Série de Fourier

En analyse, les séries de Fourier sont un outil essentiel dans l'étude des fonctions périodiques. C'est à partir de ce concept que s'est développée la branche des mathématiques connue sous le nom d'analyse harmonique.



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  • B- Les Séries de Fourier. C- Fonctions paires et impaires, notion de phase.... Sa série de Fourier est donc : Nous voyons ce résultat à la figure 7.... (source : aei)
Le premier graphe donne l'allure du graphe d'une fonction périodique ; l'histogramme donne les valeurs des modules des cœfficients de Fourier correspondant aux différentes fréquences.

En analyse, les séries de Fourier sont un outil essentiel dans l'étude des fonctions périodiques. C'est à partir de ce concept que s'est développée la branche des mathématiques connue sous le nom d'analyse harmonique.

L'étude d'une fonction périodique par les séries de Fourier comprend deux volets :

Au-delà du problème de la décomposition, la théorie des séries de Fourier établit une correspondance entre la fonction périodique et les cœfficients de Fourier. Par conséquent, l'analyse de Fourier peut être reconnue comme une nouvelle façon de décrire les fonctions périodiques. Des opérations telles que la dérivation s'écrivent simplement en termes de cœfficients de Fourier. La construction d'une fonction périodique solution d'une équation fonctionnelle peut se ramener à la construction des cœfficients de Fourier correspondants.

Les séries de Fourier ont été introduites par Joseph Fourier en 1822, mais il fallut un siècle pour que les analystes dégagent les outils d'étude adaptés : une théorie de l'intégrale pleinement satisfaisante et les premiers concepts de l'analyse fonctionnelle. Elles font toujours aujourd'hui l'objet de recherches actives pour elles-mêmes, et ont suscité plusieurs branches nouvelles : analyse harmonique, théorie du signal, ondelettes, etc.

Les séries de Fourier se rencontrent habituellement dans la décomposition de signaux périodiques, dans l'étude des courants électriques, des ondes cérébrales, dans la synthèse sonore, le traitement d'images, etc.


Préliminaire

Soient D un sous-ensemble non vide de R et f une fonction réelle dont la totalité de définition est D.

Si t est un nombre réel, on dit que f admet t pour période si, et uniquement si, pour tout x de D, x+t \in D et x-t \in D et f (x + t) = f (x) .

Il est facile de voir que la totalité E des périodes de f est un sous-groupe pourvu de la loi + de R.

La fonction f est dite périodique de période T quand l'intersection de E et des réels strictement positifs admet T pour plus petit élément. Alors, le réel F=1/T, inverse de la période T, est nommé fréquence de f.

Si T est un réel strictement positif et si F=1/T, les fonctions sinusoïdales

x\mapsto \cos(2\pi\cdot n\cdot F\cdot  x) et x\mapsto \sin(2\pi \cdot n\cdot F\cdot x)

sont périodiques de période T/n et de fréquence n F. T/n est bien entendu période de chacune de ces fonctions (car \cos(2\pi\cdot n\cdot F\cdot  (x+T/n)) = \cos(2\pi\cdot n\cdot F\cdot  x ) et \sin(2\pi \cdot n\cdot F\cdot (x+T/n) )=\sin(2\pi \cdot n\cdot F\cdot x))

Polynômes trigonométriques

Une combinaison linéaire de ces fonctions sinusoïdales élémentaires porte le nom de polynôme trigonométrique et forme aussi une fonction admettant T pour période. Elle peut se réécrire comme combinaison linéaire de fonctions x\mapsto eˆ{2in\pi F x}, l'emploi des nombres complexes et de la fonction exponentielle servant à simplifier les notations.

Un polynôme trigonométrique P s'écrit par conséquent sous la forme :

P(x)=\sum_{n=-\infty}ˆ{+\infty}c_n (P)eˆ{i 2\pi\frac{n}{T} x} avec eˆ{i 2\pi\frac{n}{T} x} = \cos(2\pi\frac{n}{T} x) + i \sin(2\pi\frac{n}{T} x)

où les cœfficients cn (P) sont presque tous nuls, et peuvent être obtenus par la formule suivante :

\frac{1}{T} \int_{-T/2}ˆ{T/2} P(t) eˆ{-i \frac{2n\pi}{T}t}\,\mathrm dt=c_n(P) \qquad (1).

Principe des séries de Fourier

On ne peut pas obtenir l'ensemble des fonctions admettant T pour période comme une telle combinaison, ne serait-ce que parce qu'un polynôme trigonométrique est obligatoirement indéfiniment dérivable.

