Primitive

En mathématiques, une primitive d'une fonction f d'une variable réelle définie sur un intervalle I est une fonction F définie et dérivable sur I dont la dérivée est f, c'est à dire telle que ...



Catégories :

Primitive - Analyse réelle

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Rappel : Les primitives d'une fonction sont définies à une constante près. Fonction f (x) = Primitive F (x) = Intervalle. 0 k, k ∈\... (source : mathscyr.free)
Cet article est membre de la série
Primitives de fonctions
Rationnelles
Logarithmes
Exponentielles
Irrationnelles
Trigonométriques
Hyperboliques
Circulaires réciproques
Hyperboliques réciproques

En mathématiques, une primitive (ou, rarement, antidérivée – de l'anglais antiderivative) d'une fonction f d'une variable réelle définie sur un intervalle I est une fonction F définie et dérivable sur I dont la dérivée est f, c'est à dire telle que :

\forall x \in I,\quad F\,'(x) = f(x).

Une condition suffisante pour qu'une fonction f admette des primitives sur un intervalle est qu'elle y soit continue.

Si f est une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I, alors pour tout réel k, une primitive de kf sur l'intervalle I est kF.

Si F et G sont des primitives respectives de deux fonctions f et g, alors une primitive de f + g est F + G.

Si une fonction f admet une primitive sur un intervalle, elle en admet une illimitété, qui changent d'une constante : si F1 et F2 sont deux primitives de f, alors il existe un réel k0 tel que F1 = F2 + k0.

Si F est une primitive de f, alors

F(b)-F(a) = \intˆb_a f(x)\;\mathrm dx.

Ceci est la seconde partie du théorème essentiel de l'analyse.

Exemples

Polynômes et fonctions rationnelles
Fonctions trigonométriques
Autres

Calcul automatique

Des logiciels comme Maxima, Maple ou Mathematica permettent depuis quelques années de calculer interactivement certaines primitives sous forme symbolique. Le premier logiciel permettant d'effectuer de l'intégration assistée par ordinateur sous forme symbolique était le langage FORMAC, utilisé par les physiciens dans les années 1970.

Primitives courantes

Article détaillé : table de primitives.

Pour le premier tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche les primitives, la seconde est son domaine de définition et la troisième, les primitives de cette fonction sur un intervalle inclus dans ce domaine.

Pour le second tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche les primitives et la seconde, les primitives de cette fonction sur un intervalle inclus dans son domaine.

(Sur une réunion d'intervalles disjoints, une primitive a la même expression, mais avec une constante C a priori différente pour chaque intervalle. )

Fonctions simples

C,a,\omega,\varphi désignent des constantes réelles, avec \omega\neq 0.

Tableau des primitives simples
f (x) DD F (x)
{0}\, \R {C}\,
xˆa, \forall\, a\in \R\backslash\{-1\} \Rˆ* si a\in\Z; \Rˆ*_+ sinon \frac {xˆ{a+1}}{a+1}+C
\frac {1}{x} \Rˆ* \ln|x|+C\,
\cos(\omega x+\varphi) \R \frac{1}{\omega} \sin(\omega x+\varphi)+C
\sin(\omega x+\varphi) \R -\frac{1}{\omega} \cos(\omega x+\varphi)+C
\frac {1}{\cosˆ2{x}} \R\backslash \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\right\} \tan {x}+C\,
-\frac {1}{\sinˆ2{x}} \, \R\backslash \left\{k\pi,k\in\Z\right\} \operatorname{cotan}\,{x}+C\,
eˆx\, \R eˆx+C\,
\ln {x}\, \Rˆ*_+ x\ln {x} - x + C\,
 \tan x = \frac{\sin {x}}{\cos {x}} \R\backslash \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\Z\right\} -\ln \ |\cos {x} |+C\,
 \sin x \times \cos x \R  -\frac{1}{2} \times \cosˆ2{x} +C

Noter que ce tableau inclut les primitives de xa non seulement pour a\in\N (entier naturel), ce qui sert à trouver celles des polynômes, mais également pour a\in\Z (entier relatif), par exemple \frac 1{xˆ2}=xˆ{-2}, et même pour a réel non entier, par exemple \sqrt x=xˆ\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt x}=xˆ{-\frac{1}{2}}.

Fonctions composées

Soient u et v deux fonctions.

Tableau des primitives composées
f (x) F (x)
\lambda uˆ\prime \lambda\ u + C
uˆ\prime + vˆ\prime u + v + C
(vˆ\prime\circ u) \times (uˆ\prime) (v\circ u)+C
(uˆa)\times(uˆ\prime), \forall\,a\in \R\backslash\{-1\} \frac {uˆ{a+1}}{a+1}+C
\frac{uˆ\prime}{u} ln | u | + C
\sin u \times uˆ\prime
 - \cos\,{u} +C
eˆu \times uˆ\prime eˆ{u}+C\,

Voir aussi

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Primitive.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu