Produit tensoriel
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On nomme produit tensoriel, ou produit de Kronecker, le produit de chaque composante d'un tenseur par chaque composante d'un autre tenseur. Le produit d'un tenseur d'ordre p avec un tenseur d'ordre q est un tenseur d'ordre p + q (si le produit n'est pas contracté).
Le produit tensoriel n'est pas commutatif mais pseudo-commutatif.
Produit tensoriel
Les exemples ci-dessous emploient la convention de sommation d'Einstein.
Avec cette convention, on n'écrit pas les sommations qui deviennent particulièrement vite lourdes à traîner. On somme les indices répétés deux fois de la quantité appropriée.
Attention, les formules des produits tensoriels en termes de composantes ne sont valables que si les tenseurs sont exprimés comparé à une base orthonormée.
Les formules des produits tensoriels en termes de composantes fonctionnent toujours sur des tenseurs d'ordre 1 formant une base car une base quelconque est toujours exprimée en fonction d'une base orthonormée.
Produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre 1 (vecteurs)
En termes de composantes :
En termes tensoriel :
On remarque qu'on peut exprimer ce produit tensoriel par un produit matriciel :
Produit tensoriel de deux tenseurs d'ordre 2 (matrices)
En termes tensoriel :
En termes de composantes :
Produit tensoriel d'un tenseur d'ordre p et d'un tenseur d'ordre q
En termes de composantes :
En termes tensoriel :
Produit tensoriel contracté
Produit tensoriel contracté une fois
On définit aussi le produit tensoriel contracté une fois comme ceci.
Le symbole est nommé le delta de Kronecker
En termes de composantes :
On procède de la même manière pour des tenseurs d'ordre différent.
Produit tensoriel contracté deux fois
On peut aussi effectuer un produit tensoriel contracté 2, 3, 4..., n fois. Ici, un exemple pour un produit contracté 2 fois entre un tenseur d'ordre 3 et un d'ordre 2.
Attention, Ejk n'est pas nécessairement égal à Ekj mais ici il y a sommation sur les indices j et k, l'ordre des indices n'importe par conséquent pas.
En termes de composantes :
Ici le résultat est un tenseur d'ordre 1 c'est-à-dire un vecteur. L'ordre du tenseur se calcule comme suit : O = P + Q − 2 (n) Où O est l'ordre du nouveau tenseur, P et Q ceux du premier et deuxième tenseur tandis que (n) est le nombre de fois que le produit est contracté.
On utilise aussi pour le produit contracté la notation suivante : un point entre les tenseurs, comme pour le produit scalaire classique Pour les produits contractés multiples, on note l'opération avec des points juxtaposés (autant de point que de contraction dans le produit). Ainsi, le double-produit contracté se note
.
Produit tensoriel contracté n fois d'un tenseur d'ordre p et d'un tenseur d'ordre q
En termes de composantes :
En termes tensoriel :
Voir aussi
- tenseur
- espace tensoriel
- produit tensoriel de deux modules
- produit extérieur
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