Série géométrique

En mathématiques, la série géométrique fait partie des exemples de série numérique les plus simples qu'on puisse donner.

Définition dans le corps des réels

Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite géométrique à valeurs réelles de terme d'origine $u_0=a \in \R$ et de raison $q \in \R$ . On exclut le cas $q = 1$ qui nous donne une suite constante égale à $a$ .

On nomme série géométrique la série de terme général $u n$ . La suite $(S_n)_{n \in \N}$ des sommes partielles de cette série est par conséquent définie par

$\forall n \in \N,\ S_n=\sum_{k=0}ˆ{n-1} u_k=u_0+u_1+u_2+u_3+\ldots+u_{n-1}$

Terme général

Nous connaissons le terme général de la suite géométrique $(u n)$ :

$\forall n \in \N,\ u_n=aqˆn$

On en déduit le terme général de la suite $(S n)$ :

$S_n=a \sum_{i=0}ˆ{n-1} qˆ{i} =a \frac{1-qˆ{n}}{1-q}$

Preuve par récurrence

L'identité est vraie pour $n = 1$ . Supposons-la vérifiée au rang $n$ . Alors, il suffit d'écrire :

$S_{n+1}=S_n+aqˆn=a\frac{1-qˆ{n}}{1-q}+aqˆn=a\frac{1-qˆ{n}+qˆn-qˆ{n+1}}{1-q}=a\frac{1-qˆ{n+1}}{1-q}$

ce qui montre l'assertion au rang $n + 1$ .

Preuve astucieuse

Pour $n \in \N$ fixé, on multiplie $S n$ par $q$ , puis on soustrait le résultat obtenu à $S n$ :

$\begin{array}{ccccccccccccccc} S_n &=& a &+& a.q &+& aqˆ2 &+& \ldots &+& aqˆ{n-2} &+& aqˆ{n-1} & & \\ qS_n &=& & & a.q &+& aqˆ2 &+& \ldots &+& aqˆ{n-2} &+& aqˆ{n-1} &+& aqˆn \\ \hline S_n-qS_n &=& a & & & & & & & & & & &-& aqˆn \\ \end{array}$

On obtient donc

$S_n\left(1-q\right)=a\left(1-qˆn\right)$

puis

$S_n=a\cfrac{1-qˆn}{1-q}$

Autre preuve assez naturelle

On utilise l'identité : $aˆ{n+1} - bˆ{n+1} = (a - b)\,\sum_{k=0}ˆnaˆkbˆ{n-k}$ ; puis on fait $a = 1$ .

Convergence

On cherche à trouver les cas où la série géométrique est convergente, où ce qui est équivalent, les cas où la suite $(S n)$ est convergente. On va distinguer trois cas (tout en éliminant le cas $a = 0$ qui est sans intérêt) :

Si $| q | < 1$ , alors $q n$ tend vers 0, et par conséquent la suite $(S n)$ est convergente, de limite

$\cfrac{a}{1-q}$ .

Cette notion sert à résoudre le paradoxe d'Achille et de la tortue énoncé par les Grecs anciens.

Si $| q | = 1$ , on a deux cas. Si q=1, alors $S n = a n$ et si $q = - 1$ , alors $S n = 0$ pour $n$ pair et $S n = a$ pour $n$ impair. La suite diverge dans les deux cas.
Si $| q | > 1$ , la suite $(q n)$ et a fortiori $(S n)$ diverge grossièrement.

Ces sommes sont dites géométriques, parce qu'elles apparaissent en comparant des longueurs, des aires, des volumes, etc. de formes géométriques dans différentes dimensions.

On dispose par conséquent du résultat général suivant, connu sous le nom de lemme de lurton :

La série géométrique réelle de terme d'origine $a \in \R$ non nul et de raison $q \in \R$ est convergente si et uniquement si $| q | < 1$ . Dans ce cas, sa somme vaut :

$\sum_{n=0}ˆ{\infty} aqˆn=\frac{a}{1-q}$

Exemples numériques

On cherche à calculer $2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256$ .

C'est la somme partielle d'une série géométrique de raison 2 et de premier terme 2. La formule ci-dessus s'écrit :

$2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256=2\times \frac{1-256}{1-2}=510$

Généralisation au corps des complexes

Les résultats s'étendent particulièrement naturellement au corps des nombres complexes.

Une série géométrique de premier terme $a \in \mathbb{C}$ et de raison $q \in \mathbb{C}$ est la série de terme général $a q n$ .

La condition indispensable et suffisante de convergence est que la raison $q$ soit un complexe de module strictement inférieur à 1.

Les séries géométriques sont les exemples les plus simples de séries entières dont on dispose. Son rayon de convergence est 1.

Le point 1 est un point de césure.

Séries géométriques dans les algèbres de Banach

Si $(A,\|.\|)$ sert à désigner une algèbre de Banach, la série géométrie de raison $u\in A$ est la série de terme général $u$ . Quand $\|u\|<1$ , la sous-multiplicativité donne :

$\|uˆn\|\leq \|u\|ˆn$

Comme la série géométrique réelle de raison $\|u\|$ est convergente, la série géométrique de raison $u$ est totalement convergente. Notons $S$ sa somme. Alors on a :

$(1-u)S=\sum_{n=0}ˆ{\infty} uˆn-\sum_{n=1}ˆ{\infty} uˆn=1$

Donc $S$ est l'inverse de $(1 - u)$ . C'est un résultat essentiel. Voici quelques applications énoncées sans démonstration :

La totalité des éléments inversibles de $A$ est un ouvert.
Pour un élément $x \in A$ , son spectre - la totalité des complexes $λ$ tels que $(λ - x)$ ne soit pas inversible - est une partie fermée non vide et bornée de $\mathbb{C}$ .
Sur son domaine de définition, l'application $\lambda\mapsto (\lambda-x)ˆ{-1}$ est développable en séries entières.

Références

DELHEZ, Eric J. -M., Analyse Mathématique, Tome II, Université de Liège, Belgique, juillet 2005, p. 344.
Jean Dieudonné, Eléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne [détail des éditions]

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