Puissance

En algèbre, l'opération puissance consiste à multiplier un nombre a par lui-même plusieurs fois de suite. Le nombre de facteurs intervenant dans cette opération est noté à la suite du nombre a en exposant au sens typographique de ce terme.

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Soit l'expression 4 x 4 x 4, quel nombre est multiplié trois fois par lui-même ?... la base est 2 ; l'exposant est 3 ; la puissance est 2... (source : edu.gov.mb)

$\begin{array}{l} aˆ0 = 1 \\ aˆ1 = a \\ aˆ2 = a\times a \\ aˆ3 = a\times a \times a\end{array}$

Premières puissances d'un élément

En algèbre, l'opération puissance consiste à multiplier un nombre $a$ par lui-même plusieurs fois de suite. Le nombre de facteurs intervenant dans cette opération est noté à la suite du nombre $a$ en exposant au sens typographique de ce terme. Pour cette raison, ce nombre de facteurs est toujours nommé exposant (sens mathématique) de l'opération puissance, et ce nom remplace quelquefois abusivement le nom de l'opération elle-même.

Ainsi, si n est un entier naturel supérieur ou égal à deux et $a$ un nombre réel ou complexe :

$aˆn = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n facteurs}$

qui est lu «a puissance n» ou abusivement «a exposant n». Surtout, le carré et le cube sont des puissances d'exposant 2 et 3 respectivement. Tout élément est égal à sa propre puissance d'exposant 1, alors que toute puissance d'exposant nul vaut 1 par convention.

Quand un élément est inversible, ses puissances d'exposant négatif sont définies comme les puissances de son inverse. A titre d'exemple, si a est un nombre réel non nul :

$aˆ{-3}=\dfrac{1}{aˆ3}.$

L'opération puissance est prioritaire sur les autres opérations algébriques élémentaires.

Les opérations algébriques sur les puissances d'un nombre ou de plusieurs possèdent des propriétés spécifiques. Les puissances de 10, comme 10⁻⁵, sont d'une utilisation régulière dans les autres sciences, surtout en physique et en chimie.

Puissance à exposant positif

On considère un nombre a quelconque et un entier naturel n non nul. La puissance énième de a, notée aⁿ et lue «a puissance n», ou «a exposant n» est le résultat de la multiplication de ce nombre a par lui-même n fois :

$aˆn = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n facteurs}$

Le nombre n est nommé l'exposant de la puissance aⁿ.

Le nombre n est un entier naturel (donc positif) et aⁿ est une puissance à exposant entier positif de a.

Cas spécifiques

a¹ = a ;
On nomme a² la puissance carrée ou le carré de a ;
On nomme a³ la puissance cubique ou le cube de a.

On remarque aisément que, quel que soit l'entier naturel n non nul, $0 n = 0$ mais aussi $1 n = 1$ .

Puissance à exposant zéro

Pour tout nombre réel a strictement positif, on pose par convention que a⁰ = 1. En effet, on peut écrire $aˆ0 = aˆ{1-1} = aˆ1 \times aˆ{-1} = a \times \dfrac{1}{a} = 1$ d'où a⁰ = 1.

Dans certains contextes, il peut être utile de poser la convention 0⁰ = 1, par exemple pour identifier le polynôme X⁰ avec la fonction constante de valeur 1. De même, dans le cadre de la théorie des ensembles, la notation 0⁰ peut représenter le cardinal de la totalité des applications de l'ensemble vide dans lui-même et par conséquent valoir 1.

Cependant, l'application $(x,y)\mapsto xˆy = \exp(y \ln(x))$ , bien définie sur $\Rˆ*_+\times \R$ n'admet pas de prolongement par continuité en (0, 0) ce qui interdit le choix d'une convention acceptable en toute généralité.

