Produit de convolution

En mathématiques, le produit de convolution de deux fonctions f et g, qui se note le plus souvent «», est une autre fonction, obtenue avec un calcul d'intégrales, et généralisant l'idée de moyenne glissante.



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Théorie de l'intégration - Analyse harmonique - Opération

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En mathématiques, le produit de convolution de deux fonctions f et g, qui se note le plus souvent «f\ast g», est une autre fonction, obtenue avec un calcul d'intégrales, et généralisant l'idée de moyenne glissante. En statistique, on utilise une formule particulièrement voisine pour définir la corrélation croisée.

Définition du produit de convolution

Le produit de convolution de deux fonctions réelles ou complexes f et g, est une autre fonction, qui se note le plus souvent «f\ast g» et qui est définie par :

 (f\ast g) (x) = \int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(x-t) \cdot g(t) \cdot dt = \int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(t) \cdot g(x-t) \cdot dt,

ou encore, pour des suites (on dit qu'on a discrétisé le calcul, on peut parler d'utilisation de la mesure de comptage)  :

(f \ast g)(n) = \sum_{m=-\infty}ˆ{\infty} {f(n - m)\cdot g(m)} \, = \sum_{m=-\infty}ˆ{\infty} {f(m)\cdot g(n - m)}.

(mais dans ce qui suit, nous n'utiliserons que la version "continue").

On considère généralement cette formule comme une généralisation de l'idée de moyenne mobile.

Pour que cette définition ait un sens, il faut que f et g satisfassent certaines hypothèses ; par exemple, si ces deux fonctions sont intégrables au sens de Lebesgue (c'est-à-dire que l'intégrale de leur module est finie), leur produit de convolution est défini pour presque tout x et est lui-même intégrable.

Propriétés du produit de convolution

 (f\ast g) (x)  
\stackrel{\mathrm {def.}}{=} \int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(x-t) \cdot g(t) \, dt 
= \int_{+\infty}ˆ{-\infty} f(T) \cdot g(x-T) \, d(x-T) 
= \int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(T) \cdot g(x-T) \, dT \;
\stackrel{\mathrm {def.}}{=}  (g\ast f) (x)

T = xt, soit t = xT.

(f\ast (g+h)) (x) 
\stackrel{\mathrm {def.}}{=}  \int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(x-t) \cdot (g(t)+h(t)) \, dt 
= \int_{-\infty}ˆ{+\infty} [f(x-t) \cdot g(t)+ f(x-t) \cdot h(t)] \, dt

 = \int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(x-t) \cdot g(t) \, dt + \int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(x-t) \cdot h(t) \, dt 
\stackrel{\mathrm {def.}}{=} (f\ast g)(x) + (f\ast h) (x)

 ((f\ast g)\ast h) (y)  
\stackrel{\mathrm {def.}}{=} \int_{-\infty}ˆ{+\infty}\left(\int_{-\infty}ˆ{+\infty} f((y-x)-t) \cdot g(t) \, dt\right)\cdot h(x)\, dx

= \int_{-\infty}ˆ{+\infty}\int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(y-T) \cdot g(T-x)\cdot h(x) \, dx\, dT
= \int_{-\infty}ˆ{+\infty}f(y-T) \cdot\left(\int_{-\infty}ˆ{+\infty}  g(T-x)\cdot h(x) \, dx\right)\, dT
\stackrel{\mathrm {def.}}{=}  (f\ast(g\ast h)) (y).

T = x + t, soit t = Tx, et dt = dT.

Cet ensemble de fonctions, pourvu de l'addition et du produit de convolution, forme par conséquent un anneau non unitaire : l'élément unité δ devrait vérifier (pour tout x et toute fonction f)  f(x) =\int_{-\infty}ˆ{+\infty} f(t) \cdot \delta(x-t) \, dt  ; et on vérifie facilement que ce n'est envisageable que si δ est la fonction de Dirac... qui n'est pas une fonction. De fait, le cadre naturel pour de bonnes généralisations du produit de convolution est celui de la théorie des distributions, mais il n'est pas abordé dans cet article.

