Racine carrée de deux

La racine carrée de deux, notée √ 2, √2 ou 2 1/2, est définie comme l'unique nombre réel positif qui, quand il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, c'est à dire √2 × √2 = 2.



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  • Pour calculer la racine carrée x d'un nombre n on partait d'une valeur approchée... calculons la racine carrée de 2 en partant de 1; on obtient successivement 1, 3/2, ... de racine on est assuré de la validité de la méthode de Newton.... (source : xavier.hubaut)
  • ... sqrt (Valeur), Renvoie la racine carrée du nombre passé en paramètre... LOG2E, Propriété qui renvoie la valeur du logarithme du nombre d'Euler en base 2.... Dans le cas opposé, la méthode asin () renvoie la valeur NaN... (source : commentcamarche)
L'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle de côté 1 vaut √2

La racine carrée de deux, notée √2, √2 ou 21/2, est définie comme l'unique nombre réel positif qui, quand il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, c'est à dire √2 × √2 = 2. C'est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée est

1, 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478

Le calcul d'une valeur approchante de √2 a été un problème mathématique pendant des siècles. Ces recherches ont permis de peaufiner les algorithmes de calculs d'extraction de racines carrées. En informatique, ces recherches se sont poursuivies afin d'optimiser ces algorithmes en réduisant les temps de calcul et la consommation de mémoire[1].

La longueur √2 peut être construite géométriquement de plusieurs manières ; par exemple, par le théorème de Pythagore, l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle de côté 1 vaut √2.

Il est vraisemblable que √2 ait été le premier nombre reconnu comme irrationnel, c'est-à-dire ne pouvant être exprimé comme une fraction de nombres entiers. La découverte des nombres irrationnels est le plus souvent attribuée à l'école de Pythagore, dont l'un des membres aurait produit la toute première démonstration d'irrationalité. Sans pouvoir affirmer avec certitude que celle-ci concernait √2, le fait que les propriétés de ce nombre soient connues et étudiées depuis très longtemps , et aussi qu'il est spécifiquement simple d'en démontrer l'irrationalité, est un argument pour faire de √2 «le premier irrationnel».

Le nombre intervient dans des applications de la vie courante :

Étymologie

L'expression «racine carrée» est issue de la notation géométrique européenne qui prévalait avant la notation algébrique, et surtout de l'une des constructions de √2 présentée au paragraphe précédent. L'expression «radical de deux» était aussi utilisée.

Les problèmes mathématiques ont fréquemment été présentés sous forme géométrique avant d'être ramenés à des expressions algébriques.

√2 dans la vie courante

Format de papier

Le rapport longueur/largeur d'une feuille de format A est une bonne approximation de √2
Article détaillé : format de papier.

Les formats de papier A, B et C de la norme ISO 216, d'emploi courant hors de l'Amérique du Nord, ont été conçus pour vérifier une propriété remarquable : une feuille coupée en deux parties identiques par la largeur, produit deux feuilles semblables à l'original ; c'est-à-dire avec le même rapport longueur/largeur. L'aire étant diminuée d'un facteur 2, ceci n'est envisageable que si ce rapport vaut √2 ; dans la pratique, les dimensions sont arrondies.

Ci-dessous sont données les valeurs approximatives des formats A0 à A5 selon √2.

Valeurs approximatives des dimensions des formats A0 à A5 exprimées selon √2. Dans la pratique, les dimensions sont arrondies.
format longueur (m) largeur (m) aire (m²)
A0 √√2 √√2/√2 1
A1 √√2/√2 √√2/2 1/2
A2 √√2/2 √√2/ (2√2) 1/4
A3 √√2/ (2√2) √√2/4 1/8
A4 √√2/4 √√2/ (4√2) 1/16

Les séries B et C changent de la série A respectivement d'un facteur √√2 (∼ 1, 19) et √√√2 (∼ 1, 09).

Les facteurs d'agrandissement de 200%, 141%, 71%, 50% proposés par les photocopieuses sont des approximations de (√2) n qui permettent le passage à des formats de papier supérieurs ou inférieurs — que ce soit physiquement ou par impression de 2n pages par feuille.

Musique

Article détaillé : gamme tempérée.

La gamme du tempérament égal se construit ainsi : le rapport de fréquences entre les notes extrêmes de l'octave est 2 ; et la gamme est divisée en douze-demi tons de rapports de fréquence égaux f. Le rapport de fréquences entre la note la plus haute et la plus basse est par conséquent f12, qui vaut, comme indiqué auparavant, 2. Le demi-ton a ainsi un rapport f = 21/12.

Rapports de fréquences des notes de la gamme tempérée comparé à la note la plus basse.
do do# ré# mi fa fa# sol sol# la la# si do
1 21/12 21/6 21/4 21/3 25/12 √2 27/12 22/3 23/4 25/6 211/12 2

Dans ce dispositif, la quarte augmentée (do–fa#) et la quinte diminuée (do-sol?) sont identiques et valent six demi-tons ; elles ont un rapport de fréquences de √2. Le chant grégorien utilise cet intervalle, le triton, mais à la fin du Moyen Âge ce dernier est toujours évité car jugé trop dissonant. Il reçoit alors le surnom de «Diabolus in Musica».

