Polynôme formel

En algèbre, le terme de polynôme formel, ou simplement polynôme, est le nom générique donné aux éléments d'une structure construite à partir d'un ensemble de nombres.



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Polynôme

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  • Polynome formel : une série formelle a0+a1. x+a2. x2+.. où seul un nombre fini d'ai sont non nuls est nommé polynome formel. • Degré d'un polynome : le ... (source : u-picardie)
  • On nomme polynôme à cœfficients dans K (ou polynôme formel à cœfficients dans K, s'il peut y avoir confusion avec une fonction polynôme), ... (source : ann.jussieu)

En algèbre, le terme de polynôme formel, ou simplement polynôme, est le nom générique donné aux éléments d'une structure construite à partir d'un ensemble de nombres. On considère un ensemble A de nombres, qui peut être celui des entiers ou des réels, et on lui adjoint un élément X, nommé indéterminée. La structure est constituée par les nombres, le polynôme X, les puissances de X multipliées par un nombre, aussi nommés monômes (de la forme aXn), mais aussi les sommes de monômes. La structure est le plus souvent notée A[X]. Les règles de notation de l'addition et de la multiplication ne sont pas modifiées dans la nouvelle structure, ainsi X + X est noté 2. X, ou encore X. X est noté X2. Des exemples de polynômes formels sont :

Xˆ2 + 2X + 1,\quad 3Xˆ3 + 4X + 5

La totalité A, utilisé pour bâtir la structure A[X], peut être composé de nombres, mais ce n'est pas indispensable. On lui demande uniquement de supporter deux opérations, l'addition et la multiplication. Si ces deux opérations possèdent certaines propriétés comme l'associativité, la commutativité et la distributivité de la multiplication sur l'addition, on dit que A est un anneau commutatif. On lui demande fréquemment de posséder un élément neutre pour la multiplication. Seul ce cas est traité dans cet article. Quelquefois, A possède des propriétés toujours plus fortes, comme par exemple d'être un corps, ce qui veut dire que tout élément différent de 0 est inversible pour la multiplication, à l'image des rationnels ou des réels. Dans ce cas, en plus de l'addition et de la multiplication, la structure A[X] possède une division euclidienne, à l'image de l'anneau des entiers et il devient envisageable d'utiliser les techniques de l'arithmétique élémentaire pour travailler sur les polynômes formels. L'identité de Bézout s'applique, comme le lemme d'Euclide ou le théorème essentiel de l'arithmétique. Il existe un équivalent des nombres premiers constitué par les polynômes unitaires irréductibles. Quelle que soit la nature de l'anneau commutatif et unitaire A, la structure A[X] possède au moins les caractéristiques d'un anneau commutatif. On parle d'anneau des polynômes formels.

Le polynôme formel est un des outils à la base de l'algèbre. Originellement, il était utilisé pour résoudre des équations dites algébriques. Résoudre l'équation algébrique revient à répondre à la question : par quelle valeur doit-on remplacer X pour que l'expression obtenue soit égale à 0 ? Une solution est nommée racine du polynôme. Le polynôme formel est désormais utilisé dans de vastes théories comme la théorie de Galois ou la géométrie algébrique et qui dépassent le cadre de la théorie des équations.

De même que l'anneau A peut être étendu à une structure plus vaste A[X], l'anneau des polynômes à une indéterminée peut toujours être étendu, soit par un anneau à plusieurs indéterminées, soit par le corps des fractions rationnelles, soit par l'anneau des séries formelles.

Dans toute la suite de l'article, A sert à désigner un anneau commutatif unitaire et intègre, K un corps commutatif, Z l'anneau des nombres entiers, R le corps des nombres réels et C celui des nombres complexes.

Préambule

Approche intuitive

Une manière simple de concevoir un polynôme formel est d'ajouter une lettre X, à un ensemble de nombres comme Z, ou R. Cette lettre ne possède aucune relation algébrique avec les nombres, les seules choses qu'on peut écrire sont des égalités comme X + X = 2. X, ou encore X. X = X2. Sur la totalité obtenu, on souhaite que l'addition et la multiplication disposent des mêmes propriétés que celles qu'elles avaient dans la totalité de nombres et qui sont formalisées sous le nom d'anneau. Les identités remarquables sont toujours vérifiées, ainsi, si a sert à désigner un nombre quelconque :

(X + a)ˆ2 = (X + a)(X + a)= X(X+a) + a(X+a)=Xˆ2 + aX + aX + aˆ2 = Xˆ2 + 2aX + aˆ2\;

Un polynôme formel est une expression comportant un nombre fini de termes, tous composés de la même manière, le produit d'un nombre et d'une puissance de X. Un tel terme est nommé un monôme, le nombre le cœfficient du monôme et la puissance de X le degré du monôme. Le polynôme 5X2 + 3X + 4, contient un monôme de degré 2 et de cœfficient 5. Dans le cas général, un polynôme formel P quelconque prend la forme suivante, si ai sert à désigner un nombre et i est un entier variant de 0 à n :

P = a_nXˆn + a_{n-1}Xˆ{n-1}+\cdots + a_1X + a_0

Les additions se font comme pour les nombres usuels, ainsi aXn + bXn est égal à (a + b) Xn. La multiplication suit aussi les mêmes règles, auxquelles on ajoute la loi : Xn. Xm = Xn+m qui implique que (Xn) m = Xm. n, si n et m désignent deux entiers positifs.

