Suite

En mathématiques, une suite est une famille d'éléments indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant nommé «longueur» de la suite.

Catégories :

Analyse réelle - Suite

Définitions :

suites - Testicules d'un sanglier (source : fr.wiktionary)

En mathématiques, une suite est une famille d'éléments indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant nommé «longueur» de la suite.

Quand l'ensemble des éléments d'une suite (illimitée) appartiennent à un même ensemble $E$ , cette suite peut être assimilée à une application de $\mathbb N$ dans $E$ . On note classiquement une suite $(u n)$ , ou $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ .

Cas spécifiques :

Si $E \subseteq \mathbb Z$ , alors la suite est dite «entière».
Si $E \subseteq \mathbb R$ , alors la suite est dite «réelle».
Si $E \subseteq \mathbb C$ , alors la suite est dite «complexe».

Fragments d'histoire

Les suites numériques sont liées à la mathématique de la mesure (mesures d'un phénomène prises à intervalles de temps réguliers) ainsi qu'à l'analyse (une suite numérique est l'équivalent discret d'une fonction numérique). La notion de suite est présente dès qu'apparaissent des procédés infinis de calcul. On en trouve, par exemple, dans la mathématique babylonienne, chez Archimède, spécialiste des procédés infinis d'approximation (séries géométriques de raison 1/4) pour des calculs d'aires et de volumes, ou en Égypte vers 1700 avant Jésus-Christ et plus récemment au 1^er siècle après Jésus-Christ dans le procédé d'extraction d'une racine carrée par la méthode de Héron d'Alexandrie :

Pour extraire la racine carrée de $A \;$ , choisir une expression arbitraire $a \;$ et prendre la moyenne entre $a \;$ et $A \over a$ et recommencer aussi loin qu'on veut le processus précédent

En notation moderne, cela définit la suite de nombres $(u n)$ telle que

$u_0 = a \;$ et , pour tout entier $n \;$ , $u_{n+1}= {1 \over 2}(u_n + {A\over u_n})$

On retrouve ensuite cette préoccupation plusieurs siècles plus tard (à partir du XVII^e siècle) avec la méthode des indivisibles (Cavalieri, Torricelli, Pascal, Roberval). Dans l'Encyclopédie Raisonnée de d'Alembert et Diderot (1751), une grande part est laissée aux suites et séries dont le principal intérêt semble être leur convergence^[1] :

Suite et série : se dit d'un ordre ou d'une progression de quantités qui croissent ou décroissent suivant quelques lois. Quand la suite va toujours en s'approchant de plus en plus de quelque quantité finie (... ) on l'appelle suite convergente et si on la continue à l'infini, elle devient égale à cette quantité.

C'est ainsi qu'on voit Bernoulli, Newton, Moivre, Stirling et Wallis, s'intéresser aux suites pour approcher des valeurs numériques. C'est à Lagrange qu'on doit, semble-t-il, la notation indicielle. L'étude des suites ouvre la porte à celle des séries entières dont l'objectif est d'approcher, non plus des nombres, mais des fonctions. Dans la seconde moitié du XX^e siècle, le développement des calculateurs et des ordinateurs donne un second souffle à l'étude des suites en analyse numérique grâce à la méthode des éléments finis. On en retrouve l'usage aussi dans les mathématiques financières.

Parallèlement à ces études de suites pour leur convergence, se développe un certain goût pour l'étude de la suite non tant pour sa convergence mais pour son terme général. C'est le cas par exemple de la plupart de suites d'entiers comme la suite de Fibonacci, celle de Lucas ou, plus il y a peu de temps, celle de Syracuse. Sont aussi spécifiquement étudiées les suites de cœfficients dans des séries entières ou les suites de nombres découvertes lors de dénombrements.

Notations

Soit $A$ une partie de $\mathbb N$ . Soit $u \in EˆA$ une suite d'éléments de $E$ . Nous notons $u n$ l'image $u (n)$ de l'entier $n$ par $u$ .