Électricité

Tension sinusoïdale : valeur efficace
Article détaillé : tension efficace.

En électricité, la tension efficace Ueff d'un courant alternatif sinusoïdal — par exemple les 110 V ou 220 V du courant domestique — est reliée à l'amplitude de la tension Umax par

Umax = Ueff√2, noté aussi Û=U√2,

soit, dans la majorité des applications courantes :

Ueff ≅ 0, 7 Umax.

Cela est valable d'une façon plus générale pour la valeur efficace des grandeurs linéaires d'une onde sinusoïdale. On remarquera aussi que 20 log (U/√2) = 20 log U - 20 log √2 = 20 log U - log ( (√2) ˆ20) = 20 log U - log 1024 ∼ 20 log U - 3 On parle de bande passante à -3 décibels

Photographie

Diaphragme contrôlant l'ouverture d'un appareil photo
Article détaillé : Ouverture (photographie) .

Les ouvertures des appareils photographiques suivent la séquence normalisée f/1, 4, f/2 f/2, 8 f/4 f/5, 6 f/8 f/11 f/16 f/22, f/32, etc. Le rapport entre deux ouvertures consécutives est une valeur proche de √2, qui a été choisie de sorte à ce que le rapport de flux lumineux soit dans un rapport 2 (flux = diamètre²). En diminuant d'un «cran» l'ouverture on double le temps de pose indispensable ou diminue d'un facteur 2 la sensibilité de la pellicule requise. [2]

Dans la pratique, l'ouverture indiquée est un arrondi ; l'ouverture réelle peut coller au plus proche de \sqrt{2}[3]. Il existe des subdivisions sur les appareils modernes, fréquemment dans des rapports \sqrt{\sqrt{2}} ou \sqrt{2}ˆ{\frac{1}{3}}.

Lien entre ouverture, diamètre du diaphragme et flux lumineux reçu à pose et sensibilités fixés.
Ouverture f/1, 4 f/2 f/2, 8 f/4 f/5, 6 f/8 f/11 f/16 f/22 f/32
Diamètre d d/√2 d/2 d/2√2 d/4 d/4√2 d/8 d/8√2 d/16 d/16√2
Flux I I/2 I/4 I/8 I/16 I/32 I/64 I/128 I/256 I/512

Histoire

Babylone

Schéma de la tablette YBC 7289
Article détaillé : YBC 7289.

La première représentation connue de ce nombre date du début du IIe millénaire av.  J. -C. . Il apparaît sur la tablette babylonienne YBC 7289 datant de -1700 ± 100. Il s'agit du tracé d'un carré avec ses diagonales, avec les mesures des segments et accompagné d'une valeur approchée de √2 écrite en système sexagésimal cunéiforme :

1  204  501  10,

ce qui veut dire sans doute 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ — l'absence de zéro et de virgule dans la numération babylonienne rend la notation positionnelle ambiguë — soit à peu près 1, 41421296. C'est une valeur approchée au six dix-millionièmes de \sqrt{2}, ce qui indique qu'elle avait été obtenue de manière algorithmique, car une telle précision de mesure leur était hors de portée.

On sait d'ailleurs que les Babyloniens savaient extraire des racines carrées d'entiers non carrés en exploitant des formules du type de la méthode de Héron[4] (ces formules sont un cas spécifique de la méthode de Newton).

Grèce antique

Articles détaillés : mathématiques de la Grèce antique et École pythagoricienne.

Les pythagoriciens attribuèrent une grande importance à la notion de grandeurs commensurables et s'y tinrent longtemps comme à un principe philosophique. Ils ne pouvaient concevoir qu'un nombre ne soit pas un rapport d'entiers, le rapportant le plus fréquemment à des figures géométriques. Mais selon Aristote (IVe siècle av. J. -C. ), ce sont les pythagoriciens eux-mêmes qui démontrèrent pour la première fois que \sqrt{2} est irrationnel, à la fin du Ve siècle av. J. -C. , à savoir qu'il ne peut s'écrire comme le rapport de deux grandeurs commensurables. Cette démonstration de l'incommensurabilité de \sqrt{2}, supposée pour une grande part géométrique, est fréquemment attribuée à Pythagore, mais elle aurait en fait été rédigée par l'un de ses disciples. Une légende rapporte que, parce que contraire aux pensées de Pythagore sur le caractère absolu des nombres, la découverte d'un nombre irrationnel jeta un trouble au sein de l'école et la démonstration fut dissimulée. Une autre légende mise en doute par Proclus raconte qu'Hippase de Métaponte fut jeté à la mer et mourut noyé pour avoir révélé l'existence de cette démonstration. Énormément de doutes subsistent sur ces récits. D'ailleurs certains émettent l'hypothèse qu'il ne s'agissait pas de \sqrt{2} mais plutôt du nombre d'or (1+\sqrt{5})/2. Platon rapporte dans son Théétète, que Théodore utilisait une méthode générale pour démontrer l'incommensurabilité à un des racines carrées de 3, 5… 17 mais sans nous la révéler. Ainsi l'incommensurabilité de \sqrt{2} à 1, pourrait bien avoir tout de même été établie par les pythagoriciens. La plus ancienne preuve de l'incommensurabilité de \sqrt{2}\, avec 1 qui ait traversé le temps, figure dans les textes d'Aristote (Aristote, Analytiques Postérieurs I), qui affirme que si la diagonale du carré était commensurable avec le côté, alors un même nombre serait pair et impair. Une autre démonstration se trouve dans le livre 10 des Éléments d'Euclide et repose sur la méthode d'anthyphérèse, aussi nommée méthode de soustraction réciproque.

