Opposé

L'opposé d'un nombre n est le nombre qui, ajouté à n, donne zéro.



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  • En mathématique, l'opposé d'un nombre est le nombre tel que, quand il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés... (source : techno-science)

Cas spécifique des nombres

L'opposé d'un nombre n est le nombre qui, ajouté à n, donne zéro.

Par exemple :

Ainsi selon le dernier exemple, - (-0, 3) = 0, 3.

D'une façon plus générale, si E est un ensemble pourvu d'une loi interne d'addition associative et commutative, l'opposé d'un élément x de E est le symétrique (s'il existe) de cet élément, et est noté généralement -x.

Si de plus l'ensemble des éléments de E sont symétrisables pour la loi d'addtion, alors il est envisageable de définir une loi de ℤ×E dans E par :

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Dans les cas spécifiques des ensembles ℤ, ℚ, ℝ et \mathbb{C}, le produit pour la multiplication interne d'un nombre par -1 est égal à l'opposé de ce nombre.

Les ensembles dont l'ensemble des éléments admettent un opposé pour l'addition dans cet ensemble sont :

En revanche, la totalité des entiers naturels n'a pas cette propriété : 3 a bien un opposé, -3, mais ce n'est pas un entier naturel.

Les nombres suivants n'ont pas d'opposés pour l'addition :

Pour construire la totalité ℤ des entiers relatifs à partir de la totalité ℕ des entiers naturels, il suffit d'inclure formellement à ce dernier les opposés des entiers naturels. Ainsi, on dit que la totalité des entiers naturels n'est pas stable pour l'opposé, parce que leurs opposés ne sont pas des entiers naturels.

Définition générale

Soient (G, +) un groupe, dont la loi de composition interne est notée additivement et dont l'élément neutre est noté 0, et x un élément quelconque de G. On nomme opposé de x et on note -x l'élément symétrique de x, i. e. l'unique élément -x de G tel que :

x + (-x) = (-x) + x = 0.

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