Fragments d'histoire

Article détaillé : Histoire des polynômes.

L'idée d'ajouter une lettre à un ensemble de nombres pour résoudre une question qui se formalise sous la forme d'une équation est ancienne. On la trouve chez Diophante dès le IIIe siècle, il donne à la lettre S le même sens que notre X dans son pré-langage symbolique[1] et l'a qualifie de quantité indéterminée d'unités. Il définit[2] ensuite les mécanismes opératoires de l'addition et de la multiplication d'une expression contenant sa lettre S. Sa motivation est la recherche de solutions d'équations dites diophantiennes où les cœfficients mais aussi les solutions recherchées sont des nombres entiers ou rationnels[3]. Cette idée est reprise par les mathématiciens arabes qui généralisent l'étude aux cas où les solutions ne sont pas rationnelles[4]. L'indéterminée chez eux prend le nom de say' et veut dire la chose qu'on recherche. On leur doit la lettre X provenant du mot gizr' et qui veut dire racine, le nom désormais donné à une solution de l'équation polynomiale. Certaines méthodes[5] sont développées, comme la dérivation formelle d'un polynôme dès le XIIe siècle

Cette formulation est reprise par François Viète, un mathématicien du XVIe siècle qui invente le terme de polynôme[6] et qui l'étudie toujours sous l'angle de l'équation. Un siècle plus tard, le formalisme du polynôme est modifié, le polynôme n'est plus une expression à laquelle on a ajouté une lettre X, qui se comporte comme un nombre; mais une fonction, qui à un nombre associe un nombre, ce qu'on nomme désormais une fonction polynôme, concept différent de celui du polynôme formel. Au XIXe siècle, l'obligation du polynôme formel réapparaît. Dans son ouvrage Disquisitiones arithmeticæ, Carl Friedrich Gauss factorise le polynôme cyclotomique pour trouver un nouveau polygone régulier constructible à la règle et au compas. Il utilise des polynômes à cœfficients dans des corps finis, nécessitant impérativement le concept de polynôme formel[7], remis ainsi à l'honneur.

Jusque dans les années 1940, le formalisme change peu, le terme d'indéterminée sert à désigner toujours la lettre X ajouté à un ensemble de nombre et , si les notations ont évolué, le formalisme reste celui élaboré par Viète. Maintenant, différentes constructions permettent de définir l'indéterminée comme un véritable objet mathématique et non plus comme une lettre, les polynômes sont fabriqués rigoureusement. Durant l'époque charnière, Claude Chevalley écrit dans un texte préparatoire à la première édition du chapitre II Éléments de mathématique de Bourbaki de 1942 : «On dit fréquemment qu'on a introduit n "lettres" X1... Xn, il est alors tacitement admis que ces lettres sont des symboles pour des éléments d'une certaine algèbre.»[8]. Maintenant, le terme indéterminée ne sert à désigner plus que rarement la lettre qui le symbolise, mais l'élément lui-même, même si les constructions fluctuent[9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17].

Anneau des polynômes

Écriture d'un polynôme

Article détaillé : Construction de l'anneau des polynômes.

Pour construire rigoureusement l'anneau des polynômes A[X], il faut définir «le polynôme X nommé indéterminée»[18], cette partie est traité dans l'article détaillé. Pour écrire un polynôme sous sa forme générale, il faut disposer d'un nombre fini d'éléments de A, par exemple a0, a1, a2, ..., ak, ..., an, tel que an est différent de 0. On peut écrire le polynôme P sous les deux formes suivantes :

 P = a_0 + a_1X + a_2Xˆ2 + \cdots + a_kXˆk + a_nXˆn = \sum_{k=0}ˆn a_k Xˆk

Egalité de deux polynômes — Deux polynômes sont égaux si, et uniquement si, la suite de leurs cœfficients sont égaux. Surtout un polynôme est nul si, et uniquement si, la suite de ses cœfficients est nulle[19].

Un monôme est un terme de la forme a. Xp, constitutif du polynôme, a est nommé le cœfficient du monôme et p son degré. Le plus grand degré des monômes à cœfficients non nuls, ici n, est nommé le degré du polynôme, sauf si le polynôme est nul, on dit tandis que son degré est moins l'infini. Le plus petit degré des monômes à cœfficient non nuls est nommé la valuation du polynôme, sauf si le polynôme est nul, on dit tandis que sa valuation est plus l'infini[20].