On suppose que l'algorithme de Théon de Smyrne, inspiré de la méthode d'antiphérèse, aurait été utilisé à l'époque pour calculer des valeurs approchées de \sqrt{2}. Il permet, en considérant les rapports de termes des deux suites introduites par Théon et en utilisant le principe de l'encadrement, d'obtenir des valeurs approchées de \sqrt{2} comme 3/2, 7/5, ou 17/12.

Précisons qu'il faudra attendre Diophante pour que \sqrt{2} et les autres irrationnels, mais aussi les rationnels soient reconnus comme des nombres à part entière, algébriquement parlant.

Monde indien

Article détaillé : Mathématiques indiennes.

On peut trouver dans le Śulbasutra de Baudhayana une approximation de \sqrt{2}\, antérieure au Ve siècle av. J. -C. [5].

Monde arabo-musulman

Article détaillé : mathématiques arabes.

L'irrationalité √2 est connue du monde arabo-islamique, au moins par traduction des textes grecs. Dans ses travaux, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (un mathématicien persan) résout des équations du second ordre par des méthodes tant algébriques que géométriques[6]. Un de ses successeurs, Abu Kamil systématise la manipulation des irrationnels. Ces deux mathématiciens développent et peaufinent les algorithmes d'approximation des irrationnels, dont √2.

Occident

Géométrie

Quelques constructions classiques de √2.

  1. Le théorème de Pythagore décrit que dans un triangle ABC rectangle en C, AB²=AC²+BC². Si ce triangle est un carré coupé en diagonale, la mesure de ses côtés peut être ramenée à l'unité, AC=BC=1, d'où AB²=1+1=2. Donc AB=√2.
  2. Dans un carré, la diagonale est multiple de √2 comparé aux côtés.
  3. On peut construire un carré de surface 2. L'aire d'un carré est égale au produit de ses côtés (c × c = c²). La racine de sa surface du carré est son côté et par construction, ce dernier est égal à √2. c² = 2 donne c = √2 ∼ 1, 4142. Cette construction est à l'origine de l'expression racine carrée.
  4. La duplication du carré est une construction géométrique qui vérifie l'existence du nombre √2.

Duplication du carré

En rouge le carré initial
En pointillé, les tracés de Socrate
En bleu, la réponse de l'esclave

\sqrt{2} intervient dans la duplication du carré. C'est-à-dire la résolution du problème :

un carré étant donné, comment construire un carré dont la surface est double ?

Ce problème, dont la résolution géométrique est assez simple, offre un double intérêt historique : d'une part, il a servi de base à une démarche pédagogique célèbre racontée dans le Ménon de Platon (vers 400 av. J. -C. ). D'autre part, il a poussé les mathématiciens à s'intéresser à un problème qui semblait identique mais qui se révéla insoluble dans le cadre de la construction à la règle et au compas : la duplication du cube.

Dans le Ménon de Platon, Socrate cherche à prouver à Ménon que la vertu ne s'enseigne pas mais est intrinsèque. Il pose à un esclave le problème de la duplication du carré et va l'amener à trouver «seul» la solution du problème. La démarche de l'esclave suit une voie assez classique. Il propose de multiplier le côté par deux. Socrate l'amène à trouver qu'alors l'aire est multipliée par 4. L'esclave propose ensuite de considérer un carré dont le côté est la moyenne arithmétique du côté d'origine et de son double. Socrate l'amène à trouver que l'aire vaut alors les 9/4 de l'aire d'origine. L'esclave arrive à une impasse : il ne peut trouver un nombre solution du problème. Socrate le guide alors vers la voie géométrique, il reproduit 3 carrés identiques au premier et trace une diagonale. L'esclave poursuit le raisonnement et construit enfin la solution au problème. Selon Socrate, l'esclave a retrouvé en lui une vérité qu'il possédait ; la démarche employée procède de la maïeutique.

On peut par conséquent affirmer :

Le rapport entre le côté et la diagonale d'un carré est \sqrt{2}

C'est à dire, si d est la longueur de la diagonale et c celle du côté

d = c \sqrt{2}

Triangle rectangle isocèle

Triangle rectangle isocèle de côté 1

Dans un triangle rectangle, si les deux côtés adjacents à l'angle droit ont une longueur égale à l'unité, l'hypoténuse a pour longueur de √2. Ce résultat est un cas spécifique du théorème de Pythagore.