Puissance à exposant négatif

On considère désormais un nombre a non nul et un entier naturel n. Le nombre a^-n, lu «a puissance moins n», ou «a exposant moins n» par abus de langage, est l'inverse de la puissance énième de a, c'est-à-dire :

$aˆ{-n}=\dfrac{1}{aˆ{n}}.$

On comprend qu'il ait fallu exclure 0 de cette définition car l'inclure serait revenu à vouloir diviser par 0, ce qui est impossible.

Le nombre -n est l'exposant de la puissance a^-n.

Le nombre -n étant négatif, car n est un entier naturel, a^-n est une puissance de a à exposant négatif. On notera, surtout, que a⁻¹ = 1/a (l'inverse du nombre a).

On peut appliquer cette règle pour transformer une puissance positive en inverse d'une puissance négative :

$aˆn=\dfrac{1}{aˆ{-n}}$

Signe de l'exposant et signe du nombre

Il n'y a pas de rapport direct entre le signe de l'exposant et le signe du résultat. Ce dernier dépend de la parité de l'exposant.

Un nombre élevé à une puissance paire donne un résultat positif :

si n est pair, alors

(- a) n = a n

Un nombre élevé à une puissance impaire donne un résultat du même signe :

n

est impair, alors

(- a) n = - a n

Exemples.

(-2) ³, puissance cubique de -2, vaut (-2) × (-2) × (-2) = -8 < 0.
3⁻⁴, l'inverse de la puissance quatrième de 3, vaut

$<img class=$ (− a) ⁿ, où la puissance s'applique à -a (signe moins compris) et

- a n

, où la puissance s'applique à a seulement. En effet :

$(-a)ˆn = (-a)\times(-a)\times(-a)\times \dots \times(-a)$
$-aˆn = - a\times a\times a\times \dots \times a$

Opérations algébriques sur les puissances

Il n'y a pas de formule générale sur les additions ou les soustractions de puissances, sauf la factorisation de $a n - b n$ et le développement de $(a + b) n$ .

En revanche, pour les multiplications et les divisions de puissances, on sait que pour tous nombres a et b et pour tous entiers naturels m et n non nuls :

$aˆm\times{a}ˆ{n}=aˆ{m+n}$ ;

$\dfrac{aˆm}{aˆn}=aˆ{m-n}$ si a ≠ 0 ;

$(a\times{b})ˆ{n}=aˆ{n}\times{bˆ{n}}$ (n'est vrai dans le cas général que si a et b commutent)

$(aˆm)ˆn=aˆ{m\times{n}}$ ;

$\left(\dfrac{a}{b}\right)ˆn=\dfrac{aˆn}{bˆn}$ si b ≠ 0.

Ces formules sont toujours valables si m ou n sont des entiers strictement négatifs, à condition que a et b soient non nuls.

On remarque que la convention «a⁰ = 1 pour tout nombre réel a ≠ 0» est cohérente avec ces formules ; en effet, pour tout entier naturel n ≠ 0 et pour tout nombre réel a ≠ 0,

$aˆn\times{a}ˆ{-n}=aˆ{n+(-n)}=aˆ{n-n}=aˆ0$
et

$aˆn\times{a}ˆ{-n}={aˆn}\times\dfrac{1}{aˆn}=\dfrac{aˆn}{aˆn}=1.$

On remarquera qu'en prenant n = 0, les égalités précédentes restent vraies.

Puissances de dix

Les puissances de 10 sont des cas spécifiques de puissance. Leur intérêt réside dans le fait que notre écriture est décimale.

**Table des puissances de dix**
Puissance de dix négatives ou nulle	Préfixe	Puissance de dix positives ou nulle	Préfixe
10⁰ = 1	-	10⁰ = 1	-
10⁻¹ = 0, 1	d (déci-)	10¹ = 10	da (déca-)
10⁻² = 0, 01	c (centi-)	10² = 100	h (hecto-)
10⁻³ = 0, 001	m (milli-)	10³ = 1 000	k (kilo-)
10⁻⁴ = 0, 000 1	-	10⁴ = 10 000	-
10⁻⁵ = 0, 000 01	-	10⁵ = 100 000	-
10⁻⁶ = 0, 000 001	µ (micro-)	10⁶ = 1 000 000	M (méga-)
etc.	etc.	etc.	etc.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière positive n est un chiffre 1 suivi de n zéros.

