Opérations sur les limites
Cette page est une annexe de l'article limite, qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition, multiplication, composition.
Page(s) en rapport avec ce sujet :
- Mais ici, seules leurs limites sont intéressantes ! Opérations sur les limites. Déterminer la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de fonctions... (source : tanopah.jo.free)
- Opérations sur les limites de fonctions 17 Décembre 2008 Consulté 1361 fois. cours - 1ère S - Mathématiques. Profs 5. Elèves 5. Parents... (source : intellego)
- Les limites de référence : Résultats du cours (démontrés ou admis). 2. Les opérations sur les limites. 3. La croissance comparée des fonctions logarithme, ... (source : bernard.gault.free)
![]() Cet article est membre de la série Mathématiques élémentaires |
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Tous les résultats listés ici sont valables à la fois pour les limites de fonctions et pour les limites de suites
Opérations algébriques
On considère ici le cas où on effectue les opérations algébriques élémentaires sur des fonctions ou des suites dont on connaît les limites. Dans la majorité des cas on peut conclure mais quelquefois une étude supplémentaire est indispensable, on parle de forme indéterminée, ou FI. Ces cas seront traités à part.
Multiplication par un réel
On peut multiplier une suite u = (un) ou une fonction f par un réel fixé k ; on obtient alors :
- La suite ku = ( (ku) n) définie par :
- La fonction kf définie par :
Alors on peut écrire le tableau suivant, selon que la suite converge vers une limite finie ou diverge vers
:
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k > 0 | ![]() |
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k < 0 | ![]() |
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On a précisément le même tableau pour les cas d'une fonction f. Que ce soit pour une limite en un point ou pour une limite en
on écrira
. La limite de kf est :
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k > 0 | ![]() |
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k < 0 | ![]() |
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Addition
On peut additionner deux suites u = (un) et v = (vn) ou deux fonctions f et g :
- La suite u + v est définie par :
- La fonction f + g est définie par :
On peut donner la limite de la suite u + v suivant les limites respectives des suites u et v. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :
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FI | |
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FI | ![]() |
On a précisément le même tableau pour la limite de f + g suivant les limites respectives de f et de g.
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FI | |
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FI | ![]() |
Multiplication
On peut multiplier deux suites u = (un) et v = (vn) ou deux fonctions f et g :
- La suite
est définie par :
- La fonction
est définie par :
On peut donner la limite de la suite suivant les limites respectives des suites u et v. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :
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0 | 0 | 0 | 0 | FI | FI | |
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FI | ![]() |
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FI | ![]() |
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On a précisément le même tableau pour la limite de suivant les limites respectives de f et de g.
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0 | 0 | 0 | 0 | FI | FI | |
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FI | ![]() |
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FI | ![]() |
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Division
On peut diviser une suite u = (un) par une suite v = (vn) vérifiant ou une fonction f par une fonction g vérifiant
pour tout x au voisinage du point reconnu :
- La suite
est définie par :
- La fonction
est définie par :
pour l'ensemble des x tels que
On peut donner la limite de la suite suivant les limites respectives des suites u et v. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :
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0 + | ![]() |
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0 (+) | 0 (−) |
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0 (−) | 0 (+) | ||
0 − | 0 (+) | 0 (−) | FI | FI | 0 (+) | 0 (−) | |
0 + | 0 (−) | 0 (+) | FI | FI | 0 (−) | 0 (+) | |
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FI | FI | |
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FI | FI |
On a précisément le même tableau pour la limite de suivant les limites respectives de f et de g.
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0 + | ![]() |
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0 (+) | 0 (−) |
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0 (−) | 0 (+) | ||
0 − | 0 (+) | 0 (−) | FI | FI | 0 (+) | 0 (−) | |
0 + | 0 (−) | 0 (+) | FI | FI | 0 (−) | 0 (+) | |
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FI | FI | |
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FI | FI |
Formes indéterminées
Les formes indéterminées sont soit de type additif : , soit de type multiplicatif :
,
ou
. Pour parvenir à lever l'indétermination, on utilise une ou plusieurs des techniques suivantes :
- On essaye de transformer l'écriture (factorisation, développement, etc. )
- On utilise les résultats sur les croissances comparées des fonctions usuelles (voir Limites de référence)
- On applique les propriétés classiques des limites
Les articles suivants traitent plus en détails ces techniques :
- Indétermination de la forme ∞/∞
- Indétermination de la forme ∞ - ∞
- Indétermination de la forme 0/0
On cherche à calculer
Or,
donc on est dans un cas de forme indéterminée «additive» ; on factorise l'expression :
et
donc on peut conclure selon les règles sur la multiplication :
Composition
Composition de deux fonctions
- La lecture de l'article Composition de fonctions peut aider à la compréhension de ce qui suit
Propriété
Soient :
- g une fonction définie sur J;
- f une fonction définie sur I telle que
;
ou a une limite de I.
Si :
Alors
Interprétation schématique

Exemple
Soit f la fonction définie sur par
. On cherche la limite de f en 1 +.
On peut schématiser le problème par :

Plus formellement :
;
.
Par composition de limites :
Composition d'une fonction et d'une suite
Voir aussi
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