La théorème de Pythagore affirme en effet que dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse — côté opposé à l'angle droit — est égal à la somme des carrés des côtés adjacents à l'angle droit. Sur la figure ci-contre, cela se traduit par

a2 + b2 = c2

Sur le triangle ci-contre cela donne ainsi

12 + 12 = c2.

Cela veut dire que le carré de l'hypoténuse c2 vaut 2. On en déduit que l'hypoténuse elle-même est de longueur

c = \sqrt{2}.

Trigonométrie

√2/2 = sin 45° = cos 45°

La moitié de √2 est une quantité commune en géométrie et en trigonométrie, car le vecteur unitaire qui fait un angle de 45° avec l'axe des abscisses, dans un repère orthonormé, a pour coordonnées :

\left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)

Ce nombre satisfait cette relation :

√2/2 = 1/√2 = cos 45° = sin 45°

Construction de √2 à la règle et au compas

Construction à la règle et au compas

Comme l'ensemble des racines carrées de nombre entier, \sqrt{2} est constructible à la règle et au compas ; a contrario, ce n'est pas le cas de la racine cubique de 2, par exemple.

Étant donné un segment AB de longueur unité, voici les différentes étapes pour construire un segment de longueur \sqrt{2} avec une règle non graduée et un compas :

  1. Tracer le symétrique B'de B comparé à A
    • Tracer le cercle C1 de centre A et de rayon AB, il coupe la demi-droite ]BA) en B'
  2. Tracer la médiatrice (AH) de [BB']
    • Tracer le cercle C2 de centre B et de rayon r > AB
    • Tracer le cercle C3 de centre B'et de rayon r, il coupe C2 en deux points, H et H'
    • Tracer le segment [AH] il intersecte C1 en un point C.

À cette étape le segment [BC] de longueur \sqrt{2} est construit.

Construction de √2 au compas seul

Construction au compas seul

Comme tout nombre constructible à la règle et au compas, \sqrt{2} est constructible au compas seul. Les étapes d'une construction envisageable sont :

  1. Tracer quatre sommets consécutifs B, G, H, I de l'hexagone régulier de centre A et de sommet B ; ceci sert à construire √3, l'unité étant la longueur AB.
    • Tracer le cercle C1 de centre A et de rayon AB ;
    • Tracer le cercle C2 de centre B et de rayon AB, il coupe C1 en deux points, soit G l'un d'entre eux ;
    • Tracer le cercle C3 de centre G et de rayon AB, il coupe C1 en B et H ;
    • Tracer le cercle C4 de centre H et de rayon AB, il coupe C1 en G et I ;
  2. Construire un triangle rectangle ABC d'hypoténuse AC = √3 (AB = 1)  ; C fait partie des deux points tel que IC = IG et BC = BH (sachant que IG = BH = √3 > IB/2 = 1).
    • Tracer le cercle C5 de centre I et de rayon IG ;
    • Tracer le cercle C6 de centre B et de rayon BH (= IG), il coupe C5 en C.

À cette étape le segment [AC] de longueur \sqrt{2} est construit.

Éléments de démonstration : IC = IG = √3, car selon le théorème de Pythagore, les hauteurs en I et G des triangles équilatéraux de côté 1, IHA et HAG, qui sont portées par la médiatrice de (H, A), ont pour longueur √3/2. Par construction (A et C sur la médiatrice de BI) (AC) est perpendiculaire à (AI) et le théorème de Pythagore dans IAC donne AC² = 2. .

Propriétés mathématiques principales

Irrationalité

\sqrt{2} est un nombre irrationnel : il n'est pas envisageable de l'écrire \sqrt{2} = \frac{p}{q}, c'est-à-dire sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers p et q.

Anciennement, on parlait d'incommensurabilité de et 1 : il n'existe pas d'unité u servant à mesurer à la fois le côté d'un carré et sa diagonale ; ce qui se traduit mathématiquement par la proposition suivante : il n'existe pas p et q entiers tels que :

\sqrt{2} = pu \text{ et }1 = qu.

Ces deux formulations sont équivalentes.

Il existe de multiples démonstrations de l'irrationalité ; de par leur simplicité elles sont fréquemment utilisées à des fins pédagogiques comme introduction à la théorie des nombres. Elles procèdent le plus fréquemment par l'absurde. L'incohérence typique est l'existence d'une descente illimitée d'entiers naturels ou la simplification d'une fraction irréductible. La forme de la preuve peut utiliser des arguments purement arithmétiques ou utiliser une représentation géométrique.


Démonstration géométrique

Si le triangle isocèle rectangle ABC avait ses côtés dans un rapport entier, le triangle plus petit A'B'C, aussi isocèle rectangle, aurait aussi ses côtés dans un rapport entier : √2 ne peut être rationnel par descente illimitée.