L'idée sous-jacente à l'introduction des séries de Fourier est de pouvoir obtenir une fonction admettant T pour période, par exemple continue, comme somme de fonctions sinusoïdales :

f(x)=\sum_{n=-\infty}ˆ{+\infty}c_n (f)eˆ{i 2\pi\frac{n}{T} x}

avec les cœfficients cn (f), nommés cœfficients de Fourier de f, définis par la formule :

c_n(f) = \frac{1}{T} \int_{-T/2}ˆ{T/2} f(t) eˆ{-i 2\pi\frac{n}{T}t}\mathrm dt.

Il s'agit cette fois-ci d'une véritable somme illimitée, c'est-à-dire d'une limite de somme finie, ce qui correspond au concept de somme de série.

De nombreux calculs se traduisent de façon particulièrement simple sur les cœfficients des polynômes trigonométriques, comme le calcul de dérivée. Il est envisageable de les généraliser au niveau des cœfficients de Fourier généraux.

Au sens strict, la formule de décomposition n'est pas correcte généralement. Elle l'est , ponctuellement, sous de bonnes hypothèses de régularité portant sur f. Alternativement, on peut lui donner sens en se plaçant dans les bons espaces fonctionnels.

Aspects historiques

Les séries de Fourier forment la branche la plus ancienne de l'analyse harmonique, mais n'en demeurent pas moins un domaine vivant, aux nombreuses questions ouvertes. L'étude de leurs particularités est allée de pair, pendant tout le XIXe siècle, avec les progrès de la théorie de l'intégration.

Les origines

Les premières considérations sur les séries trigonométriques apparaissent vers 1400 en Inde, chez Madhava, chef de file de l'école du Kerala [1]. En Occident, on les trouve au XVIIe siècle chez James Gregory, au début du XVIIIe siècle chez Brook Taylor. C'est l'ouvrage de ce dernier, Methodus Incrementorum Directa et Inversa, paru en 1715, qui donne le coup d'envoi à l'étude systématique des cordes vibrantes et de la propagation du son, thème de recherche majeur pendant tout le siècle.

Une controverse éclate dans les années 1750 entre d'Alembert, Euler et Daniel Bernoulli sur le problème des cordes vibrantes. D'Alembert détermine l'équation d'onde et ses solutions analytiques. Bernoulli les obtient aussi, sous forme de décomposition en série trigonométrique. La controverse porte sur l'obligation de concilier ces points de vue avec les questions de régularité des solutions. Selon J. -P. Kahane[2], elle aura un rôle majeur dans la genèse des séries de Fourier.

Bernoulli avait introduit des séries trigonométriques dans le problème des cordes vibrantes pour superposer des solutions élémentaires.

Joseph Fourier (1768-1830) introduit l'équation de la chaleur dans un premier mémoire en 1807[3] qu'il complète et présente en 1811 pour le Grand prix de Mathématiques. Ces premiers travaux, controversés sur le plan de l'analyse, ne furent pas publiés. En 1822, Fourier expose les séries et la transformation de Fourier dans son traité Théorie analytique de la chaleur. Il décrit qu'une fonction peut être décomposée sous forme de série trigonométrique, et qu'il est facile de prouver la convergence de celle-ci. Il juge même toute hypothèse de continuité inutile[4].

En 1829, Dirichlet (1805-1859) donne un premier énoncé correct[5] de convergence limité aux fonctions périodiques continues par morceaux ne possédant qu'un nombre fini d'extrema. Dirichlet considérait que les autres cas s'y ramenaient ; l'erreur sera corrigée par Jordan en 1881.

En 1848, Wilbraham est le premier à mettre en évidence le phénomène de Gibbs[6] en s'intéressant au comportement des séries de Fourier au voisinage des points de discontinuité.

Avancée conjointe des séries de Fourier et de l'analyse réelle

Le Mémoire sur les séries trigonométriques de Bernhard Riemann (1826-1866) , publié en 1867[7], forme une avancée décisive. L'auteur lève un obstacle majeur en définissant pour la première fois une théorie de l'intégration satisfaisante. Il démontre surtout que les cœfficients de Fourier ont une limite nulle à l'infini, et un résultat de convergence connu comme le théorème de sommabilité de Riemann.

Georg Cantor (1845-1918) publie une série d'articles sur les séries trigonométriques entre 1870 et 1872, où il démontre son théorème d'unicité. Cantor raffine ses résultats en recherchant des "ensembles d'unicité", pour lesquels son théorème reste vérifié. C'est l'origine de l'introduction de la théorie des ensembles.