\int_{-\infty}ˆ{+\infty}(f\ast g)(t)\,dt=\left(\int_{-\infty}ˆ{+\infty}f(t)\,dt\right)\cdot\left(\int_{-\infty}ˆ{+\infty}g(t)\,dt\right)

 f\ast g = \mathcal{F}ˆ{-1}\left(\mathcal{F}(f)\cdot\mathcal{F}(g)\right)

\mathcal{F} sert à désigner la transformation de Fourier et \mathcal{F}ˆ{-1} la transformation de Fourier inverse. Plus exactement, la transformée de Fourier est par conséquent un isomorphisme de l'anneau précédent vers l'anneau des mêmes fonctions, pourvu de l'addition et de la multiplication usuelles, aux réserves précédentes près ; par exemple, on en déduirait que la transformée de Fourier inverse de la fonction constante u : x\mapsto 1 devrait être la fonction de Dirac ; c'est bien entendu absurde, mais cela s'explique en remarquant que u n'est intégrable sur R en aucun sens envisageable.

L'intérêt principal du calcul du produit de convolution par transformées de Fourier est que ces opérations sont moins coûteuses en temps pour un ordinateur que le calcul direct de l'intégrale.


Convolucion Funcion Pi.gif

Utilisation du produit de convolution

 s(t)=e(t)\ast h(t) (produit de convolution) et S = E. H (produit simple de deux fonctions)

où, et sont les transformées de Fourier des fonctions du temps e (t), s (t) et h (t).

 \mu\ast\nu(A)=\int_{\mathbb{R}ˆ2}\ 1_A(x+y)\, \mu(dx)\,\nu(dy).
L'intégrale d'une fonction comparé à la mesure est donnée par
 \int_{\mathbb{R}}\ \phi(s)\, (\mu\ast\nu)(ds)\ =\ \int_{\mathbb{R}ˆ2}\ \phi(x+y)\, \mu(dx)\,\nu(dy).
Le produit de convolution est la mesure image par la fonction φ, définie sur par φ (x, y) =x+y, de la mesure produit Surtout, si et ont l'ensemble des deux des densités, respectivement et comparé à la mesure de Lebesgue, alors a aussi une densité comparé à la mesure de Lebesgue, et une de ses densités est

Approche vulgarisée

La manière la plus simple de se représenter le produit de convolution consiste à considérer la Fonction δ de Dirac δa (x)  ; cette fonction vaut 0 si x ≠ a et son intégrale vaut 1. Ceci peut sembler à première vue bizarre, on peut l'imaginer comme la limite d'une suite de fonctions, des courbes en cloche ou des rectangles ayant toutes la même surface 1, mais de plus en plus fines (donc de plus en plus hautes)  ; quand la largeur des courbes tend vers 0, sa hauteur tend vers +∞, mais la surface reste égale à 1. Pour des raisons pratiques, on représente fréquemment le dirac comme un bâton positionné en a et de hauteur 1.

dirac : limite d'une suite de fonctions
Dirac : limite d'une suite de fonctions

Du fait de sa forme, on nomme aussi quelquefois un dirac «fonction impulsion». Le produit de convolution par un dirac δa correspond à une translation de la fonction d'origine d'une valeur de a

f \ast \delta_a(x) = f(x-a)

produit de convolution d'une fonction par un dirac
Produit de convolution d'une fonction par un dirac

On voit que δ0 laisse invariant une fonction, c'est l'élément neutre du produit de convolution

f\ast\delta_0(x) = f(x-0)

Si on considère désormais le produit de convolution par une somme pondérée de deux diracs (α. δa + β. δb), on obtient la superposition de deux courbes dilatées.

produit de convolution d'une fonction par une somme pondérée de deux diracs
Produit de convolution d'une fonction par une somme pondérée de deux diracs

Considérons désormais une fonction porte Pa, b ; c'est une fonction qui vaut 1/ (b-a) entre a et b, et 0 ailleurs (son intégrale vaut 1). Cette fonction peut être vue comme une succession de diracs. La convolution de f par Pa, b va par conséquent s'obtenir en faisant glisser f sur l'intervalle [a;b]. On obtient un «élargissement» de f.

produit de convolution d'une fonction par une fonction porte
Produit de convolution d'une fonction par une fonction porte