La démonstration qui suit est une variante spécifiquement simple de la démonstration géométrique des anciens grecs[7]. Elle apporte presque une évidence géométrique de l'irrationalité de √2 : étant donné un triangle isocèle rectangle dont l'hypoténuse a pour longueur un multiple entier de la longueur des deux autres côtés, on peut alors construire un triangle isocèle rectangle de dimensions strictement inférieures ayant la même propriété, ce qui montre par descente illimitée qu'un tel triangle ne peut exister.

En effet supposons \textstyle{\sqrt{2} = \frac{p}{q}} avec p et q entiers. Soit alors un triangle ABC rectangle isocèle en B de côté BA = BC = q, son hypoténuse est ainsi AC = BA × √2= p.

Le cercle de centre A et de rayon AB intersecte l'hypoténuse [AC] en B'. Le cercle de centre A et de rayon AC intersecte le côté [AB) en D. Le point A' est à l'intersection des droites (BC) et (B'D).

Le triangle A'B'C est rectangle isocèle en B' de côté p - q et d'hypoténuse 2q - p, l'ensemble des deux entiers.

En continuant ainsi, on obtient une descente illimitée de triangles à côtés entiers ABC, A'B'C, etc. ce qui est absurde.

On a bien montré que ne peut pas s'écrire \textstyle{\frac{p}{q}} avec p et q entiers.

Démonstration arithmétique

On suppose par l'absurde que la racine carrée de 2 est rationnelle. Dans ce cas on pourrait écrire √2 sous forme de fraction irréductible, c'est-à-dire que p et q n'auraient pas de facteurs premiers communs. Il en serait par conséquent de même pour p² et q², ce qui signifierait que p²/q² serait une fraction sous sa forme irréductible. Une telle forme étant unique, l'égalité p²/q² = 2/1 entraînerait p² = 2 et q² = 1. La première de ces deux égalités est impossible pour p entier ; on a par conséquent abouti à une contradiction.

Il existe différentes variantes de cette preuve. Sous cette forme, elle demande quelques connaissances arithmétiques, surtout le lemme de Gauss (ou lemme d'Euclide) pour l'unicité de la forme irréductible d'une fraction. Elle se généralise directement pour montrer l'irrationalité de la racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré parfait.

Si on s'intéresse uniquement à l'irrationalité de √2, on peut en ramener l'argumentation à des considérations élémentaires de parité comme suit : si √2 était rationnel, il pourrait s'écrire sous forme d'une fraction p/q telle qu'au moins l'un des deux entiers p et q soit impair. Il suffit de simplifier par 2 jusqu'à que ce ne soit plus envisageable (argument de descente illimitée). On remarque que le carré d'un nombre impair, c'est-à-dire de la forme 2k+1, est impair : (2k+1) ² = 2 (2k² + 2k) +1. Comme tout nombre est pair (de la forme 2k) ou impair, on en déduit que, si le carré d'un nombre est pair, ce nombre ne peut être que pair. L'identité p² = 2q² impliquerait que p² et par conséquent aussi p seraient pairs. Il s'en suivrait que p² serait divisible par 4, par conséquent q² par 2. À nouveau q² et par conséquent q seraient pairs. Mais p et q seraient l'ensemble des deux pairs, d'où contradiction.

Ces deux démonstrations se trouvent dans le livre X des Éléments d'Euclide. La seconde est particulièrement ancienne car Aristote y fait allusion, comme un fait bien connu.

Normalité

La normalité est un concept se basant sur la distribution des chiffres du développement décimal d'un nombre irrationnel, à savoir si l'ensemble des chiffres de 0 à 9 apparaissent dans ce développement et avec la même fréquence. En ce qui concerne √2, on ignore s'il est normal dans le système décimal ou dans toute autre base de numération.

Degré algébrique et degré d'irrationalité

\sqrt{2}\, est un nombre algébrique de degré 2, dit entier quadratique, car solution de l'équation polynômiale du second degré à cœfficients entiers x² − 2 = 0 et de monôme dominant de cœfficient égal à un, mais d'aucune de degré 1 de par son irrationalité. On sait ainsi qu'il est difficilement approchable par une suite rationnelle pn/qn ; l'erreur est en mieux en

|√2 − pn/qn| ∼ 1/qn².

Comme pour tout nombre algébrique irrationnel, son degré d'irrationalité est 2.

Proportion d'argent

Article détaillé : proportion d'argent.

La proportion d'argent est une constante mathématique obtenue à partir de \sqrt{2}\, :

\delta_{Ag} = 1 + \sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)ˆ{-1}\,

Elle peut aussi être écrite comme une fraction continue :

δAg = [2; 2, 2, 2, …]

On peut écrire les puissances de la proportion d'argent ainsi :

\delta_{Ag}ˆ{n + 1} = u_{n}\delta_{Ag} + u_{n - 1}\,

où la suite (un) est définie par récurrence :

u_{n + 2} = 2 u_{n + 1} + u_n\,

Note : il y a une ressemblance avec les propriétés de la proportion dorée, dont les puissances successives s'expriment selon φ et 1/φ et d'une suite récurrente double.