Opération sur les polynômes

Article détaillé : Construction de l'anneau des polynômes.

La totalité des polynômes A[X] est comparable à bien des égards à celui des entiers. Les deux ensembles sont équipés de deux opérations : l'addition et la multiplication et ces opérations vérifient des propriétés regroupées sous le nom d'axiomes et définissant une structure dite d'anneau. L'élément neutre de l'addition est le polynôme constant 0 et si A contient un élément neutre pour la multiplication, le plus souvent noté 1, l'élément neutre de A[X] pour la multiplication est le polynôme constant 1. L'expression polynôme constant veut dire qu'il s'exprime seulement avec une constante et sans monôme de degré strictement supérieur à 0.

L'ressemblance va plus loin M. Delord remarque[21] que l'écriture décimale positionnelle du nombre 3021 s'écrit aussi 3.103 + 2.101 + 1. Cette écriture possède des ressemblances avec le polynôme 3X3 + 2X + 1. La valeur 10 a été remplacée par l'indéterminée. Cette ressemblance est flagrante si on cherche à additionner 3021 avec 21. Les cœfficients des différentes puissances de 10 s'additionnent entre eux comme les cœfficients des puissances de l'indéterminée. Dans un cas on trouve 3.103 + 4.101 + 2 et dans l'autre 3X3 + 4X + 2. Une multiplication des deux nombres et des deux polynômes donnent toujours des résultats identiques :

6\cdot 10ˆ4 + 3\cdot10ˆ3 + 4\cdot 10ˆ2 + 4\cdot 10 + 1\quad\text{et}\quad 6Xˆ4+3Xˆ3+4Xˆ2 + 4X + 1

L'ressemblance n'est pas totale, sa limite apparaît si une retenue se présente dans les opérations. Les mécanismes de retenues dans l'addition et la multiplication des entiers en dispositif décimal ne sont pas les mêmes que pour les polynômes.

La somme de deux monômes de même degré est un monôme de même degré et de cœfficients la somme de deux cœfficients :

(1 + 2X + 3Xˆ2) + (3X + 4Xˆ2 + 5Xˆ3) = 1 + 5X + 7Xˆ2 + 5Xˆ3,\quad \sum_{k=0}ˆn a_k Xˆk + \sum_{k=0}ˆn b_k Xˆk = \sum_{k=0}ˆn (a_k + b_k) Xˆk

La multiplication est légèrement plus complexe, elle s'appuie sur la règle, si n et m sont deux entiers positifs : Xn. Xm = Xn+m. On peut prendre un exemple, issu d'une identité remarquable :

(X + 3)ˆ2 = (X + 3)(X + 3)= X(X + 3) + 3(X + 3)= Xˆ2 + 3X + 3X + 9 = Xˆ2 + 6X + 9\;

Dans le cas général, on obtient :

\left(\sum_{i=0}ˆn a_iXˆi\right)\left(\sum_{j=0}ˆm b_jXˆj\right) = \sum_{k=0}ˆ{n+m} \left(\sum_{i+j = k}a_ib_j\right)Xˆ{k}

Le degré du produit de deux polynômes est la somme des degrés des deux polynômes. C'est pour que cette règle soit toujours vérifiée que le degré du polynôme nul est défini comme égal à moins l'infini. [22] Ces propriétés sont explicitées et démontrées dans l'article détaillé.

Division euclidienne

Article détaillé : Division d'un polynôme.

Si l'ensemble des éléments non nuls de l'anneau A sont inversibles comme pour Q, R ou C, on dit que A est un corps, noté ici K. La totalité des polynômes à cœfficients dans K est alors équipé d'une division :

Division euclidienne — Soit A et B deux polynômes à cœfficients dans un corps K. Si B est non nul, il existe un unique couple de polynômes (Q,  R) à cœfficients dans K tel que A soit égal à B. Q + R et que le degré de R soit strictement plus petit que celui de B.

Une autre division, nommée division selon les puissances croissantes, existe. Elle est développée dans l'article détaillé.

Arithmétique

Article détaillé : Arithmétique des polynômes.

