Série géométrique
En mathématiques, la série géométrique fait partie des exemples de série numérique les plus simples qu'on puisse donner.
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En mathématiques, la série géométrique fait partie des exemples de série numérique les plus simples qu'on puisse donner. C'est la série des termes d'une suite géométrique.
Bien qu'en apparence simple, elle mérite attention car elle admet une généralisation dans les algèbres de Banach qui permet d'étudier les variations de l'inverse d'un élément.
Définition dans le corps des réels
Soit une suite géométrique à valeurs réelles de terme d'origine
et de raison
. On exclut le cas q = 1 qui nous donne une suite constante égale à a.
On nomme série géométrique la série de terme général un. La suite des sommes partielles de cette série est par conséquent définie par
Terme général
Nous connaissons le terme général de la suite géométrique (un) :
On en déduit le terme général de la suite (Sn) :
Preuve par récurrence
L'identité est vraie pour n = 1. Supposons-la vérifiée au rang n. Alors, il suffit d'écrire :
ce qui montre l'assertion au rang n + 1.
Preuve astucieuse
Pour fixé, on multiplie Sn par q, puis on soustrait le résultat obtenu à Sn :
On obtient donc
puis
Autre preuve assez naturelle
On utilise l'identité : ; puis on fait a = 1.
Convergence
On cherche à trouver les cas où la série géométrique est convergente, où ce qui est équivalent, les cas où la suite (Sn) est convergente. On va distinguer trois cas (tout en éliminant le cas a = 0 qui est sans intérêt) :
- Si | q | < 1, alors qn tend vers 0, et par conséquent la suite (Sn) est convergente, de limite
-
.
- Cette notion sert à résoudre le paradoxe d'Achille et de la tortue énoncé par les Grecs anciens.
- Si | q | = 1, on a deux cas. Si q=1, alors Sn = an et si q = − 1, alors Sn = 0 pour n pair et Sn = a pour n impair. La suite diverge dans les deux cas.
- Si | q | > 1, la suite (qn) et a fortiori (Sn) diverge grossièrement.
Ces sommes sont dites géométriques, parce qu'elles apparaissent en comparant des longueurs, des aires, des volumes, etc. de formes géométriques dans différentes dimensions.
On dispose par conséquent du résultat général suivant, connu sous le nom de lemme de lurton :
La série géométrique réelle de terme d'origine non nul et de raison
est convergente si et uniquement si | q | < 1. Dans ce cas, sa somme vaut :
Exemples numériques
- On cherche à calculer 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256.
- C'est la somme partielle d'une série géométrique de raison 2 et de premier terme 2. La formule ci-dessus s'écrit :
Généralisation au corps des complexes
Les résultats s'étendent particulièrement naturellement au corps des nombres complexes.
Une série géométrique de premier terme et de raison
est la série de terme général aqn.
La condition indispensable et suffisante de convergence est que la raison qsoit un complexe de module strictement inférieur à 1.
Les séries géométriques sont les exemples les plus simples de séries entières dont on dispose. Son rayon de convergence est 1.
Le point 1 est un point de césure.
Séries géométriques dans les algèbres de Banach
Si sert à désigner une algèbre de Banach, la série géométrie de raison
est la série de terme général u. Quand
, la sous-multiplicativité donne :
Comme la série géométrique réelle de raison est convergente, la série géométrique de raison u est totalement convergente. Notons S sa somme. Alors on a :
Donc S est l'inverse de (1 − u) . C'est un résultat essentiel. Voici quelques applications énoncées sans démonstration :
- La totalité des éléments inversibles de A est un ouvert.
- Pour un élément
, son spectre - la totalité des complexes λ tels que (λ − x) ne soit pas inversible - est une partie fermée non vide et bornée de
.
- Sur son domaine de définition, l'application
est développable en séries entières.
Références
- DELHEZ, Eric J. -M., Analyse Mathématique, Tome II, Université de Liège, Belgique, juillet 2005, p. 344.
- Jean Dieudonné, Eléments d'analyse, t. I : Fondements de l'analyse moderne [détail des éditions]
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