Opérations sur les limites

Cette page est une annexe de l'article limite, qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition, multiplication, composition.

Opérations algébriques

On considère ici le cas où on effectue les opérations algébriques élémentaires sur des fonctions ou des suites dont on connaît les limites. Dans la majorité des cas on peut conclure mais quelquefois une étude supplémentaire est indispensable, on parle de forme indéterminée, ou FI. Ces cas seront traités à part.

Multiplication par un réel

On peut multiplier une suite $u = (u n)$ ou une fonction $f$ par un réel fixé $k$ ; on obtient alors :

La suite $k u = ( (k u) n)$ définie par : $\forall n \in \N,(ku)_n = k \times u_n$

La fonction $k f$ définie par : $\forall x \in \R,(kf)(x) = k \times f(x)$

Alors on peut écrire le tableau suivant, selon que la suite converge vers une limite finie $\ell$ ou diverge vers $\pm\infty$ :

$\lim u_n$		$\ell$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim (ku)_n$	$k > 0$	$k\ell$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim (ku)_n$	$k < 0$	$k\ell$	$+\infty$	$-\infty$

On a précisément le même tableau pour les cas d'une fonction $f$ . Que ce soit pour une limite en un point $a \in \R$ ou pour une limite en $\pm\infty$ on écrira $\lim f$ . La limite de $k f$ est :

$\lim f$		$\ell$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim kf$	$k > 0$	$k\ell$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim kf$	$k < 0$	$k\ell$	$+\infty$	$-\infty$

Addition

On peut additionner deux suites $u = (u n)$ et $v = (v n)$ ou deux fonctions $f$ et $g$ :

La suite $u + v$ est définie par : $\forall n \in \N, (u+v)_n = u_n+v_n$

La fonction $f + g$ est définie par : $\forall x \in \R, (f+g)(x) = f(x)+g(x)$

On peut donner la limite de la suite $u + v$ suivant les limites respectives des suites $u$ et $v$ . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

		$\ell'$	$-\infty$	$+\infty$
		$\lim v$
$\lim u$	$\ell$	$\ell + \ell'$	$-\infty$	$+\infty$
	$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$	FI
	$+\infty$	$+\infty$	FI	$+\infty$

On a précisément le même tableau pour la limite de $f + g$ suivant les limites respectives de $f$ et de $g$ .

		$\ell'$	$-\infty$	$+\infty$
		$\lim g$
$\lim f$	$\ell$	$\ell + \ell'$	$-\infty$	$+\infty$
	$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$	FI
	$+\infty$	$+\infty$	FI	$+\infty$

Multiplication

On peut multiplier deux suites $u = (u n)$ et $v = (v n)$ ou deux fonctions $f$ et $g$ :

La suite $u \times v$ est définie par : $\forall n \in \N, (u \times v)_n = u_n \times v_n$

La fonction $f \times g$ est définie par : $\forall x \in \R, (f \times g)(x) = f(x) \times g(x)$

On peut donner la limite de la suite $u \times v$ suivant les limites respectives des suites $u$ et $v$ . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

		$\ell'<0$	$<img class=$ 0	$-\infty$	$+\infty$
		$\lim v$
$\lim u$	$\ell<0$	$\ell \ell'$	$\ell \ell'$	$0$	$+\infty$	$-\infty$
	$<img class=$	$\ell \ell'$	$0$	$-\infty$	$+\infty$
	$0$	$0$	$0$	$0$	FI	FI
	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	$+\infty$	$-\infty$
	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI	$-\infty$	$+\infty$

On a précisément le même tableau pour la limite de $f \times g$ suivant les limites respectives de $f$ et de $g$ .

		$\ell'<0$	$<img class=$ 0	$-\infty$	$+\infty$
		$\lim g$
$\lim f$	$\ell<0$	$\ell \ell'$	$\ell \ell'$	$0$	$+\infty$	$-\infty$
	$<img class=$	$\ell \ell'$	$0$	$-\infty$	$+\infty$
	$0$	$0$	$0$	$0$	FI	FI
	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	$+\infty$	$-\infty$
	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI	$-\infty$	$+\infty$

Division

On peut diviser une suite $u = (u n)$ par une suite $v = (v n)$ vérifiant $\forall n\in \N,v_n \neq 0$ ou une fonction $f$ par une fonction $g$ vérifiant $g(x) \neq 0$ pour tout $x$ au voisinage du point reconnu :

La suite $\tfrac{u}{v}$ est définie par : $\forall n \in \N, \left(\tfrac{u}{v}\right)_n = \tfrac{u_n}{v_n}$

La fonction $\tfrac{f}{g}$ est définie par : $\left(\tfrac{f}{g}\right)(x) = \tfrac{f(x)}{g(x)}$ pour l'ensemble des $x$ tels que $g(x) \neq 0$

