
Suite réelle convergente
On dira que la suite u est convergente vers u * quand pour tout , il existe
tel que pour tout
, n > N :
On dit tandis que u tend vers u *, et on le note :
Suite complexe convergente
La même définition s'applique en écrivant, à la place d'une valeur absolue, un module.
Limites illimitées
Pour les suites réelles, on élargit le champ des limites envisageables aux deux limites illimitées et
avec les définitions suivantes
Définition 1 :
On dira que la suite u est divergente vers quand pour tout
, il existe
tel que pour tout
, n > N :
- un > M
On dit tandis que u tend vers , et on le note :
Définition 2 :
On dira que la suite u est divergente vers si, pour tout
, il existe
tel que pour tout
, n > N :
- un < - M
On dit tandis que u tend vers , et on le note :
Propriétés
Les propriétés sur les limites
- Unicité
- Opération
- Complétude
vont dépendre de l'espace sur lequel on travaille et sont détaillées dans l'article : Limite de suite.
Suites réelles et relation d'ordre
Suites monotones
Définition
On dit qu'une suite réelle est monotone quand elle est croissante ou décroissante. Par extension, une suite réelle est dite strictement monotone quand elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Propriétés
- Suite croissante : On dira que la suite
est croissante lorsque :
- Suite strictement croissante : On dira que la suite
est strictement croissante lorsque :
est décroissante lorsque :
- Suite strictement décroissante : On dira que la suite
est strictement décroissante lorsque :
- Suite super croissante : On dira que la suite
est super croissante lorsque :
Exemples
La suite définie
par Un = 2n + 1 est strictement croissante sur
.
Critères
Propriété 1 : critère de croissance
Propriété 2 : critère de décroissance
Limites de suites monotones
Suite monotone bornée
L'axiome de la limite supérieure, sert à démontrer facilement :
Si
est croissante (resp. décroissante) et majorée par M (resp. minorée par m), alors
est convergente et
.
De cette propriété, découle la remarque suivante :
Si :
est croissante
est décroissante
tel que :
alors :
- (u) et (v) sont convergentes et
Suite monotone non bornée
Si
est croissante (resp. décroissante) et non majorée (resp. non minorée), alors
tend vers
(resp.
)
Suites adjacentes
Article détaillé : Théorème des suites adjacentes.Deux suites réelles
et
sont dites adjacentes lorsque :
- l'une est croissante
- l'autre est décroissante
- la suite
converge vers 0
L'intérêt des suites adjacentes est qu'elles permettent d'une part de prouver l'existence d'une limite, d'autre part d'apporter un encadrement de celle-ci aussi fin qu'on le souhaite. Ceci grâce aux deux propriétés suivantes :
- Si deux suites réelles
et
sont adjacentes, alors elles convergent et ont la même limite
.
- De plus, en supposant
croissante et
décroissante on a :
Suites spécifiques
Suites de Cauchy
Article détaillé : Suite de Cauchy.Dans ce paragraphe, on supposera que
est un espace métrique.
Une suite
est dite de Cauchy lorsque :
,
tels que :
,
,
et
On démontre que
- Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
- Toute suite de Cauchy est bornée.
On nomme espace complet un espace où toute suite de Cauchy est convergente.
Suites extraites
Article détaillé : Sous-suite.Soit
une suite à valeurs dans un espace
.
Si
est une fonction strictement croissante (une telle fonction se nomme une extractrice), on dit que la suite
est une suite extraite (ou sous-suite) de la suite
.
Grosso modo, c'est la suite
pour laquelle on n'a gardé que certains termes (une illimitété quand même ).
Ces suites extraites se révèlent intéressantes lorsque on cherche à déterminer des valeurs d'adhérence.
Suites équivalentes et suites négligeables
Article détaillé : Comparaison asymptotique.Définition
Soient
et
deux suites à valeurs réelles.
et
sont équivalentes si et uniquement si
telle que
tel que
On note alors
Remarque Si
à partir d'un certain rang, alors
si et uniquement si
Définition
Soient
et
deux suites à valeurs réelles. On dit que
est négligeable devant
si et uniquement si :
telle que
et
, ce qu'on note un = o (vn)
Remarque Si
à partir d'un certain rang, alors un = o (vn) si et uniquement si
Exemple
Considérons
et
PosonsOn a alors :
D'où
et
Remarque
L'usage (habituel dans les articles de cette encyclopédie) du mot séquence est une mauvaise traduction de l'anglais sequence. La bonne traduction est suite.
Notes et références
Voir aussi
- Suite d'entiers
- Adhérence (mathématiques)
- Suite de Skolem
- Théorème de la progression arithmétique
- Suite exacte
Liens externes et sources
- L'encyclopédie de d'Alembert et Diderot sur Gallica. Tome XV (voir p 93)
- Jacques Bouveresse, Jean Itard, Émile Sallé, Histoire des mathématiques [détail des éditions]
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