La division euclidienne est à l'origine des résultats de l'arithmétique élémentaire sur les entiers. Elle sert à démontrer l'identité de Bézout, qui indique que si a et b n'ont pas de diviseurs communs autres que 1 et -1, il existe deux entiers p et q tel que ap + bq = 1. La division euclidienne sur les polynômes à cœfficients dans un corps commutatif montre l'équivalent :

Identité de Bézout pour les polynômes — Deux polynômes P et Q à cœfficients dans un corps K sont premiers entre eux si, et uniquement si, il existe deux polynômes A et B tels que :

A\cdot P + B\cdot Q = 1

Deux polynômes sont dit premiers entre eux quand les seuls diviseurs communs sont les polynômes constants non nuls. L'identité de Bézout sert à montrer le lemme d'Euclide, qui indique que si P est un polynôme irréductible qui divise un produit de polynômes A. B, il divise soit A, soit B. Enfin, dans l'univers des polynômes, l'équivalent des nombres premiers sont les polynômes irréductibles et unitaire, ce qui permet d'exprimer un équivalent du théorème essentiel de l'arithmétique :

Décomposition en facteurs premiers — Un polynôme non nul, à cœfficients dans K, se décompose de manière unique en un produit, composé d'un polynôme constant et d'un produit de polynômes unitaires irréductibles.

Les résultats sur les plus petits communs multiples et les plus grands communs diviseurs s'appliquent précisément comme pour les entiers.

S'il existe des cœfficients non nuls et non inversibles, l'arithmétique est légèrement différente, elle est traitée dans l'article détaillé.

Factorisation

Équation algébrique

La question à l'origine de la découverte du polynôme est celle de l'équation. Pendant près de 1.000 ans, cette question et les méthodes pour y parvenir représentaient la majeure partie de l'algèbre[23]. Si P est un polynôme à cœfficients dans le corps K, noté :

P = a_n Xˆn + a_{n-1}Xˆ{n-1} + \cdots + a_1X + a_0

La question revient à trouver les valeurs xi, nommées racines, telles que l'expression suivante soit nulle :

a_n x_iˆn + a_{n-1}x_iˆ{n-1} + \cdots + a_1x_i + a_0 = 0

Bien avant la formalisation moderne de la notion de fonction, on avait remarqué que remplacer l'indéterminée par une valeur donne le même résultat dans l'ensemble des expressions de P. Si k est un élément de K, fréquemment un nombre, il est envisageable de diviser P par le polynôme X - k. Le reste est un polynôme constant c, car de degré strictement inférieur à celui de X - k. On obtient une nouvelle expression de P, à savoir P = Q. (X - k)  + c.

Substituer la valeur k à l'indéterminée X donne le même résultat dans l'expression de droite et de gauche. Si c est non nul, k n'est pas racine car l'expression est égale à c. Par contre si c est nul, alors k est racine.

Racine et factorisation d'un polynôme — Soit P un polynôme à cœfficients dans le corps K, un nombre r est racine du polynôme P si, et uniquement si le polynôme X - r divise le polynôme P

Vue sous l'angle arithmétique, la recherche des racines d'un polynôme est équivalente à la recherche des facteurs du premier degré de P. Ces facteurs sont obligatoirement irréductibles, le produit de deux polynômes non constants n'est en effet jamais de degré 1, car le produit de deux polynômes est de degré la somme des degrés des deux polynômes. Résoudre une équation revient à trouver les facteurs irréductibles d'un type spécifique, ceux du premier degré. On retrouve un problème déjà connu en arithmétique.

L'intégralité des méthodes de résolutions algébriques d'une équation peuvent être vues comme une factorisation du polynôme en éléments irréductibles du premier degré. La méthode classique de l'équation du second degré se résume finalement à cela. On peut en déduire un premier résultat.

Proposition — Un polynôme à cœfficients dans K n'admet jamais plus de racines que son degré.

Polynômes irréductibles à cœfficients dans C, R et Q

Selon le choix du corps des cœfficients, les polynômes irréductibles n'ont pas la même forme. Considérons le polynôme P égal à X5 - X4 - 4X + 4. Rechercher ses facteurs irréductibles du premier degré revient à résoudre l'équation polynomiale associée. Si cette équation est étudiée dans C, le théorème essentiel de l'algèbre indique l'existence d'au moins une racine. Dans le cas spécifique étudié on trouve la racine évidente 1, et une division euclidienne montre que :

P = (Xˆ4 - 4)(X-1)\;

Le polynôme P s'écrit comme le produit de deux polynômes dont un du premier degré. L'usage du même théorème montre que l'autre polynôme possède au moins une racine, ce qui indique l'existence d'un autre facteur du premier degré. De proche en proche on factorise P en polynômes du premier degré. En pratique une identité remarquable appliqué 3 fois permet la factorisation de l'exemple étudié :

P = (X- \sqrt 2)(X + \sqrt 2)(X- i\sqrt 2)(X + i\sqrt 2)(X-1)\;

Et dans le cas général :

Polynôme irréductible dans C — Les seuls polynômes à cœfficients dans le corps des nombres complexes irréductibles, sont ceux du premier degré.

