Série harmonique

En mathématiques, la série harmonique est une série de nombres réels. C'est la série des inverses des entiers naturels non nuls.



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En mathématiques, la série harmonique est une série de nombres réels. C'est la série des inverses des entiers naturels non nuls.

Elle est membre de la famille plus large des séries de Riemann, qui sont utilisées comme séries de référence : la nature d'une série est fréquemment déterminée en la comparant à une série de Riemann et en utilisant les théorèmes de comparaison.

Définition

Le terme général (un) de la série harmonique est défini par

\forall n \in \Nˆ*,\ u_n=\frac{1}{n}

On note classiquement Hn la n-ième somme partielle de la série harmonique, qui est par conséquent égal à

H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n} = \sum_{k=1}ˆ{n} \frac{1}{k}.

La série harmonique diverge

Calcul des premiers termes

En calculant les premières sommes partielles de la série harmonique, il apparaît que la suite de nombres obtenus est croissante, mais à croissance lente : on pourrait croire qu'il s'agit d'une série convergente.

Valeur de n Valeur de Hn Valeur de n Valeur de Hn
1 1 11 3, 019877345
2 1, 5 12 3, 103210678
3 1, 833333333 13 3, 180133755
4 2, 083333333 14 3, 251562327
5 2, 283333333 15 3, 318228993
6 2, 45 16 3, 380728993
7 2, 592857143 17 3, 439552523
8 2, 717857143 18 3, 495108078
9 2, 828968254 19 3, 547739657
10 2, 928968254 20 3, 597739657


En réalité, la série harmonique diverge, elle tend vers +\infty.

Valeur de n Valeur de Hn
10 2, 928968254
100 5, 187377518
1 000 7, 485470861
10 000 9, 787606036
100 000 12, 09014613
1 000 000 14, 39272672

Dans le tableau ci-dessus, à chaque fois qu'on multiplie la valeur de n par 10, il semble qu'on rajoute une constante à Hn, de l'ordre de 2, 3. Ce comportement apparent est de type logarithmique en n. C'est bien ce qu'on obtient on faisant une étude asymptotique plus poussée.

Démonstrations de divergence

Si la suite de terme général Hn convergeait vers une limite finie, la suite de terme général H2n, comme suite extraite, convergerait vers la même limite, et par conséquent la suite de terme général H2nHn convergerait vers 0. Or, on peut minorer les termes de cette suite :

H_{2n}-H_{n} = \sum_{k=n+1}ˆ{2n} \frac{1}{k}
\geq \sum_{k=n+1}ˆ{2n} \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}.

Ainsi, la suite de terme général Hn ne peut converger vers une limite finie. Comme suite croissante de réels, elle diverge par conséquent vers +\infty.

On peut aussi comparer la série harmonique à une série télescopique bien choisie

v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\underset{+\infty}{\sim} \frac {1}{n}

Alors vn est le terme général d'une série divergente, à termes positifs, par conséquent par comparaison la série harmonique diverge elle aussi.

On peut aussi montrer le résultat avec la méthode de comparaison série-intégrale (c'est légèrement ce qui est caché, d'ailleurs dans le choix «judicieux» de la série télescopique).

Développement asymptotique de Hn

Tous les termes du développement asymptotique peuvent s'obtenir par la méthode de comparaison série-intégrale.

Équivalent de Hn

En utilisant l'encadrement suivant, lié à la décroissance de la fonction inverse

\int_nˆ{n+1} \frac {1}{t} \mathrm{d}t\leq \frac {1}{n} \leq \int_{n-1}ˆ{n} \frac {1}{t} \mathrm{d}t

et en sommant de 2 à N et en ajoutant 1, on arrive à

1+\int_2ˆ{N+1}\frac {1}{t} \mathrm{d}t \leq H_N \leq 1+ \int_1ˆ{N}\frac {1}{t} \mathrm{d}t.

Puis, en calculant les deux membres et en constatant qu'ils sont tous deux équivalents à lnn, on obtient :

 H_N \underset{+\infty}{\sim} \ln(N)

Second terme du développement asymptotique

La suite \ (\ln (n)- H_n) admet une limite finie qui est habituellement notée γ et nommée constante d'Euler. On a par conséquent la formule d'Euler

\ H_n = \ln (n)+\gamma +o(1),

Les 25 premiers chiffres du développement décimal de la constante d'Euler sont :

\gamma \simeq 0,5772156649015328606065120...