Ainsi, les images de $0, 1, 2, \dots, n$ sont notées $u_0, u_1, u_2, \dots, u_n$ .

On dit que $u n$ est le terme de rang $n$ , ou d'indice $n$ de la suite $u$ .

Nous notons généralement la suite $u$ : $(u_n)_{n \in A}$ qui est par conséquent une application.

Quand $A = \mathbb N$ , nous notons plus simplement la suite : $(u_n) \,$ .

Quand $A = \mathbb N_n = [1, n] \cap \N = \{1, 2, \dots, n\}$ , nous pouvons noter la suite $(u_k)_{1 \le k \le n}$ ou encore $(u_1, u_2, \dots, u_n)$ .

La totalité des suites d'éléments de $E$ indexées par une partie $A$ de $\mathbb N$ se note $\mathcal F\left(A, E\right)$ ou $E A$ .

Remarque

Nous ne devons pas confondre la suite $u = (u_n)_{n \in \mathbb N}$ avec la totalité des valeurs de la suite $\{u_n / n \in \mathbb N \}$ qui est l'image directe de $\mathbb N$ par $u$ . A titre d'exemple, considérons la suite $\left((-1)ˆn\right)$ , la totalité des valeurs de la suite est ${ - 1, 1}$ .

Exemples

La suite nulle est la suite dont l'ensemble des termes sont nuls :

$\left(0, 0, 0, 0, \dots \right)$ .

D'une façon plus générale, si $(u n)$ est une suite et que $\exists N \in \mathbb N \quad \forall n \geq N \quad u_n = 0$ , alors on dit que $(u n)$ est une suite «presque nulle», ou «nulle à partir d'un certain rang», ou encore «cofinale à zéro».

Pour des raisons de commodité, pour tout élément $k$ de $E$ on peut identifier $k$ et la suite :

$\left(k, k, k, \dots \right)$

Posons $\forall n \in \mathbb N, u_n={1 \over {n+1}}$ ; $u = (u_n)_{n \in \mathbb N}$ est la suite des inverses des nombres entiers. Celle-ci peut être représentée par :

$\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \cdots \right)$

Terme général et récurrence

Une suite étant une application de A (partie de $\mathbb N$ ) dans E, il est intéressant, ou alors essentiel, de connaître l'image de n pour tout n de A. Si $u n$ est donné comme expression de n et permet un calcul direct du nombre, on dit qu'on connait le terme général de $u n$ .

Cependant, si $A = \{n \in \mathbb N, n \geq n_0\}$ , la nature de la totalité de départ sert à définir la suite par une relation de récurrence : le terme d'indice n est donné comme fonction de n et des termes d'indices k, k ≤ n. La propriété de récurrence permet d'affirmer qu'il suffit alors de donner $u_{n_0}$ pour en déduire l'ensemble des termes. En pratique, la détermination de $u_n\,$ va nécessiter le calcul de l'ensemble des termes de $u_{n_0}$ à $u_{n-1}\,$ , soit une opération bien longue. En programmation, cette récurrence a donné lieu à la création des fonctions récursives. Une partie de la recherche sur les suites va consister à déterminer le terme général d'une suite connaissant sa relation de récurrence.

Exemple : la suite définie par $u 0$ = 1 et , pour tout entier n, $u n + 1 = (n + 1) u n$ est la suite des factorielles : $u n = n!$

Somme des termes d'une suite

Si $E$ est un groupe additif, on note :

$\sum_{n = p}ˆ{q}u_n$

$\sum_{p \le n \le q}u_n$

la somme :

$u_p + u_{p+1} + \cdots + u_q$

Voir aussi : Série (mathématiques) .

Exemples de suites

Suite arithmétique

Article détaillé : Suite arithmétique.

C'est une suite à valeurs dans un groupe additif, définie par récurrence par

$\begin{cases} u_{n_0} = a\\ \forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = u_n + r \end{cases}$

où $r$ est une constante. Son terme général est alors

$u_n = a + (n - n_0)r\,$

Suite géométrique

Article détaillé : Suite géométrique.

