Opération ensembliste

Les opérations ensemblistes sont les opérations mathématiques faites sur les ensembles, sans s'occuper de la nature des éléments qui composent ces ensembles.



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Théorie des ensembles - Opération

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Les opérations ensemblistes sont les opérations mathématiques faites sur les ensembles, sans s'occuper de la nature des éléments qui composent ces ensembles. Les opérations booléennes (réunion, intersection, complémentaire... ) sont traitées dans l'article algèbre des parties d'un ensemble.

Ensemble des parties

L'ensemble des parties d'un ensemble E, noté généralement \mathcal{P} (E) ou \mathfrak{P} (E), est , comme son nom l'indique, la totalité constitué par l'ensemble des sous-ensembles de la totalité E :

 \mathfrak{P}(E) = \{ A | A \subseteq E \}

Par exemple si A = {a, b}, \mathfrak{P} (A) ={Ø, {a}, {b}, A}

L'existence de la totalité des parties est assurée par un axiome, l'axiome de la totalité des parties. Cet axiome exprime en substance que pour tout ensemble E, il existe un ensemble F contenant l'ensemble des sous-ensembles de E.

L'unicité de la totalité des parties est assurée par un autre axiome, l'axiome d'extensionnalité.

La totalité des parties d'un ensemble, pourvu de la réunion, de l'intersection et de l'inclusion forme une algèbre de Boole.

La totalité des parties d'un ensemble, pourvu de la différence symétrique et de l'intersection forme un corps commutatif. Si la totalité de départ est fini, de cardinal n, alors ce corps est isomorphe à \mathbb{F}_{2ˆn}, corps fini à 2n éléments.

Produit cartésien

Le produit cartésien, noté  A \times B (lire «A croix B»), de deux ensembles A et B est la totalité des couples dont la première composante vient de A et la seconde de B :

 A \times B = \{ (x, y) | (x \in A) \wedge (y \in B) \}

On a pour A et B finis : \mathrm{card}(A \times B) = \mathrm{card}(A) \;\mathrm{card}(B)

Somme disjointe

La différence symétrique de deux ensembles A et B ne doit pas être confondue avec leur somme disjointe, notée A + B \,, A \dot\cup B \, ou encore A \sqcup B :

A + B = (\{ 0 \}\times A) \cup (\{ 1 \} \times B) = \{ ( 0, x) | (x \in A) \} \cup \{ ( 1, x) | (x \in B) \}\,

Les symboles  0\, et  1\, dans la définition précédente peuvent être remplacés par d'autres, par exemple  \empty et  \{\empty\} . L'unique exigence est que les deux symboles utilisés changent l'un de l'autre.

La somme disjointe a été conçue pour que, au contraire de la réunion, le cardinal de son résultat soit toujours la somme des cardinaux des ensembles concernés :

 \mathrm{card}( A + B ) = \mathrm{card}( A ) + \mathrm{card}( B)\,

Elle est parfois utilisée comme substitut à la notion de couple d'ensembles, en particulier lorsque ces ensembles sont susceptibles d'être des classes.

Exponentiation

On définit FˆE \, comme la totalité des applications de E dans F.

On peut alors identifier la totalité des parties d'un ensemble E, \mathfrak P(E), à \{0,1\}ˆE \, ; cela revient en effet à identifier chaque partie de E à son indicatrice.

On peut aussi considérer le produit cartésien \bigotimes_{i\in I}E_i comme étant la totalité EI.

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