Développement en fraction continue

√2 est relié à un certain nombre de développements en fractions continues périodiques, par propriété des entiers quadratiques.

√2 est relié au développement en fraction continue suivant

a\sqrt{2} - b = \frac1{2b + \frac1{2b + \frac1{2b + \cdots}}}\,

pour 2a² − b² = 1, (a, b) entiers strictement positifs. On notera ce développement de manière plus concise :

a√2 − b = [0; 2b, 2b, 2b, …]

On en tire les valeurs suivantes de √2 :

√2 = [1; 2, 2, 2, …].
√2 = 1/5 × [7; 14, 14, 14, …]
√2 = 1/29 × [41; 82, 82, 82, …]

D'une façon plus générale, \sqrt{2} se relie à la fraction continue généralisée suivante :

a\sqrt{2} - b = \frac k{2b + \frac k{2b + \frac k{2b + \cdots}}}\,

notée sous forme plus concise

a√2 − b = [0; k, 2b; k, 2b; k, 2b; …]

avec k = 2a² − b², et (a, b) entiers strictement positifs. On en déduit les quelques développements de \sqrt{2}\, suivants :

√2 = 1/2 × [3; -1, 6; -1, 6; -1, 6; …]
√2 = 1/12 × [17; -1, 34; -1, 34, -1, 34; …]
√2 = 1/70 × [90; -1, 180; -1, 180, -1, 180; …]

Éléments de démonstration : soit la suite (un) définie par la relation de récurrence un + 1 = −k/ (2b + un) et εn = |un − (a√2 − b) |. Alors on peut montrer que εn + 1 < n, avec 1/|1 + 2b/ (a√2 − b) | < K < 1 dans un voisinage de a√2 − b.

Développements en série et produit illimité

Produits illimités

L'identité cos (π/4) = sin (π/4) = 1/√2 et la représentation en produit illimité du sinus et du cosinus mènent aux développements suivants

\sqrt 2 = 2\prod_{k=0}ˆ\infty
\frac{(4k+1)(4k+3)}{(4k+2)ˆ2} = 
2
\left(1-\frac{1}{4}\right)
\left(1-\frac{1}{36}\right)
\left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots
\sqrt{2} =
\prod_{k=0}ˆ\infty
\frac{(4k+2)ˆ2}{(4k+1)(4k+3)} =
\left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right)
\left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right)
\left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right)
\left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots

Le dernier produit peut s'écrire de manière équivalente :

\sqrt{2} =
\prod_{k=0}ˆ\infty
\left(1+\frac{1}{4k+1}\right)
\left(1-\frac{1}{4k+3}\right)
=
\left(1+\frac{1}{1}\right)
\left(1-\frac{1}{3}\right)
\left(1+\frac{1}{5}\right)
\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.

Séries

Le nombre peut aussi être évalué sous forme de série par le développement de Taylor d'une fonction trigonométrique en \left({\pi}/{4}\right) :

\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}ˆ\infty \frac{(-1)ˆk \left(\frac\pi4\right)ˆ{2k}}{(2k)!}.
\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}ˆ\infty \frac{(-1)ˆk \left(\frac\pi4\right)ˆ{2k+1}}{(2k+1)!}.

On peut aussi utiliser la fonction \sqrt{1+x}\, en 1 :

\sqrt{2} = \sum_{k=0}ˆ\infty (-1)ˆ{k+1} \frac{\prod_{n=1}ˆ{n=k-1} (2n-1)}{\prod_{n=1}ˆ{n=k} 2n} = 
1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} -
\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots.

La convergence de la dernière série peut être accélérée par le biais d'une transformation d'Euler pour donner :

\sqrt{2} = \sum_{k=0}ˆ\infty \frac{(2k+1)!}{(k!)ˆ2 2ˆ{3k+1}} = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} +
\frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.

Méthodes numériques d'approximation

√2 vaut approximativement 1, 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 387 534 327 641 572 7

Le calcul d'une valeur approchante de √2 a été un problème mathématique pendant des siècles. Ces recherches ont permis de peaufiner les algorithmes de calculs d'extraction de racines carrées. En informatique, ces recherches se sont poursuivies afin d'optimiser ces algorithmes en réduisant les temps de calcul et la consommation de mémoire[8].

Les méthodes numériques d'approximation présentées ci-dessous sont destinées au calcul d'un nombre important de décimales. Elles se basent le plus souvent sur une suite convergente de nombres rationnels ; ainsi l'itération s'affranchit du coût de calcul sur des nombres à virgule flottante — dont il faudrait en plus connaître la précision a priori. Les meilleures approximations par une suite rationnelle pn/qn donnent une erreur en 1/qn², une propriété de l'approximation diophantienne des entiers quadratiques.

Méthodes à convergence linéaire

Méthode de Théon de Smyrne

On doit à Théon de Smyrne ces deux suites (pn) et (qn) définies par récurrence :

pn + 1 = pn + 2qn,   p0 = 1 ;
qn + 1 = pn + qn,   q0 = 1.