En 1873, Du Bois-Reymond (1831-1889) donne le premier exemple de fonction continue périodique dont la série de Fourier diverge en un point[8]. Le dernier quart du XIXe siècle voit assez peu d'avancées dans le domaine des séries de Fourier ou de l'analyse réelle généralement, tandis que l'analyse complexe connaît une progression rapide.

Dans une note de 1900[9] et dans un article de 1904[10], Fejér (1880-1959) démontre son théorème de convergence uniforme utilisant le procédé de sommation de Cesàro (moyenne arithmétique des sommes partielles de Fourier). En particulier, il dégage un principe nouveau : l'association systématique entre régularisation au moyen d'un «noyau» et procédé de sommation pour la série de Fourier.

De nouveaux outils d'étude

Henri Lebesgue (1875-1941) donne à la théorie des séries de Fourier son cadre définitif en introduisant une nouvelle théorie de l'intégration. Dans une série de publications qui s'étalent de 1902 à 1910, il étend les théorèmes de ses prédécesseurs, surtout le théorème de Riemann sur la limite des séries de Fourier. Il prouve aussi plusieurs théorèmes de convergence nouveaux. La majorité de ses résultats figurent dans ses Leçons sur les séries trigonométriques publiées en 1906.

En 1907, Pierre Fatou (1878-1929) démontre l'égalité de Parseval dans le cadre général des fonctions de carré sommable. La même année, Frigyes Riesz (1880-1926) et Ernst Fischer (1875-1954) , de façon indépendante, prouvent la réciproque. Ces résultats participent à l'apparition d'un domaine nouveau, l'analyse fonctionnelle.

Dorénavant, les questions de convergence dans les espaces fonctionnels sont envisagées à travers l'étude des propriétés des suites de noyaux et des opérateurs associés. Une grande partie des résultats passe par des questions d'estimation de normes nommées "constantes de Lebesgue", qui deviennent un objet d'étude systématique.

Parallèlement, le problème de la convergence simple des séries de Fourier donne lieu à plusieurs coups de théâtre avec la publication de résultats qui ont connu un grand retentissement et surpris les contemporains. En 1926, Andreï Kolmogorov (1903-1987) construit un exemple de fonction intégrable dont la série de Fourier diverge partout[11]. En 1966, Lennart Carleson (1928) établit au contraire[12] que la série de Fourier d'une fonction de carré sommable converge presque partout vers cette fonction. D'autres résultats (Kahane et Katznelson 1966, Hunt 1967) viennent compléter l'étude. Les recherches se portent ensuite sur la convergence des séries de Fourier à plusieurs dimensions, toujours imparfaitement connue.

Cœfficients de Fourier

La définition des cœfficients de Fourier porte sur les fonctions périodiques intégrables au sens de Lebesgue sur une période. Pour une fonction périodique, être de classe Lp implique l'intégrabilité. Ceci comprend surtout les fonctions continues, ou continues par morceaux, périodiques. On reprend ici les notations du premier paragraphe.

Cœfficients complexes

Les cœfficients de Fourier (complexes) de f (pour n \in \Z) sont donnés par :

c_n(f) = \frac{1}{T} \int_{-T/2}ˆ{T/2} f(t) eˆ{-i \frac{2n\pi}{T}t}\,dt\, .

Par périodicité de l'intégrale, ces cœfficients peuvent aussi être calculés en considérant l'intégrale sur n'importe quel segment de longueur T. Le cœfficient cn (f) est la valeur moyenne de f(t) eˆ{-i \frac{2n\pi}{T}t}. Surtout, le cœfficient c0 (f) n'est autre que la valeur moyenne de f.

Si n>0, on nomme harmonique de rang n et note Hn (f) la fonction sinusoïdale de fréquence nF=\frac{n}{T} obtenue en tenant compte des cœfficients de Fourier d'indice n et -n, donnée par :

H_n : x\mapsto c_n(f) eˆ{i\frac{2n\pi}{T}x} + c_{-n}(f)eˆ{-i\frac{2n\pi}{T}x}\,.

La série de Fourier, Sn (f) , est la série de fonctions obtenue en sommant les harmoniques successifs jusqu'au rang n, soit :

S_n(f)= c_0(f) + \sum_{k=1}ˆn H_k(f) = \sum_{k=-n}ˆn c_k(f)eˆ{i\frac{2k\pi}{T}x}\,.