On peut donner la limite de la suite $\tfrac{u}{v}$ suivant les limites respectives des suites $u$ et $v$ . Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

		$\ell'<0$	$<img class=$ 0 ⁻	$0 +$	$-\infty$	$+\infty$
		$\lim v$
$\lim u$	$\ell<0$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$+\infty$	$-\infty$	$0 (+)$	$0 (-)$
	$<img class=$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$-\infty$	$+\infty$	$0 (-)$	$0 (+)$
	$0 -$	$0 (+)$	$0 (-)$	FI	FI	$0 (+)$	$0 (-)$
	$0 +$	$0 (-)$	$0 (+)$	FI	FI	$0 (-)$	$0 (+)$
	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	FI
	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI	FI

On a précisément le même tableau pour la limite de $\frac{f}{g}$ suivant les limites respectives de $f$ et de $g$ .

		$\ell'<0$	$<img class=$ 0 ⁻	$0 +$	$-\infty$	$+\infty$
		$\lim g$
$\lim f$	$\ell<0$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$+\infty$	$-\infty$	$0 (+)$	$0 (-)$
	$<img class=$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$-\infty$	$+\infty$	$0 (-)$	$0 (+)$
	$0 -$	$0 (+)$	$0 (-)$	FI	FI	$0 (+)$	$0 (-)$
	$0 +$	$0 (-)$	$0 (+)$	FI	FI	$0 (-)$	$0 (+)$
	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	FI
	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI	FI

Formes indéterminées

Les formes indéterminées sont soit de type additif : $+\infty - (+\infty)$ , soit de type multiplicatif : $0 \times \pm\infty$ , $\tfrac{0}{0}$ ou $\tfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$ . Pour parvenir à lever l'indétermination, on utilise une ou plusieurs des techniques suivantes :

On essaye de transformer l'écriture (factorisation, développement, etc. )
On utilise les résultats sur les croissances comparées des fonctions usuelles (voir Limites de référence)
On applique les propriétés classiques des limites

Les articles suivants traitent plus en détails ces techniques :

Indétermination de la forme ∞/∞
Indétermination de la forme ∞ - ∞
Indétermination de la forme 0/0

Exemple :

On cherche à calculer

$\lim_{x \to 0ˆ+} \left(\frac{1}{xˆ3}-\frac{1}{xˆ4}\right)$

Or,

$\lim_{x \to 0ˆ+} \frac{1}{xˆ3} = \lim_{x \to 0ˆ+} \frac{1}{xˆ4} = +\infty$

donc on est dans un cas de forme indéterminée «additive» ; on factorise l'expression :

$\frac{1}{xˆ3}-\frac{1}{xˆ4} = \frac{1}{xˆ4} \times (x-1)$

$\lim_{x \to 0ˆ+} \frac{1}{xˆ4} = +\infty$ et $\lim_{x \to 0ˆ+} (x-1) = -1$

donc on peut conclure selon les règles sur la multiplication :

$\lim_{x \to 0ˆ+} \left(\frac{1}{xˆ3}-\frac{1}{xˆ4}\right) = -\infty$

Composition

Composition de deux fonctions

La lecture de l'article Composition de fonctions peut aider à la compréhension de ce qui suit

Propriété

Soient :

$g$ une fonction définie sur $J$ ;
$f$ une fonction définie sur $I$ telle que $f(I)\subset J$ ;
$a\in I$ ou $a$ une limite de $I$ .

Si :

$\lim_{x\to a}f(x) = b$
$\lim_{x\to b}g(x) = l$

Alors $\lim_{x\to a}g\circ f (x)=l$

Interprétation schématique

$\begin{array}{ccccc} I & \overset{f}{\longrightarrow} & J & \overset{g}{\longrightarrow} & \mathbb{R} \\ a & \to & \underset{x\to a}{\lim}f(x) & & \\ & & \shortparallel & & \\ & & b & \to & \underset{X\to b}{\lim}g(X) \\ & & & & \shortparallel \\ & & & & l \\ \end{array}$

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)= \ln \left(\frac{x}{x-1}\right)$ . On cherche la limite de $f$ en $1 +$ .

On peut schématiser le problème par :

$\begin{array}{ccccc} x & \to & \cfrac{x}{x-1} & & \\ & & \shortparallel & & \\ & & X & \to & \ln X \\ 1ˆ+ & \to & +\infty & \to & +\infty \end{array}$

Plus formellement :

$\lim_{x\to 1ˆ+} \frac{x}{x-1} = +\infty$ ;
$\lim_{X\to +\infty} \ln X = +\infty$ .

Par composition de limites : $\lim_{x\to 1ˆ+}f(x) = +\infty$

Composition d'une fonction et d'une suite

Voir aussi

Recherche sur Amazon (livres) :

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A9rations_sur_les_limites.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.