Si on considère désormais une fonction quelconque g, on peut voir g comme une succession de diracs pondérés par la valeur de g au point reconnu. Le produit de convolution de f par g s'obtient par conséquent en faisant glisser la fonction f et en la dilatant selon la valeur de g.

produit de convolution d'une fonction par une fonction quelconque
Produit de convolution d'une fonction par une fonction quelconque

Le produit de convolution et le filtrage

Le produit de convolution est lié à la notion de filtrage sous deux conditions, à savoir la linéarité et l'indépendance du filtre vis à vis du temps (système invariant). A partir de ces deux conditions, l'opérateur de convolution peut être construit. La convolution correspond à la réponse du filtre à une entrée donnée (notée e (t) ). Le filtre est entièrement caractérisé par sa réponse impulsionnelle h (t) . Mise en équation, la réponse du filtre est s(t)= h(t)\ast e(t).

La construction de l'opérateur de convolution s'élabore de la manière suivante. Dans un premier temps, on s'intéresse aux deux conditions imposées sur le filtre. On note f (e) le filtrage réalisé par le filtre sur l'entrée e. La linéarité du filtre implique que :

fe) = λf (e)

f (e1 + e2) = f (e1) + f (e2)

On peut noter que la réponse du filtre à un signal nul est nulle. L'indépendance du temps se résume par :

f (ed) = (f (e) ) d

ed est le signal e retardé de la quantité d.


A partir de là, on peut construire la réponse du filtre linéaire et indépendant du temps à l'entrée e (t) . En effet, comme le filtre est linéaire, on peut décomposer le signal e (t) en parties indépendantes, avec un ensemble de signaux ei avec des supports disjoints compacts de telle sorte que e (t) = Σiei (t) . On injecte chaque partie du signal dans le filtre puis on somme les différentes réponses. Ainsi le filtrage donnera : f (e) = Σif (ei) . Cette décomposition temporelle de e (t) peut s'effectuer de manière récursive sur les signaux ei (t) . A la fin, on obtient une suite de signaux dont le support se résume à un point. Ces signaux, élémentaires parce que non décomposables temporellement, correspondent chacun d'entre eux à la distribution de dirac δ (t − τ) centrée en τ avec une amplitude e (τ) , l'impulsion s'écrit δ (t − τ). e (τ) . Il suffit de sommer l'ensemble des impulsions suivant la variable τ pour obtenir le signal e (t)  :

e(t)=\int \delta(t-\tau)à\tau) d\tau

On applique l'opération de filtrage sur e (t) . Comme le filtre est linéaire et indépendant du temps, nous avons :

f(e) = \int f(\delta(t-\tau)à\tau)) d\tau

 = \int e(\tau)ð\delta(t-\tau)) d\tau\ \ (linéarité)
 = \int e(\tau)\circ\delta)(t-\tau) d\tau\ \ (indépendance du temps)

La réponse du filtre f à l'impulsion δ (t) est appelée la réponse impulsionnelle du filtre h (t) . Finalement on a :

f(e) = \int e(\tau).h(t-\tau) d\tau

qui n'est qu'autre que le produit de convolution.

En conclusion : si le filtre est linéaire et indépendant du temps, alors il est entièrement caractérisé par sa réponse h (t) et la réponse du filtre à l'entrée e (t) est donnée par l'opérateur de convolution.


Autre conclusion principale des filtres linéaires et indépendants du temps : si on entre un signal e(t)=eˆ{2\pi\jmath f t}, le signal de sortie sera :

s(t) = \int eˆ{2\pi\jmath f \tau} h(t-\tau) d\tau = \int eˆ{2\pi\jmath f (t-\tau)} h(\tau) d\tau

s(t) = eˆ{2\pi\jmath f t}\int eˆ{-2\pi\jmath f \tau} h(\tau) d\tau

s(t) = eˆ{2\pi\jmath f t} H(f)

s (t) sera aussi un signal de la forme eˆ{2\pi\jmath f t} au facteur H (f) près. Ce facteur n'est autre que la transformée de Fourier de h (t) .

Notes et références

tome 2, page 463 et suivantes (théorème de convolution)

Bibliographie

Liens externes

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