Une des questions à laquelle répond la théorie de Fourier est de déterminer le mode de convergence de cette série (convergence ponctuelle, convergence uniforme, convergence quadratique, ... ).

Si on suppose que la série, Sn (f) est totalement convergente, la fonction f (x) est égale à cette série :

f(x)=\sum_{k=-\infty}ˆ\infty c_k(f)eˆ{i\frac{2k\pi}{T}x}\,.

On dit que la fonction f est développable en série de Fourier.

Il suffit d'intégrer terme à terme en inversant les signes somme et intégrale pour le démontrer.

Cœfficients réels

Si la fonction f est à valeurs réelles, il peut être intéressant de manipuler des cœfficients réels, surtout dans le cas de fonctions paires ou impaires. On définit ainsi les cœfficients de Fourier réels de f :

Ici encore, la périodicité autorise à changer l'intervalle d'intégration.

L'harmonique de rang n se réécrit alors comme la fonction :

x\mapsto a_n(f) \cos\left(nx\frac{2\pi}{T}\right) + b_n(f) \sin\left(nx\frac{2\pi}{T}\right) = \chi_n \cos\left(nx\frac{2\pi}{T} + \Phi_n\right)\,,

\chi_n ˆ2 = a_n(f)ˆ2 + b_n(f)ˆ2 et si χn est non nul, \;\cos(\Phi_n)=a_n / \chi_n et \;\sin(\Phi_n)=-b_n / \chi_n.

La convention suivante peut aussi être choisie pour a0 : a_0 (f)= \frac{2}{T}\int_{-T/2}ˆ{T/2} f(t)\, dt, ce qui ne s'interprète plus alors comme une valeur moyenne, mais en est le double. Cette dernière convention harmonise les définitions des cœfficients qui débutent alors tous par 2 / T.

Les dispositifs de cœfficients (an, bn), pour n positif, et cn, pour n entier relatif sont liés linéairement par les relations suivantes :

Les dernières identités restent vraies pour n = 0 sous la convention du cœfficient en 2 / T.

La parité d'une fonction se traduit sur les cœfficients de Fourier :

Égalité de Parseval

Article détaillé : égalité de Parseval.

Pour une fonction T-périodique continue par morceaux, ou d'une façon plus générale de carré intégrable sur une période, l'égalité de Parseval affirme la convergence de la série suivante et l'identité :

\sum_{n=-\infty}ˆ{+\infty}|c_n(f)|ˆ2=\frac{1}{T}\int_{-T/2}ˆ{T/2}|f(t)|ˆ2dt = \frac{1}{T}\int_0ˆT|f(t)|ˆ2dt= \|f\|ˆ2\; .

Ce résultat est équivalent à une convergence en moyenne quadratique des séries de Fourier correspondantes (voir ci-dessous).

L'égalité de Parseval implique surtout que les cœfficients de Fourier de f tendent (suffisamment vite) vers 0 en l'infini. Suivant les hypothèses de régularité sur f, la vitesse de convergence peut être précisée (voir ci-dessous).


Remarque :

\sum_{n=-\infty}ˆ{+\infty}|c_n(f)|ˆ2=|a_0(f)|ˆ2/4+1/2*\sum_{n=1}ˆ{+\infty}|a_n(f)|ˆ2+|b_n(f)|ˆ2

Effet de la dérivation sur les cœfficients

Pour une fonction continue et \mathcal Cˆ1 par morceaux, on établit, par intégration par parties :

c_n(f\, ')=2i \pi n c_n(f)/T.

D'une façon plus générale, pour une fonction de classe \mathcal Cˆ{k} et \mathcal Cˆ{k+1} par morceaux, on établit :

cn (f (k + 1) ) = (2iπn / T) k + 1cn (f) .

Cœfficients et régularité de la fonction

Les cœfficients de Fourier caractérisent la fonction : deux fonctions ayant les mêmes cœfficients de Fourier sont identiques presque partout. Surtout, dans le cas continu par morceaux, elles coïncident en l'ensemble des points sauf un nombre fini.

Un certain nombre de résultats relient régularité de la fonction et comportement à l'infini des cœfficients de Fourier.

\forall p\in \mathbb{N}, \qquad c_n(f)=o\left(\frac1{|n|ˆp}\right) en \pm \infty
Plus exactement, si la fonction est de classe \mathcal Cˆ{k}, ses cœfficients de Fourier sont négligeables devant \frac1{nˆk}.
Réciproquement, si les cœfficients de Fourier sont dominés par \frac1{nˆ{k+2}}, alors la fonction est de classe \mathcal Cˆ{k}.