C'est une suite à valeurs dans un monoïde, définie par récurrence par

$\begin{cases} u_{n_0} = a\\ \forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = qu_n \end{cases}$

Où $q$ est une constante. Son terme général est alors

$u_n = a qˆ{n - n_0}\,$

Suites arithmético-géométriques

Article détaillé : Suite arithmético-géométrique.

C'est une suite à valeurs dans un corps^[2], définie par récurrence par

$\begin{cases} u_{n_0} = U\\ \forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = au_n + b \end{cases}$

Si a = 1, la suite est arithmétique
Si $a\ne 1$ ^[3], son terme général est alors

$u_n = \frac{b}{1-a} + aˆ{n - n_0} \left(U - \frac{b}{1-a}\right)$

Suites récurrentes linéaires à cœfficients constants

Article détaillé : suite récurrente linéaire.

Une suite récurrente linéaire est définie par une relation de récurrence :

$u_{n+p} = a_0u_n + a_1u_{n+1} + \cdots+ a_{p-1}u_{n+p-1}$

où $a 0$ , $a 1$ , … $a p - 1$ sont p scalaires ( $a 0$ non nul). L'entier p est nommé l'ordre de la récurrence. Les suites à récurrence linéaire d'ordre 1 sont les suites géométriques ; une suite récurrente linéaire d'ordre 2 célèbre est la suite de Fibonacci. L'étude des suites récurrentes linéaires d'ordre p fait appel à la notion d'espace vectoriel et au calcul matriciel, et on dispose de méthodes donnant la possibilité le calcul du terme général de n'importe quelle suite de ce type.

Quelques suites célèbres

Il est assez étonnant que ce soit dans l'univers des suites d'entiers qu'on trouve les suites les plus célèbres :

la suite de Fibonacci où chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent et dont on connaît le terme général et sa relation avec le nombre d'or
la suite de Conway, piège de test de QI, où chaque terme est la description à voix haute du terme précédent
la suite de Syracuse ou de Collatz définie par une relation de récurrence simple : le terme suivant est obtenu en prenant, ou bien la moitié du terme précédent si ce dernier est pair, ou bien le triple du terme précédent augmenté d'un si ce dernier est impair. Le comportement de cette suite reste toujours une énigme pour les mathématiciens.

Limite de suite

Article détaillé : Limite de suite.

Suite convergente

La notion de limite d'une suite est classique en topologie et les cas de convergence dans $\R$ ou $\mathbb C$ sont un cas spécifique de cette définition. De façon simpliste, une suite a une certaine limite quand ses points se rapprochent de la valeur limite quand l'indice devient grand.

Définition générale :

Soit $E$ un espace pourvu d'une topologie $\mathcal O$ . On note $\mathcal O(u)$ la totalité des ouverts contenant $u$ .
On dira que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}\in Eˆ{\mathbb N}$ est une suite convergente vers $uˆ*\in E$ si

$\forall O\in\mathcal O(uˆ*)$ , $\exist N\in \mathbb N$ tel que $<img class=$ .

Cette définition se traduit plus simplement pour des suites convergente dans $\R$ ou $\mathbb C$

Suite réelle convergente

On dira que la suite $u$ est convergente vers $u *$ quand pour tout $\eta\in\mathbb R_+ˆ*$ , il existe $N\in\mathbb N$ tel que pour tout $n\in\mathbb N$ , $n > N$ :

$|u_n-uˆ*|\le\eta$

On dit tandis que $u$ tend vers $u *$ , et on le note :

$\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=uˆ*$

Suite complexe convergente

La même définition s'applique en écrivant, à la place d'une valeur absolue, un module.