La même équation sur R donne des résultats différents. Le terme i, désignant l'unité imaginaire, n'existe pas. La factorisation donne :

P = (Xˆ2 + 2)(X- \sqrt 2)(X + \sqrt 2)(X-1)\;

Il est aisé de se rendre compte que le premier facteur est irréductible. Remplacer l'indéterminée par une valeur donne toujours un nombre plus grand que 2, le polynôme X2 + 2 ne contient aucun diviseur du premier degré et , comme il est de degré 2, il est obligatoirement irréductible. Dans le cas général :

Polynôme irréductible dans R — Les seuls polynômes irréductibles à cœfficients réels, sont ceux du premier degré et ceux du deuxième degré ayant un discriminant strictement négatif.

Dans Q, l'exemple choisi montre qu'il n'existe qu'un seul facteur du premier degré, car la racine de 2 n'est pas un nombre rationnel. Les polynômes irréductibles à cœfficients dans Q sont bien plus variés, on en trouve de l'ensemble des degrés, comme le montre le critère d'Eisenstein.

Cœfficients et racines

Article détaillé : Relations entre cœfficients et racines.

À condition d'accepter d'élargir la totalité de nombres, pour les configurations classiques comme les nombres rationnels, réels ou complexes, il est toujours envisageable de factoriser un polynôme P. Cela donne deux manières d'écrire P. En utilisant les mêmes notations que auparavant :

P = a_nXˆn + a_{n-1}Xˆ{n-1} + \cdots + a_0 = a_n(X - r_1)(X - r_2)\cdots (X -r_n)

Ici r k pour k variant de 1 à n, sert à désigner les différentes racines du polynôme P. Les valeurs que prennent les r k peuvent être identiques, on parle alors de racines multiples. La décomposition correspond à celles des facteurs premiers de P, la constante an supposée non nulle, correspond à l'élément du groupe des unités, sa valeur est celle du cœfficient du monôme dominant.

Dans le cas du polynôme unitaire du deuxième degré, l'égalité devient :

 P = Xˆ2 + a_1X + a_0 = (X - r_1)(X - r_2)\;

Le développement du terme de droite donne les relations :

(X - r_1)(X - r_2)= Xˆ2 -(r_1+r_2)X + r_1r_2 = Xˆ2 + a_1X + a_0 \quad\text{et}\quad a_1 = -(r_1+r_2),\quad a_2 = r_1r_2

Cette factorisation donne une relation entre les cœfficients et les racines. Elle se généralise.

Si on remplace désormais r1 et r2 par deux indéterminées X et Y, on obtient deux polynômes X. Y et X+Y dit symétriques. Un polynôme à plusieurs indéterminées est dit symétrique si une permutation des indéterminées ne modifie pas le polynôme. Ainsi X. Y est symétrique, mais X2 + Y ne n'est pas. Pour générer des polynômes symétriques à n variables, il suffit d'utiliser ce procédé avec un polynôme de degré n. On obtient précisément n polynômes symétriques. L'ensemble des polynômes symétriques s'obtiennent par combinaison linéaires de produits de ces n polynômes symétriques.

Algèbre linéaire

Espace vectoriel

L'anneau A est identifié aux polynômes constants de A[X]. Ceci sert à définir une nouvelle opération sur A[X], une multiplication externe, qui à un nombre a ainsi qu'à un polynôme P associe le polynôme a. P. Le polynôme a. P est égal au produit du polynôme a, vu comme un polynôme constant et du polynôme P.

Si A est un corps K, comme R ou C, il existe une multiplication externe de KxK[X] dans K[X]. La structure K[X] possède désormais une addition et une multiplication externe. Ces deux opérations confèrent à K[X] une structure d'espace vectoriel. Il est en effet rapide de vérifier que l'ensemble des axiomes d'un espace vectoriel sont bien vérifiés. La famille (Xn) si n décrit la totalité des entiers positifs joue un rôle spécifique. Par construction, elle est génératrice de K[X], elle est aussi libre car une combinaison linéaire de cette famille n'est nulle que si l'ensemble des cœfficients sont nuls et la famille forme une base :

Base canonique — La famille (Xn) des puissances de l'indéterminée pour n décrivant la totalité des entiers positifs est une base de K[X] nommée base canonique.

Si A n'est pas un corps, A[X] possède une structure légèrement analogue, nommé module sur l'anneau A. Un sous-espace vectoriel spécifique est celui composée des polynômes de degré inférieur ou égal à un entier positif p. Par définition, il possède comme base (1, X, ..., Xp) contenant p + 1 éléments, c'est par conséquent un sous-espace de dimension p + 1[24].

La structure d'espace vectoriel de A[X] s'ajoute à la structure d'anneau pour former une structure d'algèbre. La totalité A[X] est alors pourvu de 3 opérations, une addition, une multiplication et une multiplication externe sur le corps K. Sur les trois opérations, les axiomes de la structure d'algèbre sont tous vérifiés.

