Poser une division

En arithmétique, la division longue ou la méthode de la potence sont des algorithmes de division euclidienne d'un nombre entier a par un nombre entier b pour obtenir le quotient et le reste.



Catégories :

Algorithme - Divisibilité et factorisation - Arithmétique élémentaire - Mathématiques élémentaires

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Savoir poser une division plus classique... calcul mental 5e. Division euclidienne · Quotient, reste, quotient +1 ? que choisir pour répondre à un problème... (source : matoumatheux.ac-rennes)
  • Poser et effectuer une division avec un diviseur à un chiffre. Exemple... Je vais calculer le quotient et le reste de la division en trois étapes.... (source : maths)
  • Chaque enfant reçoit 4 bonbons, et il reste un qu'on ne peut pas partager.... Plus le diviseur est petit, plus le quotient est grand.... Il existe de nombreuses façons de poser une division, selon le pays ou les habitudes.... (source : fr.vikidia)

En arithmétique, la division longue ou la méthode de la potence sont des algorithmes de division euclidienne d'un nombre entier a (appelé le dividende) par un nombre entier b (appelé le diviseur) pour obtenir le quotient et le reste. Cette division est simple à effectuer, même pour de grands dividendes, car l'algorithme décompose un problème en de plus petits problèmes. Cependant, le procédé exige que divers nombres soient divisés par le diviseur : cela est simple avec des diviseurs à un seul chiffre, mais plus complexe avec de plus grands diviseurs. La présentation de cet algorithme se nomme poser la division.

Une généralisation de cette méthode est employée pour la division euclidienne des polynômes.

Principe

Le principe consiste à se ramener à des situations simples où le quotient ne comporte qu'un seul chiffre. Partant des poids les plus forts du dividende, on obtient successivement l'ensemble des chiffres du quotient.

Cas où le quotient ne comporte qu'un seul chiffre

C'est le cas quand a < 10b. Si on cherche à diviser l'entier a par l'entier b, on cherche le plus grand multiple de b inférieur ou égal à a. Si ce multiple est bq, le reste s'obtient en soustrayant bq à a.

Exemple : Division de 63 par 17 : le plus grand multiple de 17 inférieur à 63 est 51 (= 17 × 3). le reste est alors 63 - 51 = 12

Conclusion : 63 = 17 × 3 + 12

Cas où le quotient comporte plusieurs chiffres

On travaille alors par tranches, chaque tranche restant inférieure à 10b. Les différents quotients obtenus donnent alors les chiffres du quotient final.

Exemple : Division de 6359 par 17.

Étape 1 : on divise 63 par 17. Plus grand multiple 17 × 3 = 51. Reste = 63 - 51 = 12 par conséquent 63 = 17 × 3 + 12
En multipliant l'égalité précédente par 100 et en ajoutant 59, il vient
6359 = 17 × 300 + 1259
Étape 2 : il reste à utiliser la même méthode pour la division de 1259 par 17.
On divise 125 par 17. Plus grand multiple 17 × 7 = 119. Reste = 125 -119 = 6 par conséquent 125 = 17 × 7 + 6
En multipliant l'égalité précédente par 10 et en ajoutant 9, il vient
1259 = 17 × 70 + 69
Étape 3 : il reste à utiliser la même méthode pour la division de 69 par 17. Plus grand multiple 17 × 4 = 68. Reste = 69 - 68 = 1 par conséquent 69 = 17 × 4 + 1
Il suffit alors de remplacer 69 puis 1259 par leur nouvelle expression pour obtenir
1259 = 17 × 70 + 69 = 17 × 70 + 17 × 4 + 1
6359 = 17 × 300 + 1259 = 17 × 300 + 17 × 70 + 17 × 4 + 1
6359 = 17 × 374 + 1

Présentation du calcul

Ce principe étant mis en place, il a fallu trouver une présentation suffisamment concise et explicite sous forme d'un tableau. La mise en place d'une présentation synthétique s'est alors faite de plusieurs façons différentes suivant les époques et les pays. La position du diviseur, du quotient et du reste comparé au dividende pouvant fluctuer, les séparateurs pouvant être des parenthèses, des accolades ou des lignes, les calculs pouvant être plus ou moins détaillés. En 1684, on dénombrait en France au moins trois présentations : la méthode française, la méthode espagnole et la méthode italienne dans lesquelles le diviseur apparaissait à chaque étape du calcul. Les chiffres qui n'étaient plus utilisés étant barrés au fur et à mesure. Au début du XXIe siècle subsistent deux présentations : la méthode française (ou méthode de la potence) et la méthode anglaise (ou division longue)

Méthode de la potence

Le dividende est en haut à gauche. Le diviseur est en haut à droite. Le quotient se construit progressivement et se place sous le diviseur. Les restes successifs et les dividendes successifs se placent sous le premier dividende.

Méthode classique

Dans cette méthode, chaque multiple est calculé puis on trouve les restes grâce à la soustraction ainsi posée.

Exemple : Division de 6359 par 17.

