Rotation plane
En géométrie dans le plan, une rotation plane est une transformation qui fait tourner les figures autour d'un point et d'un certain angle.
Page(s) en rapport avec ce sujet :
- . 1 Rotations planes.... Figure 8 : Rotation plane d'angle \theta et centre C.... C'est l'unique rotation plane ayant plus d'un point fixe.... (source : geothalg.ulg.ac)
- A plane rotation around a point followed by another rotation around a different point results in a total motion which is either a rotation (as in this... (source : en.wikipedia)
- Pages dans la catégorie «Rotation plane». Cette catégorie contient 2 pages, dont les 2 ci-dessous. R. Rotation plane · Rotation plane /Qu'est-ce qu'une... (source : fr.wikiversity)
![]() Cet article est membre de la série Mathématiques élémentaires |
Algèbre |
Logique |
Arithmétique |
Probabilités |
Statistiques |
En géométrie dans le plan, une rotation plane est une transformation qui fait tourner les figures autour d'un point et d'un certain angle. Cette transformation est une isométrie car les distances sont conservées. La figure n'a été ni déformée, ni agrandie.
La rotation fait intervenir la notion d'angle orienté ce qui fait d'elle une des transformations les moins évidentes des transformations euclidiennes.
Définition, propriétés et caractérisations
Définition


Définition : Dans le plan orienté, la rotation de centre C et d'angle θ est la transformation qui laisse C invariant et qui transforme tout point M différent de C en un point M'tel que
- CM = CM'et
Les rotations les plus classiques sont
- les quarts de tour directs - rotations d'angle droit dans le sens trigonométrique (i. e. inverse des aiguilles d'une montre) ;
- les quarts de tours indirects - rotations d'angle droit dans le sens des aiguilles d'une montre
- les rotations d'angle plat qui correspondent aux symétries centrales ainsi qu'aux homothéties de rapport -1
- Une rotation d'angle nulle correspond à l'identité.
Construction de l'image d'un point par une rotation : prévoir figure
- Tracer le cercle de centre C et de rayon [CM].
- Placer sur ce cercle le point M', qui est l'image de M par cette rotation tel que
.
Une rotation peut aussi être déterminée par un centre et l'image d'un point : Si C est un point et A et A'deux points différents de C tels que CA = CA', il existe une unique rotation de centre C et qui transforme A en A'. L'angle est alors l'angle de la rotation.
Propriétés
Propriété 1 : L'image d'un segment [AB] est un segment [ A'B' ] tel que AB = A'B'.
Propriété 2 : L'image d'un cercle C de centre O et de rayon r est un cercle C'de centre O', l'image de O, et de même rayon r.


Propriété 3 dite "de conservation" : La rotation conserve :
- les longueurs ;
- les angles (l'image d'un angle est un angle de même mesure) ;
- les parallèles (les images de deux droites parallèles sont parallèles) ;
- les aires (l'image d'une figure est une figure de même aire).
La rotation conserve par conséquent les distances, c'est-à-dire que M'N'= MN. C'est par conséquent une isométrie. Elle conserve par conséquent les alignements, les angles et les concours. Elle conserve aussi l'orientation : si ABC est un triangle direct alors A'B'C'est aussi un triangle direct.
Fait important, on retrouve aussi l'angle de la rotation entre un vecteur et son image.
Les triangle CMN et C'M'N'sont isométriques de même orientation car : CM = CM'
- CN = CN'
Donc, surtout
- MN = M'N'
Une relation de Chasles sur les vecteurs permet alors d'écrire :
- (
les deux angles extrêmes s'annulent et celui du milieu vaut θ donc
Autre caractérisation
Une rotation peut par conséquent être caractérisée par l'image de deux points : Soient A et B deux points différents et A'B'deux points tels que AB = A'B'avec , il existe une unique rotation r qui transforme A en A'et B en B'. Cette rotation pour angle
, et pour centre l'intersection des médiatrices de [AA'] et [BB'] (si elles se coupent) ou bien le point d'intersection de (AB) et de la médiatrice de [AA'] (si les médiatrices ne sont pas sécantes). Il n'est pas indispensable de connaitre le centre de la rotation pour construire l'image M'du point M (distinct de A) car ce dernier vérifie les deux conditions suivantes :
- AM = A'M'
qui le définissent de manière univoque
![]() ![]() |
![]() ![]() |
Rem : Si l'une des médiatrices n'existe pas, ce qui se produit lorsque A et A'ou B et B'sont confondus, le centre est alors immédiat : c'est , selon les cas, A ou B.
Invariance par rotation
Certaines figures sont invariantes par rotation. C'est le cas par exemple du carré de centre O, invariant par rotation de centre O et d'angle droit ou plat, ou du triangle équilatéral de centre O invariant par rotation d'angle 120°. On dit tandis que ces figures possèdent une symétrie d'ordre 4 (pour le carré) ou d'ordre 3 (pour le triangle). L'ordre de la rotation correspond au nombre de rotations nécessaires pour revenir au point de départ.
![]() ![]() |
![]() ![]() |
Un polygone régulier à n côtés possède une symétrie d'ordre n. Il existe des figures possédant une symétrie d'ordre n qui ne possèdent pas pour tout autant un axe ou un centre de symétrie. C'est le cas par exemple du Triskell qui possède une symétrie d'ordre trois (Rq : à cause de l'alternance noir/blanc, le Taijitu, symbole du Yin Yang ne possède pas la symétrie d'ordre deux qu'on pourrait lui prêter au premier abord).
![]() ![]() |
![]() ![]() |
Composition et décomposition


La composée de deux réflexions (ou symétries) s (d) et s (d') d'axes sécants en O est une rotation de centre O. Plus exactement, si
et
alors
où r est une rotation de centre O et d'angle θ
Réciproquement, toute rotation de centre C se décompose en deux réflexions (symétries) d'axes sécants en C dont l'un peut être choisi arbitrairement pourvu que l'autre permette, en multipliant par deux l'angle constitué par les vecteurs directeurs, de retrouver l'angle de la rotation.
La composée de deux rotations de même centre C et d'angles θ et θ'est une rotation de centre C et d'angle θ + θ'. Ces deux rotations commutent, c'est-à-dire que
La totalité des rotations de centre C, pourvu de la loi de composition est par conséquent un groupe commutatif isomorphe à
La composée de deux rotations de centres différents et d'angles θ et θ'est
- une rotation d'angle θ + θ'si θ + θ'≠ 2kπ
- une translation sinon
La recherche du nouveau centre et la démonstration de cette propriété s'obtient en décomposant chaque rotation en deux réflexions ayant un axe en commun. Cette composée est rarement commutative.
De plus, la composée d'une rotation et d'une translation reste une rotation de même angle dont le centre a changé.
![]() ![]() |
![]() ![]() |
La totalité constitué de l'ensemble des rotations planes et de l'ensemble des translations, pourvu de la loi de composition interne forme un groupe non commutatif nommé le groupe des isométries directes.
Expression complexe
La rotation de centre C et d'angle θ a pour expression complexe
c'est-à-dire que, si zc est l'affixe de C, le point M d'affixe z a pour image le point M'd'affixe z'vérifiant l'égalité précédente.
Réciproquement, toute transformation dont l'expression complexe est
- z'= az + b, où a et b sont des complexes, vérifiant |a| = 1 et a ≠ 1
est une rotation dont le centre C a pour affixe et dont l'angle est l'argument de a
Cette écriture complexe sert à retrouver facilement l'ensemble des propriétés précédentes.
Formules de changement d'axes de coordonnées
Il est courant en physique de devoir opérer une rotation des axes de coordonnées. Les formules qui suivent permettent d'exprimer les coordonnées d'un point M dans l'un des repères suivant les coordonnées dans l'autre repère. Prenons un repère cartésien xOy dans lequel les coordonnées (x, y ) d'un point M s'expriment suivant les coordonnées polaires (r, φ) par les formules élémentaires


Dans le nouveau repère x'Oy'déduit du précédent par une rotation d'angle θ (voir la figure) les nouvelles coordonnées polaires sont r et (φ - θ) et les coordonnées cartésiennes deviennent
En développant les fonctions trigonométriques et en tenant compte des expressions de x et y on arrive aux formules suivantes servant à passer d'un repère à l'autre.
et, en sens inverse,
Un truc : s'il peut s'avérer complexe de mémoriser le signe à mettre devant sinθ («+» dans une ligne et «-» dans l'autre) l'astuce consiste à considérer un point spécifique (tel que P sur la figure) avec y = 0 ou y ' = 0 selon les besoins et de vérifier alors sur la figure le signe de la coordonnée voulue.
Voir aussi
- Symétrie
- Symétrie (transformation géométrique)
- Rotation vectorielle
- Rotation dans l'espace
- Rotation
Recherche sur Amazon (livres) : |
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.