Reconstitution des fonctions

Une des questions centrales de la théorie est celle du comportement de la série de Fourier d'une fonction et en cas de convergence de l'égalité de sa somme avec la fonction originellement reconnue, ceci dans l'objectif de pouvoir remplacer l'étude de la fonction elle-même par celle de sa série de Fourier, qui autorise des opérations analytiques facilement manipulables. Sous des hypothèses de régularité convenables, une fonction périodique peut effectivement se décomposer comme somme de fonctions sinusoïdales.

Théorème de convergence ponctuelle (de Dirichlet)

Article détaillé : Théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier.
Un signal en dents de scie
Les cinq premières sommes partielles de sa série de Fourier

Pour une fonction périodique f de période T, continue en un réel x, et dérivable à droite ainsi qu'à gauche en x, le théorème de Dirichlet affirme la convergence de sa série de Fourier évaluée en x et donne l'égalité :

f(x) = \sum_{n = -\infty}ˆ{\infty} c_n(f) \cdot eˆ{i nx\frac{2\pi}{T}}.

Si f est à valeurs réelles, l'égalité ci-dessus se réécrit avec les cœfficients de Fourier réels :

f(x) = a_0(f) + \sum_{n = 1}ˆ{\infty} \left ( a_n (f) \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) +  b_n(f) \cdot \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right )\right ).

Les hypothèses peuvent être affaiblies. La fonction f peut uniquement être continue à gauche ainsi qu'à droite en x et à variation bornée sur un voisinage de x. Dans ce cas, f (x) doit être remplacé par la valeur moyenne de f en x, soit par conséquent la moyenne entre ses limites à droite ainsi qu'à gauche en x : ( (f (x ) + f (x +) ) / 2. La démonstration du théorème se base sur le fait que la série de Fourier se calcule par produit de convolution avec un polynôme trigonométrique aux propriétés remarquables : le noyau de Dirichlet.

Théorème de convergence uniforme de Dirichlet

Le théorème de convergence uniforme de Dirichlet est une version globale du théorème de convergence ponctuelle. Pour une fonction T-périodique et continûment dérivable au voisinage de tout point d'un segment I, la série de Fourier de f converge uniformément vers f sur I.

La démonstration consiste à constater que les constantes dans les estimations de la preuve du théorème de convergence ponctuelle peuvent être choisies indépendamment du point d'évaluation x\in I.

En particulier, la série de Fourier d'une fonction continûment dérivable et T-périodique, converge uniformément sur \mathbf R vers la fonction.

PS : Il suffit que la fonction soit continûment dérivable par morceaux et continue.

Phénomène de Gibbs

Article détaillé : Phénomène de Gibbs.

Le phénomène de Gibbs est un effet de bord observé au voisinage d'une discontinuité de la fonction. Pour l'illustrer, voici la représentation des termes d'ordre 10, 50 et 250 de la série de Fourier de la fonction «créneau».

Phénomène de Gibbs
Approximation du créneau à l'ordre 10
Approximation du créneau à l'ordre 50
Approximation du créneau à l'ordre 250

Le polynôme trigonométrique nème terme de la série de Fourier, Sn (f) , est une fonction continue, il est par conséquent normal qu'il ne puisse approcher uniformément la fonction créneau qui, elle , ne l'est pas. Sur une des zones de «plateau», en dehors d'un voisinage de la discontinuité, cependant, la série de Fourier converge uniformément vers la fonction (elle en est indiscernable sur le dernier graphique).

Au niveau du point de discontinuité, Sn subit une forte oscillation, une sorte de «sursaut». Les images laissent soupçonner et le calcul montre effectivement que l'amplitude de ce sursaut tend vers une constante. Exactement si la fonction a une discontinuité d'amplitude Δy, alors Sn, tout en restant continue, connaîtra un «saut» en ordonnée valant de l'ordre de 18% de plus.

Convergence en moyenne quadratique

La convergence en moyenne quadratique concerne la convergence pour la norme hermitienne :

\|f\|ˆ2=\int_{0}ˆT|f(t)|ˆ2dt

Cette norme est définie par exemple sur l'espace E des fonctions T-périodiques et continues, ou sur l'espace F des fonctions T-périodiques mesurables de carré intégrable identifiées modulo égalité sur un ensemble négligeable. La norme provient du produit scalaire :

(f\cdot g)= \frac1T\int_{-T/2}ˆ{T/2} f(t)\overline{g(t)} dt.