Substitution et fonction polynômiale

Comme le fait remarquer l'encyclopédie Encarta «Le mot polynôme sert à désigner en fait deux entités mathématiques différentes : le polynôme formel et la fonction polynomiale. Cette dernière apporte la valeur prise par le polynôme quand on y remplace la variable x par une valeur numérique donnée. [25]»

À partir d'un polynôme formel comme X2 + 2X + 1, on peut construire une application, qui au polynôme associe une fonction f (x) définie par la donnée d'un domaine de définition Z la totalité des entiers et la définition : f (x)  = x2 + 2x + 1. Dans le cas général, il suffit d'indiquer la totalité de départ B, un anneau contenant les cœfficients du polynôme, et de substituer l'indéterminée X par la variable x dans l'écriture du polynôme formel.

L'algébriste considère l'application Φ, de A[X] dans la totalité des fonctions polynômes de A définies sur un anneau B contenant A, qui à un polynôme formel associe sa fonction polynômiale. La totalité d'arrivée de Φ est par définition l'image de Φ, ce qui montre que l'application est surjective. L'application Φ possède des propriétés supplémentaires. Elle est par exemple compatible avec l'addition et la multiplication :

\forall P, Q \in \mathbb A\quad \Phi(P + Q) = \Phi(P) + \Phi(Q)\quad\text{et}\quad \Phi(P\cdot Q) = \Phi(P)\cdot\Phi(Q)

Ces deux propriétés possèdent un nom en mathématiques, on dit que Φ est un morphisme d'anneau.

Ici, l'addition et la multiplication de deux fonctions polynômes sont définies comme l'addition et la multiplication usuelles des fonctions. Dans le cas spécifique où le polynôme P est une constante, c'est-à-dire s'il se résume à un monôme de degré 0 ou moins l'infini, on obtient :

\forall P, Q \in \mathbb A\quad \forall \lambda \in A \quad \Phi(P + Q) = \Phi(P) + \Phi(Q)\quad\text{et}\quad \Phi(\lambda P) = \lambda \Phi(Q)

On retrouve la définition de morphisme d'espace vectoriel, toujours nommé application linéaire. Une application qui est à la fois un morphisme d'anneau et une application linéaire est qualifiée de morphisme d'algèbre, car l'application Φ est compatible avec l'ensemble des opérations de l'algèbre.

Une propriété est toujours manquante, l'application Φ est-elle toujours injective, la réponse n'est pas forcément vraie. Un premier cas se présente, si l'anneau A contient une copie de Z la totalité des entiers. C'est par exemple le cas de Q, R ou C. Dans ce cas là, l'application Φ est de fait injective. La démonstration est donnée suite à cet article dans le paragraphe Équation algébrique. Il existe d'autres cas où Φ n'est pas injective, par exemple celui où A est un corps fini. Quelques exemples sont donnés si A sert à désigner l'anneau Z/nZn est un nombre premier. La totalité des polynômes formels est toujours illimité, l'ensemble des polynômes Xn sont différents, et si n parcourt la totalité des entiers positifs, on obtient une illimitété de polynômes différents. Par contre, les fonctions polynômes forment un sous-ensemble des fonctions de A dans A, si A est un corps fini de cardinal p, il existe pp fonctions différentes et par conséquent au maximum pp fonctions polynômes au maximum. Comme il ne peut y avoir d'injection entre un ensemble illimité vers un ensemble fini, l'application Φ n'est pas injective. Il existe quelques cas où Φ est injective :

Proposition — Si B contient une illimitété d'éléments et est intègre, alors Φ est injective[26].

Un anneau est dit intègre si un produit de deux éléments a et b de l'anneau est nul seulement si soit a soit b l'est . Dans de nombreuses situations, celles où les cœfficients sont choisis dans les nombres entiers, rationnels, réels ou complexe, cette proposition s'applique. En conséquence l'anneau des fonctions polynômes et des polynômes formels sont des copies l'un de l'autre et l'ensemble des résultats algébriques établis ici s'appliquent sur les fonctions polynômes.

Dérivée formelle

Définition

Il existe une application linéaire de A[X] quelquefois particulièrement utile, elle est nommée dérivée formelle. Comme toute application linéaire, elle est idéalement définie par la connaissance de l'image d'une base.

Définition de la dérivée formelle[28] — La dérivée formelle est l'application linéaire de A[X] dans lui même, qui à Xn associe n. Xn-1.

On peut être surpris par une telle définition, l'élément n qui multiplie le monôme est un entier, rien ne dit que A contient la totalité des entiers. Le terme n indique en fait, soit l'élément 1 + 1 +... + 1 itéré n fois, soit si l'anneau A ne contient pas d'élément neutre pour la multiplication n. Xn-1 sert à désigner le terme Xn-1 additionné n fois avec lui-même.