Le nombre 10 élevé à une puissance entière négative -n est un 1 positionné à la n ^e position dans un nombre décimal, i. e. précédé de n zéros en comptant celui avant la virgule.

On utilise souvent les puissances multiples de 3, qui correspondent aux préfixes du dispositif international :

**Table des puissances de dix multiples de trois**
Puissance de dix négatives	Préfixe SI	Puissance de dix positives	Préfixe SI
10⁻³ = 0, 001 un millième	m (milli-)	10³ = 1 000 mille	k (kilo-)
10⁻⁶ = 0, 000 001 un millionième	µ (micro-)	10⁶ = 1 000 000 un million	M (méga-)
10⁻⁹ = 0, 000 000 001 un milliardième	n (nano-)	10⁹ = 1 000 000 000 un milliard	G (giga-)
10⁻¹² = 0, 000 000 000 001 un millième de milliardième	p (pico-)	10¹² = 1 000 000 000 000 mille milliard ou un billion (anglicisme)	T (téra-)
etc.	etc.	etc.	etc.

Si la virgule signale la position des unités dans l'écriture d'un nombre décimal, multiplier par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la droite et diviser par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la gauche. Par conséquent multiplier par 10ⁿ pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite ; diviser par 10ⁿ pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche. Ainsi,

325, 72 × 10 = 3 257, 2
325, 72/10 = 32, 572
325, 72 × 10⁵ = 32 572 000
325, 72/10⁵ = 0, 003 257 2

Il faut savoir que ce sont la base des théories pour faire l'ensemble des calculs ensuite.

Les propriétés énoncées sur les puissances de a restent valables pour les puissances de 10.

L'utilisation des puissances de 10 intervient :

dans l'écriture explicite en base 10 :

325, 72 = 3·10² + 2·10¹ + 5·10⁰ + 7·10⁻¹ + 2·10⁻² ;

dans l'écriture scientifique des nombres décimaux :

325, 72 est noté 3, 257 2 × 10²

où le nombre est écrit comme le produit d'un nombre, nommé mantisse, compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10), avec une puissance entière de 10 nommée exposant ;

et dans la notation ingénieur :

325, 72 est noté 325, 72

32 572 est noté 32, 572 × 10³

où le nombre est écrit comme produit d'un nombre compris entre 1 et 999 compris, avec une puissance de 10 dont l'exposant est un multiple de 3.

Exponentielle

Les puissances entières sont en fait des cas spécifiques de la fonction exponentielle :

a b = exp (b ln a)

, définie pour tout réel a > 0.

À partir de la fonction exponentielle, on peut définir :

des puissances fractionnaires : $xˆ{1/n} = \sqrt[n]{x}$ , où n est un entier, qui coïncident avec les racines n^es pour tout x > 0. Voir racine carrée, racine cubique et racine d'un nombre ;
des puissances réelles : x^y peut être défini pour y réel et tout x > 0.

Ces puissances fractionnaires et réelles répondent aux même règles que les puissances entières. Surtout, pour tous a > 0, b et c réels quelconques :

$aˆb \times aˆc = aˆ{b+c}$ ;
$(aˆb)ˆc = aˆ{b \times c}$ .

On a surtout :

$aˆ{-1/b} = \dfrac{1}{\sqrt[b]{a}}$ , pour tout entier b ;
$\sqrt[c]{aˆb} = aˆ{b/c}$ , si c est entier ;
$(aˆb)ˆ{1/b} = (aˆ{1/b})ˆb = \sqrt[b]{aˆb} = \left ( \sqrt[b]{a} \right )ˆb = aˆ{b/b} = a$ si b ≠ 0.

Voir aussi

Fonction puissance

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