L'espace E est dense dans l'espace F et l'espace normé F est complet ; il peut être obtenu comme le complété de E.

Introduisons la fonction exponentielle complexe d'indice n

e_n : x\mapsto eˆ{in\frac{2\pi}{T}x}.

La famille (en) forme une famille orthonormale. Cette famille est surtout libre. L'espace qu'elle génère est l'espace des polynômes trigonométriques, sous-espace de E. Le nème cœfficient de Fourier de f est le produit scalaire de f par en :

c_n(f)=(f\cdot e_n)

En particulier, le nème polynôme trigonométrique de f est la projection orthogonale de f sur l'espace génèré par (e_k)_{-n\leq k\leq n}.

Une conséquence est l'égalité de Parseval.

Théorème de Fejér

Article détaillé : Théorème de Fejér.

Le théorème de Fejér consiste à perfectionner la convergence donnée par le théorème de convergence uniforme de Dirichlet en effectuant une limite de Cesàro des sommes partielles de la série de Fourier. Pour une fonction continue et T-périodique, on note :

S_n (f)= \sum_{k = -n}ˆ{n} c_k (f)\cdot eˆ{i kx\frac{2\pi}{T}} puis \sigma_N (f)= \frac1N\sum_{n = 0}ˆ{N-1} S_n(f)= \sum_{k = -N+1}ˆ{N-1} \frac {N-|k|}{N} c_k(f) \cdot eˆ{i kx\frac{2\pi}{T}}

Le théorème de Fejér affirme que, sous l'unique hypothèse de continuité, la suite des fonctions σN (f) converge uniformément vers f.

Ce théorème de Fejér forme une démonstration envisageable de la version trigonométrique du théorème de Stone-Weierstrass. Il se démontre en utilisant les propriétés d'un polynôme trigonométrique spécifique : le noyau de Fejér d'indice n est positif et la suite de ces noyaux forme une approximation de l'identité.

Le polynôme trigonométrique σN (f) admet des fréquences s'étalant de nf à nf. Pour chaque fréquence, le cœfficient précédent est modifié. Les nouveaux cœfficients tendent à donner plus d'importance aux petites fréquences ainsi qu'à amortir les termes de fréquence élevée, ce qui sert à lisser les comportements trop brusques.

Convergence simple

Les résultats positifs obtenus en envisageant d'autres modes de convergence ne font pas perdre sa pertinence à l'étude de la convergence simple.

Dans le cadre des fonctions continues, le théorème de Fejér permet d'affirmer que si la série de Fourier de f converge simplement, alors elle admet pour limite la fonction f. Par contre des considérations d'analyse fonctionnelle permettent de prouver qu'il existe une fonction continue dont la série de Fourier diverge en au moins un point : exactement c'est une application du théorème de Banach-Steinhaus à l'opérateur de convolution par la fonction noyau de Dirichlet. Il est aussi envisageable d'en donner des exemples explicites simples. C'est ainsi le cas de la fonction -périodique définie par : \forall x\in [-\pi,\pi], \,\, f(x)=\sum_{n=1}ˆ{+\infty} \frac1{nˆ2} \sin \left(\left(2ˆ{nˆ3}+1\right)\frac {|x|} 2\right)

Les domaines de divergence envisageables sont connus grâce à deux théorèmes complémentaires.

Si on élargit le cadre aux fonctions intégrables sur une période,

Applications

Calculs de séries

L'application des théorèmes de Dirichlet et de Parseval, auparavant énoncés, permettent de calculer la valeur exacte de la somme de séries numériques remarquables, parmi lesquelles :

\frac{\piˆ2}{6} = \frac{1}{1ˆ2} + \frac{1}{2ˆ2} + \frac{1}{3ˆ2} + \frac{1}{4ˆ2} + \cdots = \sum_{n=1}ˆ{\infty} \frac{1}{nˆ2}
 \frac{\piˆ2}{12} = 1 - \frac{1}{2ˆ2} + \cdots + (-1)ˆ{n+1}\frac{1}{nˆ2} + \cdots=
\sum_{n=1}ˆ{\infty} (-1)ˆ{n+1}\frac{1}{nˆ2}
\frac{\piˆ2}{8} = \frac{1}{1ˆ2} + \frac{1}{3ˆ2} + \frac{1}{5ˆ2} + \cdots + \frac{1}{(2n+1)ˆ2} + \cdots=\sum_{k=0}ˆ{\infty}\frac{1}{(2k+1)ˆ2}
\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{(-1)ˆn}{2n+1} + \cdots=\sum_{k=0}ˆ{\infty}\frac{(-1)ˆk}{2k+1} (formule de Leibniz)
\frac{\pi-1}{2} = \sum_{n=1}ˆ{\infty}\frac{\sin(n)}{n} = \sum_{n=1}ˆ{\infty}\left(\frac{\sin(n)}{n}\right)ˆ{2}
\sum_{n=1}ˆ{+\infty} \frac{1}{nˆ{2p}}, (valeur de la fonction zêta de Riemann en les entiers pairs).