Limites illimitées

Pour les suites réelles, on élargit le champ des limites envisageables aux deux limites illimitées $+ \infty$ et $-\infty$ avec les définitions suivantes

Définition 1 :

On dira que la suite $u$ est divergente vers $+\infty$ quand pour tout $M\in\mathbb R_+ˆ*$ , il existe $N\in\mathbb N$ tel que pour tout $n\in\mathbb N$ , $n > N$ :

u n > M

On dit tandis que $u$ tend vers $+\infty$ , et on le note :

$\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$

Définition 2 :

On dira que la suite $u$ est divergente vers $-\infty$ si, pour tout $M\in\mathbb R_+ˆ*$ , il existe $N\in\mathbb N$ tel que pour tout $n\in\mathbb N$ , $n > N$ :

u n < - M

On dit tandis que $u$ tend vers $-\infty$ , et on le note :

$\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=-\infty$

Propriétés

Les propriétés sur les limites

Unicité
Opération
Complétude

vont dépendre de l'espace sur lequel on travaille et sont détaillées dans l'article : Limite de suite.

Suites réelles et relation d'ordre

Suites monotones

Définition

On dit qu'une suite réelle est monotone quand elle est croissante ou décroissante. Par extension, une suite réelle est dite strictement monotone quand elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Propriétés

Suite croissante : On dira que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb Rˆ{\mathbb N}$ est croissante lorsque :

$\forall n \in \mathbb N, u_{n+1} \ge u_{n}$

Suite strictement croissante : On dira que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb Rˆ{\mathbb N}$ est strictement croissante lorsque :

$<img class=$ est décroissante lorsque :

$\forall n \in \mathbb N, u_{n+1}\le u_{n}$

Suite strictement décroissante : On dira que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb Rˆ{\mathbb N}$ est strictement décroissante lorsque :

$\forall n \in \mathbb N, u_{n+1}< u_{n}$

Suite super croissante : On dira que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb Rˆ{\mathbb N}$ est super croissante lorsque :

$<img class=$ Exemples

La suite définie $\forall n \in \mathbb N$ par $U n = 2 n + 1$ est strictement croissante sur $\mathbb R$ .

Critères

Propriété 1 : critère de croissance

Propriété 2 : critère de décroissance

Limites de suites monotones

Suite monotone bornée

L'axiome de la limite supérieure, sert à démontrer facilement :

Si $(u_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb Rˆ{\mathbb N}$ est croissante (resp. décroissante) et majorée par $M$ (resp. minorée par $m$ ), alors $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ est convergente et $\lim_{n \rightarrow + \infty}u_n \le M ( \mbox{resp.} \lim_{n \rightarrow + \infty}u_n \ge m )$ .

De cette propriété, découle la remarque suivante :

Si :

$(u_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb Rˆ{\mathbb N}$ est croissante
$(v_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb Rˆ{\mathbb N}$ est décroissante
$\exist N\in \mathbb N$ tel que : $<img class=$

alors :

(u)

(v)

sont convergentes et $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n\le\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n$

Suite monotone non bornée

Si $(u_n)_{n\in\mathbb N}\in \mathbb Rˆ{\mathbb N}$ est croissante (resp. décroissante) et non majorée (resp. non minorée), alors $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ tend vers $+ \infty$ (resp. $- \infty$ )

Suites adjacentes

Article détaillé : Théorème des suites adjacentes.

Deux suites réelles $(a_n)_{n \in \mathbb N }$ et $(b_n)_{n \in \mathbb N }$ sont dites adjacentes lorsque :

l'une est croissante
l'autre est décroissante
la suite $(a_n-b_n)_{n \in \mathbb N }$ converge vers 0

L'intérêt des suites adjacentes est qu'elles permettent d'une part de prouver l'existence d'une limite, d'autre part d'apporter un encadrement de celle-ci aussi fin qu'on le souhaite. Ceci grâce aux deux propriétés suivantes :

Si deux suites réelles $(a_n)_{n \in \mathbb N }$ et $(b_n)_{n \in \mathbb N }$ sont adjacentes, alors elles convergent et ont la même limite $\ell$ .
De plus, en supposant $(a_n)_{n \in \mathbb N }$ croissante et $(b_n)_{n \in \mathbb N }$ décroissante on a :

$\forall n \in \mathbb N, a_n \leq a_{n+1} \leq \ell \leq b_{n+1} \leq b_n$

Suites spécifiques

Suites de Cauchy

Article détaillé : Suite de Cauchy.

