Série géométrique

En mathématiques, la série géométrique fait partie des exemples de série numérique les plus simples qu'on puisse donner.



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En mathématiques, la série géométrique fait partie des exemples de série numérique les plus simples qu'on puisse donner. C'est la série des termes d'une suite géométrique.

Bien qu'en apparence simple, elle mérite attention car elle admet une généralisation dans les algèbres de Banach qui permet d'étudier les variations de l'inverse d'un élément.

Définition dans le corps des réels

Soit (u_n)_{n \in \N} une suite géométrique à valeurs réelles de terme d'origine u_0=a \in \R et de raison q \in \R. On exclut le cas q = 1 qui nous donne une suite constante égale à a.

On nomme série géométrique la série de terme général un. La suite (S_n)_{n \in \N} des sommes partielles de cette série est par conséquent définie par

\forall n \in \N,\ S_n=\sum_{k=0}ˆ{n-1} u_k=u_0+u_1+u_2+u_3+\ldots+u_{n-1}

Terme général

Nous connaissons le terme général de la suite géométrique (un)  :

\forall n \in \N,\ u_n=aqˆn

On en déduit le terme général de la suite (Sn)  :

 S_n=a \sum_{i=0}ˆ{n-1} qˆ{i} =a \frac{1-qˆ{n}}{1-q}

Preuve par récurrence

L'identité est vraie pour n = 1. Supposons-la vérifiée au rang n. Alors, il suffit d'écrire :

S_{n+1}=S_n+aqˆn=a\frac{1-qˆ{n}}{1-q}+aqˆn=a\frac{1-qˆ{n}+qˆn-qˆ{n+1}}{1-q}=a\frac{1-qˆ{n+1}}{1-q}

ce qui montre l'assertion au rang n + 1.

Preuve astucieuse

Pour n \in \N fixé, on multiplie Sn par q, puis on soustrait le résultat obtenu à Sn :


\begin{array}{ccccccccccccccc}
S_n      &=& a   &+& a.q &+& aqˆ2 &+& \ldots &+& aqˆ{n-2} &+& aqˆ{n-1} & & \\
qS_n     &=&     & & a.q &+& aqˆ2 &+& \ldots &+& aqˆ{n-2} &+& aqˆ{n-1} &+& aqˆn \\
\hline
S_n-qS_n &=& a   & &     & &      & &        & &          & &          &-& aqˆn \\   
\end{array}

On obtient donc

S_n\left(1-q\right)=a\left(1-qˆn\right)

puis

S_n=a\cfrac{1-qˆn}{1-q}

Autre preuve assez naturelle

On utilise l'identité : aˆ{n+1} - bˆ{n+1} = (a - b)\,\sum_{k=0}ˆnaˆkbˆ{n-k} ; puis on fait a = 1.

Convergence

On cherche à trouver les cas où la série géométrique est convergente, où ce qui est équivalent, les cas où la suite (Sn) est convergente. On va distinguer trois cas (tout en éliminant le cas a = 0 qui est sans intérêt)  :

\cfrac{a}{1-q}.
Cette notion sert à résoudre le paradoxe d'Achille et de la tortue énoncé par les Grecs anciens.

Ces sommes sont dites géométriques, parce qu'elles apparaissent en comparant des longueurs, des aires, des volumes, etc. de formes géométriques dans différentes dimensions.

On dispose par conséquent du résultat général suivant, connu sous le nom de lemme de lurton :

La série géométrique réelle de terme d'origine a \in \R non nul et de raison q \in \R est convergente si et uniquement si | q | < 1. Dans ce cas, sa somme vaut :

\sum_{n=0}ˆ{\infty} aqˆn=\frac{a}{1-q}

Exemples numériques

C'est la somme partielle d'une série géométrique de raison 2 et de premier terme 2. La formule ci-dessus s'écrit :
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256=2\times \frac{1-256}{1-2}=510

Généralisation au corps des complexes

Les résultats s'étendent particulièrement naturellement au corps des nombres complexes.

Une série géométrique de premier terme a \in \mathbb{C} et de raison q \in \mathbb{C} est la série de terme général aqn.

La condition indispensable et suffisante de convergence est que la raison qsoit un complexe de module strictement inférieur à 1.

Les séries géométriques sont les exemples les plus simples de séries entières dont on dispose. Son rayon de convergence est 1.

Le point 1 est un point de césure.

Séries géométriques dans les algèbres de Banach

Si (A,\|.\|) sert à désigner une algèbre de Banach, la série géométrie de raison u\in A est la série de terme général u. Quand \|u\|<1, la sous-multiplicativité donne :

\|uˆn\|\leq \|u\|ˆn

Comme la série géométrique réelle de raison \|u\| est convergente, la série géométrique de raison u est totalement convergente. Notons S sa somme. Alors on a :

(1-u)S=\sum_{n=0}ˆ{\infty} uˆn-\sum_{n=1}ˆ{\infty} uˆn=1

Donc S est l'inverse de (1 − u) . C'est un résultat essentiel. Voici quelques applications énoncées sans démonstration :

Références

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