Équations différentielles ainsi qu'aux dérivées partielles

Les séries trigonométriques peuvent être employées, comme les séries entières, pour rechercher les solutions de certaines équations différentielles linéaires.

La méthode de séparation des variables pour une équation aux dérivées partielles consiste à en chercher des solutions sous forme de produit de fonctions d'une seule variable. Quand cette méthode s'applique, chacune de ces fonctions vérifie une équation différentielle linéaire et des conditions aux limites. Ainsi, pour le problème des cordes vibrantes :

\begin{cases}\hbox{(i)}\qquad \frac{\partialˆ2 u}{\partial tˆ2}=\frac{\partialˆ2 u}{\partial xˆ2},\\
\hbox{(ii)}\qquad u(0,t)=u(1,t)=0,\\
\hbox{(iii)}\qquad u(x,0)=f(x), \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=v(x)\end{cases} \qquad (x,t)\in ]0,1[\times ]0,+\infty[,

La variable t est le temps, x est une coordonnée d'espace comprise entre deux valeurs 0 et 1 qui représentent les points d'attache de la corde. La fonction u donne la position de la corde à tout moment. La fonction f donne sa position d'origine, v la distribution d'origine des vitesses.

On peut trouver des fonctions satisfaisant (i) et (ii) qui sont de la forme a (x) b (t) . Par superposition, on trouve l'expression générale de la solution

u(x,t)=\sum_{n=0}ˆ{+\infty} \sin (n\pi x) (a_n \cos (n\pi t) +b_n\sin(n\pi t)),

où les cœfficients an et bn sont ceux qu'on obtient en décomposant f et v en série de Fourier.

D'une façon plus générale, la théorie de Sturm-Liouville sert à traiter les problèmes de séparation de variables de façon particulièrement identique en donnant l'existence d'une base hilbertienne jouant le même rôle que la famille des fonctions trigonométriques élémentaires.

Le problème de Dirichlet sur un disque est un autre exemple classique d'emploi des séries de Fourier. Il consiste à déterminer les fonctions harmoniques sur le disque (ouvert) ayant une valeur limite fixée au bord. Physiquement, il s'interprète comme la recherche d'un profil de température à l'équilibre, les valeurs sur le bord du disque étant imposées. Si on suppose qu'il s'agit du disque unité, en employant les coordonnées polaires, la fonction donnant le profil de température imposé est f (θ) , supposée continue et périodique. Elle admet des cœfficients de Fourier an (f) et bn (f) . Alors la fonction suivante donne la solution sur le disque :

T(r,\theta)=\sum_{n=0}ˆ{+\infty} rˆn(a_n(f) \cos (n\theta)+b_n(f)\sin (n\theta)).

Le fait que la limite quand r tend vers 1 soit égale à f, avec convergence uniforme, est une application du procédé de sommation d'Abel.

Inégalités fonctionnelles

L'analyse de Fourier sert à donner des expressions nouvelles pour l'opération de dérivation, et d'en tirer des estimées intéressantes.

Ainsi l'inégalité de Wirtinger s'applique à une fonction f de classe \mathcal {C}ˆ1, -périodique et de valeur moyenne nulle. Elle compare les normes de f et de sa dérivée (normes de la convergence en moyenne quadratique)

 \|f\|_2ˆ2\leq \|f'\|_2ˆ2 c'est-à-dire  \int_{-\pi}ˆ{\pi} |f(t)|ˆ2 dt \leq 
\int_{-\pi}ˆ{\pi} |f'(t)|ˆ2 dt

Ce résultat peut servir à son tour à établir le théorème isopérimétrique : le cercle est la courbe fermée enserrant un domaine connexe d'aire maximale pour une longueur donnée.

Un autre exemple d'application est l'inégalité de Bernstein. Celle-ci s'applique à une fonction de la forme suivante :

f(t)=\sum_{k=1}ˆp \alpha_k eˆ{i\lambda_k t}

avec des cœfficients αk complexes et des cœfficients λk réels (ce n'est par conséquent pas obligatoirement un polynôme trigonométrique) et différents. L'inégalité sert à comparer cette fois les limites supérieures de f et de sa dérivée :

\|f'\|_\infty \leq \max\limits_{1\leq k\leq p}|\lambda_k|\cdot \|f\|_\infty.