Dans ce paragraphe, on supposera que $( \mathbb E,d)$ est un espace métrique.

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ est dite de Cauchy lorsque : $\forall \eta \in \mathbb Rˆ*_+$ , $\exist N \in \mathbb N$ tels que : $\forall p \in \mathbb N$ , $\forall q \in \mathbb N$ , $p \ge N$ et $q \ge N$ $\Rightarrow d(u_p,u_q)\le\eta$

On démontre que

Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
Toute suite de Cauchy est bornée.

On nomme espace complet un espace où toute suite de Cauchy est convergente.

Suites extraites

Article détaillé : Sous-suite.

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb N }$ une suite à valeurs dans un espace $E\,$ .

Si $\mathbb N \rightarrow \mathbb N , n \mapsto \sigma(n)$ est une fonction strictement croissante (une telle fonction se nomme une extractrice), on dit que la suite $(u_{\sigma(n)})_{n \in \mathbb N }$ est une suite extraite (ou sous-suite) de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb N }$ .

Grosso modo, c'est la suite $(u_n)_{n \in \mathbb N }$ pour laquelle on n'a gardé que certains termes (une illimitété quand même ).

Ces suites extraites se révèlent intéressantes lorsque on cherche à déterminer des valeurs d'adhérence.

Suites équivalentes et suites négligeables

Article détaillé : Comparaison asymptotique.

Définition

Soient $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb N}$ deux suites à valeurs réelles. $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb N}$ sont équivalentes si et uniquement si

$\exists$ $({\varepsilon}_n)_{n \in \mathbb N}$ telle que $\lim_{n \to \infin} ({\varepsilon}_n) = 0$
$\exists N \in \mathbb N$ tel que $\forall n \geq N, u_n = v_n. (1 + {\varepsilon}_n)$

On note alors $u_n \sim v_n$

Remarque Si $v_n \ne 0$ à partir d'un certain rang, alors $u_n \sim v_n$ si et uniquement si $\lim_{n \to \infin} {{u_n} \over {v_n}} = 1$

Définition

Soient $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb N}$ deux suites à valeurs réelles. On dit que $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ est négligeable devant $(v_n)_{n \in \mathbb N}$ si et uniquement si :

$\exists$ $({\varepsilon}_n)_{n \in \mathbb N}$ telle que $\lim_{n \to \infin} ({\varepsilon}_n) = 0$ et $\ u_n = \varepsilon_n v_n$ , ce qu'on note $u n = o (v n)$

Remarque Si $v_n \ne 0$ à partir d'un certain rang, alors $u n = o (v n)$ si et uniquement si $\lim_{n \to \infin} {{u_n} \over {v_n}} = 0$

Exemple

Considérons $u_n = {1 \over nˆ2}$ et $v_n = {1 \over n}$
Posons ${\varepsilon}_n = {1 \over n}$ On a alors :

$u_n = {\varepsilon}_n. v_n$
$\lim_{n \to \infin} {1 \over n} = 0$

D'où ${1 \over nˆ2} = o ({1 \over n})$ et ${1 \over nˆ2} +{1 \over n}\sim{1 \over n}$

Remarque

L'usage (habituel dans les articles de cette encyclopédie) du mot séquence est une mauvaise traduction de l'anglais sequence. La bonne traduction est suite.

Notes et références

↑ Cependant, Euler et ses successeurs montreront qu'il est envisageable d'utiliser aussi des suites et en particulier des séries divergentes ; voir série divergente pour plus de détails
↑ ou, d'une façon plus générale, dans un anneau
↑ ou, d'une façon plus générale, si $a - 1$ est inversible

Voir aussi

Suite d'entiers
Adhérence (mathématiques)
Suite de Skolem
Théorème de la progression arithmétique
Suite exacte

Liens externes et sources

L'encyclopédie de d'Alembert et Diderot sur Gallica. Tome XV (voir p 93)
Jacques Bouveresse, Jean Itard, Émile Sallé, Histoire des mathématiques [détail des éditions]

(en) L'encyclopédie des suites

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