Pour la démonstration de la formule d'Euler, et la généralisation à d'autres séries, voir l'article comparaison série-intégrale.

Termes suivants du développement asymptotique

La méthode est détaillée dans l'article comparaison série-intégrale ; les premiers termes du développement sont

\sum_{k=1}ˆn \frac1k= \ln(n)+\gamma+\frac1{2n}-\frac1{12nˆ2}+\frac1{120nˆ4}-\frac1{252nˆ6}+\frac1{240nˆ8}-\frac1{132nˆ{10}}+
O\left(\frac1{nˆ{12}}\right)

La série harmonique alternée

Le terme général (un) de la série harmonique alternée est définie par

\forall n \in \Nˆ*,\ u_n=\frac{(-1)ˆn}{n}

C'est par conséquent une variante de la série harmonique. L'alternance des signes change tout puisque cette série converge, par le critère de convergence des séries alternées. On peut se servir de l'étude effectuée avec la série harmonique pour déterminer la nature et la somme de la série harmonique alternée.

En séparant termes pairs et impairs dans le calcul des sommes partielles, et en appliquant la formule d'Euler précédente, on prouve que la série harmonique alternée converge et a pour somme

-\ln 2 = \sum_{n=1}ˆ{+\infty} \frac{(-1)ˆn}{n}=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{(-1)ˆn}{n}+\cdots

Démonstration détaillée : on décompose les sommes partielles d'ordre pair

\sum_{n=1}ˆ{2N} \frac1{n}=\sum_{p=1}ˆ{N} \frac{1}{2p}+\sum_{p=0}ˆ{N-1} \frac{1}{2p+1}
\sum_{n=1}ˆ{2N} \frac{(-1)ˆn}{n}=\sum_{p=1}ˆ{N} \frac{1}{2p}-\sum_{p=0}ˆ{N-1} \frac{1}{2p+1} =2\sum_{p=1}ˆ{N} \frac{1}{2p}-\sum_{n=1}ˆ{2N} \frac1{n}=H_N-H_{2N}

Une formule d'Euler pour chaque terme

\sum_{n=1}ˆ{2N} \frac{(-1)ˆn}{n}=\ln N+\gamma+o(1)-(\ln 2N+\gamma+o(1)) =-\ln 2+o(1)

Pour conclure il faut toujours signaler que si on prend une somme partielle d'ordre impair, elle a aussi pour limite - ln 2 (on ajoute en effet à la somme d'ordre pair précédente un terme qui tend vers 0).

Variante : on peut utiliser la théorie des séries entières en établissant la formule plus générale

\forall x \in [-1,1[,\ -\ln (1-x)= \sum_{n=1}ˆ{+\infty} \frac{xˆn}{n}

Série harmonique et entier naturel

Pour tout entier n \geq 2, Hn n'est jamais entier.

L'argumentation s'appuie sur le postulat de Bertrand : pour tout entier k \geq 1, il existe un nombre premier p compris (au sens large) entre k + 1 et 2k.

Soit n \geq 2, et soit k la partie entière de n / 2. Il existe par conséquent un nombre premier p compris entre k + 1 et 2k. Ce nombre premier p est par conséquent inférieur à n et son double est strictement supérieur à n. On en déduit que p ne divise alors aucun des entiers de 1 à n sauf lui-même.

Soit l'entier K vérifiant

K = \frac{n!}{p} = \prod_{\underset{ i \ne p}{i=1}}ˆn i

D'après la remarque précédente, p ne divise aucun des entiers de 1 à p sauf lui-même, il ne divise par conséquent pas leur produit, il ne divise par conséquent pas K.

On multiplie alors Hn par K

KH_n = \sum_{\underset{ i \ne p}{i=1}}ˆn \frac Ki + \frac Kp

Or pour tout i \neq p, K / i est un entier par conséquent la somme des K / i est un entier noté A, donc

KH_n = A + \frac Kp

A est un entier, K / p n'est pas entier par conséquent KHn n'est pas entier et Hn n'est pas entier.

Représentation sous forme d'intégrale

La série harmonique peut aussi se calculer à partir d'une intégrale simple, et par ce biais on peut obtenir un prolongement analytique sur \R :

H_n = \int_0ˆ1 \frac{xˆn-1}{x-1}\,\mathrm{d}x

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