Opérations sur les limites

Cette page est une annexe de l'article limite, qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition, multiplication, composition.



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Mathématiques élémentaires - Analyse réelle - Topologie générale

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Tous les résultats listés ici sont valables à la fois pour les limites de fonctions et pour les limites de suites

Opérations algébriques

On considère ici le cas où on effectue les opérations algébriques élémentaires sur des fonctions ou des suites dont on connaît les limites. Dans la majorité des cas on peut conclure mais quelquefois une étude supplémentaire est indispensable, on parle de forme indéterminée, ou FI. Ces cas seront traités à part.

Multiplication par un réel

On peut multiplier une suite u = (un) ou une fonction f par un réel fixé k ; on obtient alors :

Alors on peut écrire le tableau suivant, selon que la suite converge vers une limite finie \ell ou diverge vers \pm\infty  :

\lim u_n \ell -\infty +\infty
\lim (ku)_n k > 0 k\ell -\infty +\infty
k < 0 k\ell +\infty -\infty

On a précisément le même tableau pour les cas d'une fonction f. Que ce soit pour une limite en un point a \in  \R ou pour une limite en \pm\infty on écrira \lim f . La limite de kf est :

\lim f \ell -\infty +\infty
\lim kf k > 0 k\ell -\infty +\infty
k < 0 k\ell +\infty -\infty

Addition

On peut additionner deux suites u = (un) et v = (vn) ou deux fonctions f et g :

On peut donner la limite de la suite u + v suivant les limites respectives des suites u et v. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

  \lim v
\ell' -\infty +\infty
\lim u \ell \ell + \ell' -\infty +\infty
-\infty -\infty -\infty FI
+\infty +\infty FI +\infty

On a précisément le même tableau pour la limite de f + g suivant les limites respectives de f et de g.

  \lim g
\ell' -\infty +\infty
\lim f \ell \ell + \ell' -\infty +\infty
-\infty -\infty -\infty FI
+\infty +\infty FI +\infty

Multiplication

On peut multiplier deux suites u = (un) et v = (vn) ou deux fonctions f et g :

On peut donner la limite de la suite u \times v suivant les limites respectives des suites u et v. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

  \lim v
\ell'<0 <img class=0 -\infty +\infty
\lim u \ell<0 \ell \ell' \ell \ell' 0 +\infty -\infty
<img class= \ell \ell' 0 -\infty +\infty
0 0 0 0 FI FI
-\infty +\infty -\infty FI +\infty -\infty
+\infty -\infty +\infty FI -\infty +\infty

On a précisément le même tableau pour la limite de f \times g suivant les limites respectives de f et de g.

  \lim g
\ell'<0 <img class=0 -\infty +\infty
\lim f \ell<0 \ell \ell' \ell \ell' 0 +\infty -\infty
<img class= \ell \ell' 0 -\infty +\infty
0 0 0 0 FI FI
-\infty +\infty -\infty FI +\infty -\infty
+\infty -\infty +\infty FI -\infty +\infty

Division

On peut diviser une suite u = (un) par une suite v = (vn) vérifiant \forall n\in \N,v_n \neq 0 ou une fonction f par une fonction g vérifiant g(x) \neq 0 pour tout x au voisinage du point reconnu :

On peut donner la limite de la suite \tfrac{u}{v} suivant les limites respectives des suites u et v. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

  \lim v
\ell'<0 <img class=0 0 + -\infty +\infty
\lim u \ell<0 \frac{\ell}{\ell'} \frac{\ell}{\ell'} +\infty -\infty 0 (+) 0 (−)
<img class= \frac{\ell}{\ell'} -\infty +\infty 0 (−) 0 (+)
0 0 (+) 0 (−) FI FI 0 (+) 0 (−)
0 + 0 (−) 0 (+) FI FI 0 (−) 0 (+)
-\infty +\infty -\infty +\infty -\infty FI FI
+\infty -\infty +\infty -\infty +\infty FI FI

On a précisément le même tableau pour la limite de \frac{f}{g} suivant les limites respectives de f et de g.

  \lim g
\ell'<0 <img class=0 0 + -\infty +\infty
\lim f \ell<0 \frac{\ell}{\ell'} \frac{\ell}{\ell'} +\infty -\infty 0 (+) 0 (−)
<img class= \frac{\ell}{\ell'} -\infty +\infty 0 (−) 0 (+)
0 0 (+) 0 (−) FI FI 0 (+) 0 (−)
0 + 0 (−) 0 (+) FI FI 0 (−) 0 (+)
-\infty +\infty -\infty +\infty -\infty FI FI
+\infty -\infty +\infty -\infty +\infty FI FI

Formes indéterminées

Les formes indéterminées sont soit de type additif : +\infty - (+\infty), soit de type multiplicatif : 0 \times \pm\infty , \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\pm\infty}{\pm\infty} . Pour parvenir à lever l'indétermination, on utilise une ou plusieurs des techniques suivantes :

Les articles suivants traitent plus en détails ces techniques :

Exemple :

On cherche à calculer

\lim_{x \to 0ˆ+} \left(\frac{1}{xˆ3}-\frac{1}{xˆ4}\right)

Or,

\lim_{x \to 0ˆ+} \frac{1}{xˆ3} = \lim_{x \to 0ˆ+} \frac{1}{xˆ4} = +\infty

donc on est dans un cas de forme indéterminée «additive» ; on factorise l'expression :

\frac{1}{xˆ3}-\frac{1}{xˆ4} = \frac{1}{xˆ4} \times (x-1)
\lim_{x \to 0ˆ+} \frac{1}{xˆ4} = +\infty et \lim_{x \to 0ˆ+} (x-1) = -1

donc on peut conclure selon les règles sur la multiplication :

\lim_{x \to 0ˆ+} \left(\frac{1}{xˆ3}-\frac{1}{xˆ4}\right) = -\infty

Composition

Composition de deux fonctions

La lecture de l'article Composition de fonctions peut aider à la compréhension de ce qui suit

Propriété

Soient :

Si :

Alors \lim_{x\to a}g\circ f (x)=l

Interprétation schématique


\begin{array}{ccccc}
  I & \overset{f}{\longrightarrow} & J & \overset{g}{\longrightarrow} & \mathbb{R} \\
  a & \to & \underset{x\to a}{\lim}f(x) & & \\
  & & \shortparallel & & \\
  & & b & \to & \underset{X\to b}{\lim}g(X) \\
  & & & & \shortparallel \\
  & & & & l \\
\end{array}

Exemple

Soit f la fonction définie sur ]1;+\infty[ par f(x)= \ln \left(\frac{x}{x-1}\right). On cherche la limite de f en 1 +.

On peut schématiser le problème par :


\begin{array}{ccccc}
  x & \to & \cfrac{x}{x-1} & & \\
  & & \shortparallel & & \\
  & & X & \to & \ln X \\
  1ˆ+ & \to & +\infty & \to & +\infty
\end{array}

Plus formellement :

Par composition de limites : \lim_{x\to 1ˆ+}f(x) = +\infty

Composition d'une fonction et d'une suite

Voir aussi

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