Si A est le corps des entiers ou des nombres complexes, la dérivée formelle est le pendant de l'application dérivée dans le monde des polynômes formels. La définition présentée ici s'applique néanmoins à n'importe quel anneau de polynôme construit sur un anneau commutatif.

Si le polynôme P s'écrit de la manière habituelle, on a l'expression P' de sa dérivée formelle :

P = a_nXˆn + a_{n-1}Xˆ{n-1} + \cdots + a_1X + a_0 \quad\text{et}\quad P' = na_nXˆ{n-1} + (n-1)a_{n-1}Xˆ{n-2} + \cdots a_1

Propriétés

On dispose de certaines propriétés élémentaires de la dérivée, le noyau de l'application linéaire se compose des polynômes constants, le degré de la dérivée d'un polynôme formel de degré n est égal à n - 1, en conséquence, l'application n + 1 fois de la dérivée sur un polynôme de degré n est nulle. Enfin, si P et Q sont deux polynômes :

(PQ)' = P'Q + PQ' \;

Une autre propriété relie l'existence de racines multiples à la dérivée formelle, on dit qu'un polynôme à cœfficient dans K est séparable si et uniquement s'il admet tout autant de racines différentes que son degré, dans au moins un corps L contenant K.

Critère de présence d'une racine multiple[29] — Un polynôme, à cœfficients dans K, est séparable si et uniquement si lui et sa dérivée formelle sont premiers entre eux.

Le polynôme à cœfficients dans Q, la totalité des nombres rationnels : X2 + 2 est séparable, car il admet deux racines différentes dans C le corps des nombres complexes, qui contient Q. Il est bien premier avec sa dérivée formelle, égal à 2X. On trouve la démonstration dans l'article Extension séparable.

Développement de Taylor

Dans l'univers des applications continues définies pour tout nombre réel ainsi qu'à valeurs réelles, deux fonctions ayant même dérivée ne changent que par une constante. Ce résultat est une conséquence du théorème essentiel de l'analyse. Ce résultat ne se généralise pas forcément dans le monde des polynômes formels. Supposons que sur l'anneau A, l'itéré de l'addition de 1A n fois soit égal à 0A, on parle alors d'anneau de caractéristique n. Les dérivées des polynômes Xn + X et X sont identiques : celui constant égal à 1. Néenmoins ces deux polynômes ne changent pas d'une constante. Cette situation ne se produit pas si l'anneau est de caractéristique 0, c'est-à-dire si quel que soit n, entier strictement positif le nième itéré de l'unité 1A n'est pas nul.

Dans ce cas, le développement de Taylor s'applique toujours sur les polynômes formels.

Développement de Taylor[30] — Soit A un anneau commutatif unitaire, intègre et de caractéristique 0, soit P un polynôme de A[X] de degré n et a un élément de A. La formule suivante, dite développement de Taylor, est vérifiée :

P = \sum_{i=0}ˆn \frac {Pˆ{(i)}(a)}{i!} (X-a)ˆi

Cette formule mérite quelques explications, le terme P (i) (a) sert à désigner l'élément de A obtenu en substituant a à l'indéterminée X. L'élément i ! sert à désigner un itérée pour l'addition de l'unité de l'anneau, c'est précisément l'itéré de l'unité additionné avec elle-même factorielle i fois. La division n'est pas forcément définie sur A, par contre le terme P (i) (a) est toujours un multiple de i !, et il existe un unique élément bi de A tel que bi. i ! soit égal à P (i) (a), ce qui sert à donner un sens au développement de Taylor.

Résultant, discriminant

Articles détaillés : Résultant et Discriminant.

Le résultant de deux polynômes est le déterminant d'une matrice construite avec deux polynômes. Ce déterminant est nul si, et uniquement si, les deux polynômes sont premiers entre eux. Le discriminant d'un polynôme P est , à un facteur multiplicatif près, le résultant du polynôme et de sa dérivée, ce qui permet d'écrire que :

Discriminant — le discriminant d'un polynôme est nul, si, et uniquement si, le polynôme admet au moins un racine multiple, dans son corps de décomposition.

Si a est le cœfficient du monôme dominant, n le degré du polynôme et α k, pour k variant de 1 à n, les racines du polynôme P, son discriminant Δ (P) est égal à :

\Delta(P)=aˆ{2n-2}\prod_{i<j}{(\alpha_i-\alpha_j)ˆ2}\,

Le discriminant s'exprime aussi suivant les cœfficients du polynôme, l'expression est néanmoins complexe si n est élevé. Dans le cas de la dimension 2 et si le polynôme P s'écrit aX2 + bX + c, on retrouve l'expression classique :

\Delta(P)= bˆ2 -4ac \quad\text{ou encore}\quad \Delta(P) = aˆ2(\alpha_1 - \alpha_2)ˆ2