Ces suites sont à valeur entière strictement positive, par conséquent strictement croissantes par récurrence, et vérifient

pn² − 2qn² = (−1) n (p0² − 2q0²)

de sorte que pn/qn tend vers √2.

On ne sait pas si l'intention de Théon de Smyrne était de calculer une valeur approchée de √2.

Solutions de l'équation diophantienne a²− 2b² = k

Les solutions entières de l'équation a² − 2b² = k sont générées par récurrence

am + 1 = 3am + 4bm
bm + 1 = 2am + 3bm

à partir des valeurs initiales (a0, b0) = (1, 1) pour k = −1 et (3, 2) pour k = 1.

Cette méthode est déduite de celle de Théon : chaque itération de la présente correspond à deux itérations de celle-là. Ainsi, an/bn tend linéairement vers √2.

Les premières solutions sont :

Les deux approximations mises en gras furent utilisées en pratique par les arpenteurs anciens :

Méthode de Théon généralisée

On se donne (a, b), obtenues par la méthode de Théon, qui sont par conséquent solutions de l'une des deux équations diophantiennes précédente 2b² = - k = K, avec k = ±1 et K> 1. On peut alors écrire

√2 = a/b √[K/ (K + k) ]

Les suites pn et qn définies par

pn + 1 = (2K + k) pn + 2Kqn,   p0 = 1 ;
qn + 1 = (2K + 2k) pn + (2K + k) qn,   q0 = 1.

vérifient

(K + k) pn + 12 - K qn + 12 = (K + k) pn2 - K qn2 = … = k,

et par conséquent, de la même façon que ci-dessus, la suite pn/qn converge vers √[K/ (K + k) ]. Qui plus est , si k = 1, cette suite est croissante par conséquent approche cette valeur par défaut, et si k = -1, elle est décroissante par conséquent approche cette valeur par excès.

On peut utiliser cette relation pour estimer l'erreur :

εn + 1εn (4K + 3k) −2

et c'est une majoration si k= 1. La convergence est par conséquent linéaire : elle fait gagner un nombre environ constant de décimales à chaque itération.

Cette méthode correspond à une généralisation de la méthode du paragraphe précédent au radical √[K/ (K + k) ]. Pour K plus grand, la suite qn croit plus rapidement, par conséquent la convergence est accélérée.

Premières approximations de √2 = 17/12 √ (288/289) par approximation linéaire de √ (288/289). Les paramètres sont a = 17, b = 12, K = 288, k = 1. On a
εn + 1 < 7,5 × 10-7εn  (avant approximation décimale des quotients).
itération valeur fractionnaire décimales exactes
0 1 1
1 19601/13860 1, 41421356
2 22619537/15994428 1, 41421356237309
3 26102926097/18457556052 1, 41421356237309504880
4 30122754096401/21300003689580 1, 41421356237309504880168872

Développement en fraction continue

Une autre méthode consiste à approcher a√2 − b par sa fraction continue généralisée pour (a, b) solutions de l'équation diophantienne 2a² = b² + k, avec k = ± 1 :

a√2 − b = [0; k, 2b; k, 2b; k, 2k, …].

m√2 − n est approximé avec la suite (pn/qn) déterminée par la relation de récurrence

pn + 1 = qn
qn + 1 = 2bqn + kpn

L'erreur vérifie asymptotiquement

εn + 1 < |a√2 − b|/ (2b − 1) εn
Premières approximations de √2 par approximation linéaire de 169√2 − 239. Les paramètres sont a = 169, b = 239, k = 1, εn + 1 ∼ 4 × 10−6 εn.
itération valeur fractionnaire décimales exactes
0 1 1
1 114243/80782 1, 414213562
2 54608393/38613965 1, 41421356237309
3 26102926097/18457556052 1, 41421356237309504880
4 12477253282759/8822750406821 1, 4142135623730950488016887

Développement de Taylor

On se donne (a, b) solutions de l'équation diophantienne 2a² = + k = K, avec k = ±1. On peut alors écrire le développement de Taylor de √[K/ (Kk) ]

\sqrt{ \frac{K}{K-k} } = 1 + \frac{1}{2} \frac{k}{K} + \frac{1\times 3}{2\times 4} \left(\frac{k}{K}\right)ˆ2
+ \frac{1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6} \left(\frac{k}{K}\right)ˆ3 + \dots

et utiliser √2 = b/a √[K/ (Kk) ]

Dans le cas √2 = 7/5 √ (50/49), ce développement se simplifie de façon remarquable comme l'a fait remarquer Leonhard Euler en 1755 :

\sqrt{2} = \frac{7}{5} \left( 1 + \frac{1}{100} + \frac{1\times 3}{1 \times 2} 10ˆ{-4} + \frac{1\times 3\times 5}{1\times 2\times 3} 10ˆ{-6} + \dots \right)
Approximation √2 = 239/169 √ (57122/57121) par le développement de Taylor du radical fractionnaire. Les paramètres sont a = 239, b = 169, K = 57122, k = 1.
itération valeur fractionnaire décimales exactes
0 1 1
1 239/169 1, 4142
2 6238763163557/4411471739168 1.41421356237309
3 712741258857407103/503984177369508992 1.414213562373095048
4 325705649507622468308893/230308673437608741128192 1.414213562373095048801688

Dichotomie

Il est envisageable d'approcher √2 par bissection. Cette méthode est de convergence linéaire lente : on gagne trois décimales à chaque dizaine d'itérations.