Étape 1 : division de 63 par 17 et calcul du reste (quotient 3 reste 12)
6 3 5 9 17
- 5 1 3
1 2  
 
Étape 2 : division de 125 par 17 avec calcul du reste (quotient 7 reste 6)
6 3 5 9 17
- 5 1 37
1 2 5  
- 1 1 9  
    6  
Étape 3 : division de 69 par 17 et calcul du reste (quotient 4, reste 1)
6 3 5 9 17
- 5 1 374
1 2 5  
- 1 1 9  
    6 9  
- 6 8  
  1  
Conclusion : Dans la division de 6359 par 17 le quotient est 374 et le reste 1.

Variante courte

Si les soustractions sont faites de tête, la présentation est largement simplifiée :

6 3 5 9 17
1 2 3  
 
 
6 3 5 9 17
1 2 5 37 
6  
 
6 3 5 9 17
1 2 5 374
6 9  
1  

Variante laotienne

Cette variante laotienne[1] décompose le calcul de chaque reste en deux étapes dans le cas d'un diviseur à deux chiffres, en commençant par ôter les dizaines puis les unités. La présentation en est plus longue mais les calculs à effectuer de tête sont limités à des tables de multiplication. La méthode ainsi mise en place s'apparente alors fortement à l'algorithme de calcul de division sur boulier.

Exemple : division de 6359 par 17

6 3 5 9 17
- 3 374
3 3  
- 2 1  
1 2  
- 7  
5 5  
- 4 9  
  6  
- 4  
2 9  
- 2 8  
  1  

Division longue

Dans la division longue, le diviseur se place à gauche du dividende et le quotient au-dessus du dividende. Les différents restes et dividendes se placent sous le premier.

Exemple : division de 6359 par 17

Étape 1 : division de 63 par 17 (quotient 3 reste 12)
3
17 6 3 5 9
5 1
1 2
Étape 2 : division de 125 par 17 (quotient 7 reste 6)
3 7
17 6 3 5 9
5 1
1 2 5
1 1 9
    6
Étape 3 : division de 69 par 17 (quotient 4 reste 1)
3 7 4
17 6 3 5 9
5 1
1 2 5
1 1 9
    6 9
  6 8
    1

Généralisation

En arithmétique

Cette méthode peut se généraliser à d'autres bases que la base 10 et se présentera sous la même forme.

Elle peut aussi se généraliser à des dividendes décimaux, le passage de la virgule au dividende induit la naissance de la virgule au quotient.

Exemple : division de 63, 59 par 17 par la méthode de la potence.

6 3 , 5 9 17
1 2 3  
 
 
6 3 , 5 9 17
1 2 , 5 3, 7 
6  
 
6 3 , 5 9 17
1 2 , 5 3, 74
6 9  
1  

Le même algorithme sert à prolonger la division au-delà de la virgule et d'apporter une valeur approchée du quotient avec tout autant de décimales qu'on souhaite. La présentation sous la forme de la division longue est alors plus pratique car elle laisse à droite tout autant d'espace qu'on le souhaite.

Exemple : valeur approchée de 63/17 au millième par la division longue.

  3 , 7 0 5
17 6 3 , 0 0 0
1 2 , 0
  1 0
  1 0 0
  1 5

Division de polynômes

Division euclidienne

Un même algorithme s'applique à la division euclidienne de polynômes.

Exemple : division de x4 - x 3 + x2 - x + 8 par x2 + 3x + 1

Étape 1 : division de x4 - x 3 + x2 par x2 + 3x + 1 (quotient x2, reste - 4x3)
x4 - x 3 + x2 - x + 8 x2 + 3x + 1
x4 + 3x3 + x2 x2
  - 4x3    
Étape 2 : division de -4x3 - x par x2 + 3x + 1 (quotient -4x, reste 12x2 + 3x)
x4 - x 3 + x2 - x + 8 x2 + 3x + 1
x4 + 3x3 + x2 x2 - 4x
  - 4x3   - x  
-4x3 - 12x2 -4x  
  + 12x2 + 3x  
Étape 3 : division de 12x2 - 3x + 8 par x2 + 3x + 1 (quotient 12, reste -33x - 4)
x4 - x 3 + x2 - x + 8 x2 + 3x + 1
x4 + 3x3 + x2 x2 - 4x + 12
  - 4x3   - x  
-4x3 - 12x2 -4x  
  + 12x2 + 3x + 8  
12x2 + 36x +12  
  - 33x - 4  
Conclusion : x4 - x 3 + x2 - x + 8 = (x2 + 3x + 1) (x2 - 4x + 12) - 33x - 4

Division suivant les puissances croissantes

Une même présentation est parfois utilisée pour effectuer la division d'un polynôme par un autre suivant les puisances croissantes

Exemple : division de 2 - 5x + x2 par 1 + 2x

Étape 1 : division de 2 - 5x par 1 + 2x (quotient 2, reste - 9x)
2 - 5x + x2 1 + 2x
2 + 4x 2
  - x  
Étape 2 : division de -9x + x2 par 1 + 2x (quotient - 9x, reste 19x2)
2 - 5x + x2 1 + 2x
2 + 4x 2 - 9x
  - 9x + x2  
- 9x - 18x2  
  + 19x2  
Conclusion : 2 - 5x + x2 = (1 + 2x) (2 - 9x) + 19x2

Notes et références

  1. Marie-Alix Girodet, L'Influence des cultures sur les pratiques quotidiennes de calcul, 1996, Didier, coll. CRÉDIF Essais, p. 7. (ISBN 978-2278-04579-2)

Annexes

Lien externe

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Poser_une_division.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu