Somme directe

En algèbre, le terme de somme directe s'applique à plusieurs situations différentes



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Espace vectoriel - Opération

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En algèbre, le terme de somme directe s'applique à plusieurs situations différentes

Somme directe de sous-espaces vectoriels

Somme directe de deux sous-espaces vectoriels

Article détaillé : Sous-espaces supplémentaires

Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel E. On dit que F1 et F2 sont en somme directe si et uniquement si pour tout élément u de F1 + F2, il existe un unique couple \ (u_1 ; u_2) de F_1 \times F_2 tel que u = u1 + u2.

On dit aussi dans ce cas que la somme F1 + F2 est directe.

En d'autres termes, la somme de deux sous-espaces vectoriels F1 et F2 est directe si la décomposition de tout élément de F1 + F2 en somme d'un élément de F1 et d'un élément de F2 est unique.

La somme sera alors notée : F_1 \oplus F_2.

On dispose des caractérisations usuelles suivantes :

u_1 + u_2 = 0 \Leftrightarrow u_1 = u_2 = 0
F_1 \cap F_2 = \{0\}

Cas de la dimension finie : quand F1 et F2 sont de dimensions finies, les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. La somme F1 + F2 est directe.
  2. \dim F_1 + \dim F_2 = \dim(F_1 + F_2).
  3. En juxtaposant ("réunissant") une base de F1 et une base de F2, on forme une base de F1 + F2.

Sous-espaces supplémentaires : deux sous-espaces F1 et F2 de E sont dits supplémentaires quand E = F_1 \oplus F_2. Cela veut dire que pour tout élément u de E, il existe un unique couple \ (u_1 ;  u_2) de F_1 \times F_2 tel que \ u = u_1 + u_2.

Somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels

On peut généraliser la notion de somme directe à une famille finie de sous-espaces vectoriels de E.

On dit qu'une famille (F_i)_{i=1\cdots k} de sous-espaces vectoriels de E est en somme directe si et uniquement si, pour tout élément u de la somme F = \sum_{i=1}ˆk F_i, il existe un k-uplet unique (u_1 ;u_2; \cdots ;u_k) de F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k tel que u = \sum_{i=1}ˆk u_i.

On dit aussi dans ce cas que la somme F des sous-espaces (F_i)_{i=1\cdots k} est directe.

En d'autres termes, la somme est directe si la décomposition de tout élément de F = \sum_{i=1}ˆk F_i en somme d'éléments des F_i\, est unique.

Pour désigner une somme directe, on se sert des notations F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_k ou \bigoplus_{i = 1} ˆkF_i.


Comme dans le cas de 2 sous-espaces vectoriels, on peut caractériser les sommes directes par l'unicité de la décomposition du vecteur nul :

La somme F = \sum_{i=1}ˆk F_i est directe si et uniquement si :
l'unique k-uplet (u_1 ;u_2; \cdots ;u_k) de F_1 \times F_2 \times \cdots \times F_k tel que \sum_{i=1}ˆk u_i = 0 est celui dont l'ensemble des éléments sont nuls.


Remarque : dès que la famille comprend au moins 3 sous-espaces, il ne suffit pas pour que la somme soit directe que leurs intersections deux à deux soient réduites à \ \{0\}, c'est-à-dire que :

F_i \cap F_j = \{0\} pour tout i et pour tout j, i différent de j.

On s'en convaincra en regardant dans \Rˆ2 les sous-espaces vectoriels :

F_1=\{(x ; 0) , x \in \R\}
F_2=\{(y ; y) , y \in \R\}
F_3=\{(0 ; t) , t \in \R\}.

Leurs intersections deux à deux sont réduites à { (0 ; 0) }, mais leur somme \ F = F_ 1 + F_2 + F_3 (égale à \ \Rˆ2) n'est pas directe.

En effet, les 3 vecteurs u_1=(1 ; 0),\, u_2=(-1 ; -1),\, u_3=(0 ; 1) appartiennent respectivement à F_1,\, F_2,\, F_3 ; ils sont non nuls, et tels que \ u_1 +  u_2 + u_3= (0 ; 0) : la décomposition du vecteur nul n'est pas unique.

En revanche, on montre que les sous-espaces de la famille des \ (F_{i})_{1\geq i\geq n} sont en somme directe dans \ E si et uniquement si :

Quand les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies, on a toujours l'équivalence des assertions suivantes :

  1. Les (F_i)_{i=1\cdots k} sont en somme directe.
  2. \sum_{i=1}ˆk \dim F_i = \dim\left(\sum_{i=1}ˆk F_i\right).
  3. En juxtaposant une base \ \mathcal{B}_1 de \ F_1, ..., une base \ \mathcal{B}_k de \ F_k, on forme une base de la somme.


Exemple : soient E un espace vectoriel sur K de dimension finie, et f un endomorphisme de E ayant précisément p valeurs propres (distinctes) nommées  \lambda_1,\, \dots,\, \lambda_p. On sert à désigner par \ \mathrm{Id} l'endomorphisme semblable de E.

Pour tout entier i tel que 1 ≤ i ≤ p,  E_i = \mathrm{ker}(f - \lambda_i\, \mathrm{Id}) est le sous-espace propre de f associé à la valeur propre \ \lambda_i.
Les deux propriétés suivantes sont classiques :

Quand c'est le cas, on forme une base \ \mathcal{B} de E diagonalisant f en juxtaposant une base \ \mathcal{B}_1 de \ E_1, ..., une base \ \mathcal{B}_p de \ E_p.

Somme directe orthogonale

On sert à désigner ici par E un espace préhilbertien réel ou complexe (espace vectoriel réel ou complexe pourvu d'un produit scalaire). Soit une famille (F_i)_{i=1\cdots k} de sous-espaces vectoriels de E. S'ils sont deux à deux orthogonaux, leur somme est directe. Elle est alors nommée somme directe orthogonale.

Un exemple particulièrement simple est l'espace Fˆ\perp constitué des vecteurs orthogonaux à l'ensemble des vecteurs d'un sous-espace vectoriel F : il est en somme directe avec F. L'égalité E = Fˆ\perp + F n'est pas forcément vérifiée quand la dimension est illimitée. Par contre, elle l'est dès que E est de dimension finie.

Deux espaces qui sont à la fois supplémentaires et orthogonaux sont dits supplémentaires orthogonaux. Un sous-espace vectoriel F de E, même s'il a des supplémentaires, n'en a pas obligatoirement un qui lui soit orthogonal. Une condition suffisante est que l'espace F soit complet (ce qui est réalisé en particulier s'il est de dimension finie). Cette question est liée à la possibilité d'effectuer une projection orthogonale.

Quand les sous-espaces vectoriels sont de dimensions finies, on a l'équivalence des assertions suivantes :

  1. Les (F_i)_{i=1\cdots k} sont en somme directe orthogonale.
  2. En juxtaposant une base orthogonale \ \mathcal{B}_1 de \ F_1, ..., une base orthogonale \ \mathcal{B}_k de \ F_k, on forme une base orthogonale de la somme.

Somme directe externe et produit cartésien

Quand deux sous-espaces F1, F2 d'un espace vectoriel E sont en somme directe, l'application suivante est bijective :

F_1 \times F_2 \to F_1 \oplus F_2, (u_1 ; u_2) \mapsto u_1 + u_2

Il existe dans ce cas une unique structure d'espace vectoriel sur le produit cartésien F_1 \times F_2 telle que cette application soit un isomorphisme d'espaces vectoriels ; la loi interne et la loi externe sont définies respectivement par les relations :

\ (u_1 ; u_2) + (v_1 ; v_2) = (u_1 + v_1 ; u_2 + v_2) et \alpha \, (u_1 ; u_2) = (\alpha\, u_1 ; \alpha\, u_2),
u1, v1 sont dans F1, u2, v2 sont dans F2, et α est dans K.

Ceci incite, si E1 et E2 sont deux espaces vectoriels quelconques sur le même corps K, à définir leur somme directe, dite alors externe.