Ce qui sert à retrouver facilement les formules donnant les racines de l'équation suivant les cœfficients, sachant que l'opposé de la somme des racines est égal à b. Si n est strictement plus grand que 2, le discriminant n'offre pas de moyen simple d'exprimer les racines. [31]

Notes et références

Notes

  1. L. Radford Diophante et l'algèbre pré-symbolique Bulletin AMQ (1991)
  2. P. Ver Eecke Diophante d'Alexandrie. Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones Desclée de Brouwer Liège (1926) p 3
  3. Voir à ce sujet : P. Ver Eecke Diophante d'Alexandrie. Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones Desclée de Brouwer Liège (1926) p 3
  4. R. Rashed Entre arithmétique et algèbre : recherches sur l'histoire des mathématiques arabes Paris, Les Belles lettres (1984)
  5. H. Bellosta indique : «Son successeur Sharaf al-Dîn al-Tûsî (xiie siècle) va étudier de façon plus rigoureuse les conditions d'existence de ces points d'intersection, dont l'abscisse détermine la racine positive demandée ; ceci va l'amener à se pencher sur des problèmes de localisation et de séparation des racines, l'obliger à définir la notion de maximum d'une expression algébrique (en introduisant la dérivée formelle d'un polynôme). Une autre innovation d'al-Tûsî consiste à traiter, en même temps que la résolution géométrique, la résolution numérique des équations du troisième degré. Il développe pour cela une variante de la méthode de Ruffini Horner.» :A propos de l'histoire des sciences arabes SMF Gazette n° 82 (1999)
  6. C. Florian A History of Mathematics New York The Macmillan Co 1919 p 139
  7. Carl Friedrich Gauss Disquisitiones arithmeticæ 1801 (page 434 dans l'édition de 1807 traduite en français par Poullet-Delisle et publié aux éditions Jacques Gabay en 1989 (ISBN 2876470543)
  8. C. Chevalley Algèbre Chapitre III Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki p 22
  9. Même les textes particulièrement élémentaires présentent l'indéterminée comme un élément d'une structure d'algèbre et non plus comme une lettre Introduction aux polynômes par J. M. Sarlat (2001)
  10. Dans les cours de classes préparatoire, l'indéterminée est défini comme le polynôme X, construit comme une suite : introduction à l'indéterminée Cours de MPSI
  11. Un cours de classe préparatoire qui note l'indéterminée x et le définit comme la suite (0, 1, 0, ... ) Chapitre I anneau des polynômes
  12. Les facultés suivent la même convention, l'indéterminée est un objet défini comme un polynôme spécifique Polynôme par l'Université de Jussieu
  13. Cette idée est appliquée au cas de plusieurs indéterminées. L'indéterminée est toujours définie toujours à partir d'une généralisation de la suite précédente Algèbre commutative A. Chambert-Loir Algèbre commutative p 18
  14. Les livres d'algèbres suivent beaucoup cette convention : M. Queysanne, Algèbre, Armand Colin, Col. U, 1964 p 413
  15. Une présentation d'un niveau de premier cycle universitaire : J. L. -F. Lelong-Ferrand J. M. Arnaudiès Cours de mathématiques, tome 1 : Algèbre Dunod (ISBN 2100081977) (2003) p 139 (dans l'édition consulté de 1971)
  16. Une autre technique est envisageable, elle correspond à une définition axiomatique, légèrement à l'image de celle de Chevalley. C'est toujours celle que proposée dans les éléments de mathématiques : Algèbres, polynômes, algèbres de type fini par l'Université de Jussieu
  17. N. Bourbaki Éléments de mathématique : Algèbre, chapitres 4 à 7 Dunod (1981) (ISBN 2225685746) chap 4
  18. Cette citation est extraite de : iIntroduction à l'indéterminée Cours de MPSI
  19. Cette propriété est explicitée dans le site : Polynôme par l'Université de Jussieu
  20. Ces définitions proviennent de Chapitre I anneau des polynômes
  21. Cet exemple est tiré du site : M. Delord Opérations arithmétiques et algèbre des polynômes Membre du (GRIP) groupe de réflexion interdisciplinaire sur les programmes
  22. Cette présentation s'inspire du site : Introduction aux polynômes par J. M. Sarlat (2001)
  23. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] 
  24. Chapitre I anneau des polynômes
  25. Polynômes Par MSN Encarta
  26. Adrien Douady et Régine Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions] p 146
  27. C. Bachoc Cours de code Université de Bordeaux
  28. D. J. Mercier L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques Vol. II Sciences Mathématiques p 300 (2006) (ISBN 2748330013)
  29. A. Kraus Théorie de Galois Proposition 2.2 p. 12. Université de Jussieu, Cours de DEA.
  30. D. J. Mercier L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques Vol. II Sciences Mathématiques p 300 (2006) (ISBN 2748330013)
  31. Voir à ce sujet Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808)  [détail des éditions] Chap IV § 8

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