Méthode à convergence quadratique

La méthode de Newton appliquée à la fonction racine carrée sert à calculer une valeur approchée de √2 de manière itérative avec une convergence quadratique, c'est-à-dire doublant le nombre de décimales à chaque itération. La récurrence a la forme

un + 1 = un/2 + 1/un

Cet algorithme se nomme méthode de Héron ou méthode babylonienne car il semble que ce soit celle utilisée par les babyloniens pour trouver des valeurs approchées de racines carrées.

Si on s'intéresse aux fractions successives à partir d'une valeur d'origine p0 et q0, la récurrence sur le numérateur et le dénominateur sont

pn + 1 = pn² + 2qn²
qn + 1 = 2pnqn
Premières approximations de √2 données par la méthode de Newton.
itération valeur fractionnaire décimales exactes
0 1 1
1 3/2 1
2 17/12 1, 41
3 577/408 1, 41421
4 665857/470832 1, 41421356237
5 886731088897/627013566048 1, 41421356237309504880168

Méthodes cubiques

Méthode de Halley

Un exemple de méthode cubique s'obtient par l'itération de Halley. Elle cherche le zéro de f (x) = x² − 2 en utilisant les deux premières dérivées. La solution itérative est

xn + 1 = xn × (xn² + 6) / (3xn² + 2)

soit en posant xn = pn/qn :

pn + 1 = pn (pn² + 6qn²)
qn + 1 = qn (3pn² + 2qn²)

Cette méthode est de convergence cubique : le nombre de décimales exactes triple à chaque itération.

Premières approximations de √2 données par la méthode cubique.
itération valeur fractionnaire décimales exactes
0 1 1
1 7/5 1, 4
2 1393/985 1, 414213
3 10812186007/7645370045 1, 414213562373095048
4 1, 4142135623730950488
016887242096980785696
718753769480731766797

Méthode de Householder

L'itération de Householder appliquée à f (x) = 1/x² − 1/√2 donne une suite convergeant vers 1/√2 :

xn + 1 = xn + xn/8 × (2xn² − 1) (6xn² − 7)

Méthodes d'ordre supérieur

On utilise une méthode de Newton modifiée[9] pour trouver le zéro de f (x) = 1/x² − 1/2. Cela donne la suite récurrente :

xn + 1 = xn + xn/16 × (8hn + 6hn² + 5hn³)

avec

hn = 1 − xn²/2

Cette méthode est de convergence quartique, i. e. d'ordre 4 : le nombre de décimales exactes quadruple à chaque itération.

Premières approximations de √2 données par la méthode quartique.
itération valeur fractionnaire décimales exactes
0 3/2 1
1 23169/214 1, 414
2 57367317478181003155381859082363/2105 1, 41421356237309
3 1, 41421356237309
5048801688724209
6980785696718753
76948073176679737

Il existe des méthodes d'ordre supérieur[10], surtout parmi les méthodes de Householder.

Notes et références

  1. La majorité des logiciels mathématiques, sur ordinateurs ou sur machines à calculer, utilisent des approximations pré-établies de cette constante - au moins jusqu'à un certain rang.
  2. (en) A Tedious Explanation of the f/stop, Matthew Cole, 2005 (visité le 29 août 2006)
  3. (en) f/Calc Manual
  4. (en) Square root approximations in Old Babylonian mathematics : YBC 7289 in context - Eleanor Robson & David Fowler, Historia Mathematica, 25, pp. 366-378, 1998 [pdf]
  5. Voir (fr) Quelques aspects arithmétiques du commentaire de Dvarakanatha sur la géométrie du Sulbasutra, Jean-Michel Delire, Oriens-Occidens, n°4 (2002)  ; (en) Square Roots in the Sulbasutra, David W. Henderson ; (fr) La Diagonale du carré, 5.2 [pdf]
  6. (en) Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi
  7. présentée par Tom Apostol, in Apostol Tom M. (November 2000). "Irrationality of The Square Root of Two — A Geometric Proof". The American Mathematical Monthly 107 (9)  : 841–842, accès en ligne restreint
  8. La majorité des logiciels mathématiques, sur ordinateurs ou sur machines à calculer, utilisent des approximations pré-établies de cette constante - au moins jusqu'à un certain rang.
  9. (en) Newton's iteration, Xavier Gourdon & Pascal Sebah, 2001, visité le 24 août 2006
  10. (en) Pythagoras'Constant √2, Xavier Gourdon & Pascal Sebah, 2001, visité le 24 août 2006

Bibliographie


Voir aussi

Liens externes

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