Somme directe externe de deux K-espaces vectoriels

La somme directe externe de deux K-espaces vectoriels E1 et E2 est le produit cartésien E_1 \times E_2 sur lequel on définit

\ (u_1 ; u_2) + (v_1 ; v_2) = (u_1 + v_1 ; u_2 + v_2)
\alpha \, (u_1 ; u_2) = (\alpha\, u_1 ; \alpha\, u_2) (où \alpha \in K)

Muni de ces deux lois de composition, la totalité E_1 \times E_2 est un espace vectoriel sur K.

Dès lors, \tilde{E_1} = E_1 \times \{0\} et \tilde{E_2} = \{0\} \times E_2 sont deux sous-espaces de E_1 \times E_2, respectivement isomorphes à E1 et E2 (on a "plongé" E1, E2 dans le produit cartésien)  ; la relation E_1 \times E_2 = \tilde{E_1} \oplus \tilde{E_2} justifie l'appellation de somme directe externe.


Quand E1 et E2 sont de dimensions finies, il en est de même de leur somme directe externe, et :

\dim(E_1 \times E_2) = \dim E_1 + \dim E_2
(car E_1 \times E_2 est somme directe des deux sous-espaces \tilde{E_1} et \tilde{E_2}, qui ont même dimension que \ E_1, \ E_2 respectivement).

Somme directe externe de plusieurs K-espaces vectoriels

On définit de même la somme directe externe \ E_1 \times \cdots \times E_k de k espaces vectoriels E_1, \dots, E_k sur le même corps K.


Quand E_1, \dots, E_k sont de dimensions finies, il en est de même de leur somme directe externe, et :

\dim(E_1 \times \cdots \times E_k) = \dim E_1 + \cdots + \dim E_k.

Somme directe externe d'une famille illimitée de K-espaces vectoriels

Pour un nombre fini d'espace vectoriels la somme directe externe et le produit direct coïncident. Il n'en est pas de même quand la famille est illimitée.

En effet, soit (E_i)_{i\in I} une famille (peut-être illimitée) de K-espaces vectoriels. La somme directe externe \oplus_{i\in I} E_i est le sous-espace vectoriel du produit direct \prod_{i\in I} E_i constitué des familles à support fini. La propriété universelle ci-dessous est la raison de ce choix.

On peut, avec cette notion, élégamment définir la somme directe d'une famille illimitée de sous-espaces : Une famille de sous-espace de E est en somme directe si et uniquement si le morphisme somme qui va de la somme directe externe de ces sous-espaces dans E qui à une famille de vecteurs associe leur somme est injectif.

Remarque à propos d'autres structures algébriques

On définit de manière analogue la somme directe externe d'un nombre fini de groupes additifs, ou d'anneaux, ou de A-modules sur le même anneau A.

A titre d'exemple, si A1 et A2 sont deux anneaux, on définit sur A_1 \times A_2 deux lois de composition interne :

\ (a_1 ; a_2) + (b_1 ; b_2) = (a_1 + b_1 ; a_2 + b_2)
\ (a_1 ; a_2) \cdot (b_1 ; b_2) = (a_1  b_1 ; a_2  b_2)

Muni de ces deux lois de composition, la totalité A_1 \times A_2 est un anneau. Même si A1 et A2 sont intègres, leur produit cartésien ne l'est pas : a1, a2 étant deux éléments non nuls de A1, A2 respectivement, on a : \ (a_1 ; 0) \cdot (0 ; a_2) = (0 ; 0).

Propriété universelle de la somme directe

Soit A un anneau ; soit (M_i)_{i\in I} une famille de A-modules, N un A-module ; soit (f_i : M_i\longrightarrow N)_{i\in I} une famille d'applications linéaires.

Alors il existe une unique application \phi : \bigoplus_{i\in I}ˆ{ext} M_i\longrightarrow N A-linéaire telle que : \forall i\in I, \phi \circ q_i = f_i avec  \begin{matrix}q_i : & M_i & \longrightarrow & \prod_{k\in I} M_k\\ & x_i & \mapsto & (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix} l'injection canonique.

Voir aussi

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