La démonstration de l'inégalité de Bernstein repose sur l'écriture de f′ comme une combinaison illimitée de translatées de f, avec une formule d'analyse de Fourier.

Extension du concept de série de Fourier

Extension aux distributions

Les séries de Fourier se définissent par ressemblance pour les distributions. Une distribution D est par définition une application linéaire sur l'espace des fonctions. D est dite T-périodique quand sa valeur sur une fonction test f et sur sa T-translatée. Dans ce cas, il existe une distribution à support compact d telle que D est la somme de la série suivante au sens des distributions :

D=\sum_{k\in \mathbb{Z}} t_{kT}d.

Les cœfficients de Fourier de D sont alors définis comme suit :

<img class=.

Réciproquement, si on considère une suite à croissance lente, la série trigonométrique correspondante converge au sens des distributions vers une distribution périodique. Un exemple d'utilisation est le peigne de Dirac.

Espaces de Hilbert

Les espaces de Hilbert sont les espaces vectoriels pourvus d'un produit scalaire et qui sont complets pour la norme associée. L'espace des fonctions T-périodiques, de carré sommable, identifiées par la relation d'égalité presque partout, possède une structure de ce type. Identité de Parseval et théorème de Riesz-Fischer montrent que les fonctions trigonométriques élémentaires forment une base hilbertienne, et les coordonnées d'une fonction sont données par ses cœfficients de Fourier.

Tout espace de Hilbert séparable et de dimension illimitée E est pourvu d'une telle base, et l'application qui à un élément de l'espace associe ses cœfficients (encore nommés "cœfficients de Fourier") est une isométrie de E dans l'espace l2.

Il est envisageable d'envisager aussi des espaces de Hilbert non séparables, ainsi il existe des cœfficients de Fourier-Bohr pour les fonctions presque périodiques. On ne pose alors plus de conditions sur le rapport de fréquences pour les fonctions trigonométriques de référence.

Série et transformation de Fourier

La décomposition en séries de Fourier est aussi généralisée aux fonctions non périodiques avec la théorie de la transformée de Fourier et la notion de densité spectrale. Pour une présentation élémentaire, voir Analyse spectrale.

Série et transformation de Fourier sont reliées par la formule sommatoire de Poisson.

Notes et références

  1. (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, Madhava of Sangamagramma, MacTutor History of Mathematics archive. (consulté en 2000)
  2. Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset, Séries de Fourier et ondelettes [détail des éditions], p. 33 et suivantes
  3. Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, disparu depuis des archives de l'Institut et connu à travers un abrégé paru sous la signature de Siméon Denis Poisson dans le Nouveau Bulletin des sciences par la Société philomatique de Paris, t. I, p. 112-116, n°6; mars 1808. Paris, Bernard
  4. Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, voir le texte sur Gallica, alinéa 235 p. 259 et alinéa 417 p. 551
  5. Gustav Lejeune-Dirichlet, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, Journal de Crelle 4 (1829) p. 157-169
  6. Henry Wilbraham, On a certain periodic function, Cambridge Dublin Math. J. 3, 1848
  7. Œuvres de Riemann, 2e édition, p. 230
  8. Paul David Gustave Du Bois-Reymond, Eine neue Theorie der Convergenz und Divergenz von Reihen mit positiven Gliedern, Journal für die reine und angewandte Mathematik 76 (1873) p. 61-91.
  9. Lipót Fejér, Sur les fonctions intégrables et bornées, C. R. Acad. Sci. Paris, 10 décembre 1900
  10. Leopold Fejér, Untersuchungen über Fouriersche Reihen, Math. Annalen, 58, 1904
  11. Andreï Kolmogorov, Une série de Fourier-Lebesgue divergente partout, C. R. Acad Sci. Paris, 183, p. 1327-28
  12. Lennart Carleson, Convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta Math. 116, p. 135-157
  13. J. -P. Kahane, Y. Katznelson, Sur les ensembles de divergence des séries trigonométriques, Studia Math, 26, 305-306
  14. R. A. Hunt, On the convergence of Fourier series orthogonal expansions and their continuous analogues, Proc Conf Edwardsville 1967, p 235-255, Southern Illinois University Press, Carbondale, III, 1968

Voir aussi

Bibliographie

Liens externes


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