Octonion

En mathématiques, les octonions ou octaves sont une extension non-associative des quaternions. Ils forment une algèbre à 8 dimensions sur les réels.



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Nombre hypercomplexe - Algèbre

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Soon after quaternions were discovered by Hamilton then octonions were discovered separately by John Graves and Arthur Cayley. Octonions are sometimes known... (source : euclideanspace)
  • Les octonions ont été introduits au 19ème siècle, à la même époque par John T. Graves et par Arthur Cayley. Ce dernier publia, le premier, un article en ... (source : publimath.irem.univ-mrs)

En mathématiques, les octonions ou octaves sont une extension non-associative des quaternions. Ils forment une algèbre à 8 dimensions sur les réels. L'algèbre des octonions est le plus souvent notée \mathbb{O}.

En perdant l'importante propriété d'associativité, les octonions ont reçu moins d'attention que les quaternions. Malgré cela, les octonions gardent leur importance en algèbre et en géométrie, surtout parmi les groupes de Lie.

Historique

Les octonions ont été découverts en 1843 par John T. Graves, un ami de William Hamilton, qui les nomma octaves. Ils furent découverts indépendamment par Arthur Cayley, qui publia le premier article sur le sujet en 1845. Ils sont fréquemment nommés octaves de Cayley ou algèbre de Cayley.

Définition

Chaque octonion est une combinaison linéaire à cœfficients réels d'octonions unitaires \{\ 1,\ i,\ j,\ k,\ l,\ li,\ lj,\ lk\ \}.

C'est à dire, chaque octonion \ x\ peut être écrit sous la forme

avec des cœfficients réels \ x_n\ . La totalité de ces combinaisons linéaires est un espace vectoriel noté \mathbb{O}, isomorphe à \mathbb{R}ˆ8.

Addition

L'addition des octonions se réalise en additionnant les cœfficients correspondants, comme pour les nombres complexes et les quaternions :

(x_0\ +\ x_1\ .\ i\ +\ x_2\ .\ j\ +\ x_3\ .\ k\ +\ x_4\ .\ l\ +\ x_5\ .\ li\ +\ x_6\ .\ lj\ +\ x_7\ .\ lk)\ +
(y_0\ +\ y_1\ .\ i\ +\ y_2\ .\ j\ +\ y_3\ .\ k\ +\ y_4\ .\ l\ +\ y_5\ .\ li\ +\ y_6\ .\ lj\ +\ y_7\ .\ lk)\ =
(x_0+y_0)\ +\ (x_1+y_1).i\ +\ (x_2+y_2).j\ +\ (x_3+y_3).k\ +\ (x_4+y_4).l\ +\ (x_5+y_5).li\ +\ (x_6+y_6).lj\ +\ (x_7+y_7).lk.

Propriétés

L'addition des octonions est commutative :

associative :

et a un élément neutre, zéro, noté \ 0\  :

Pour tout octonion \ x\ existe un octonion unique, noté \ -x\ , tels que leur somme est nulle :

Ainsi la totalité des octonions pourvu de l'addition et de l'opposé est un groupe commutatif.

Soustraction

La soustraction des octonions est alors l'opération simplement définie par :

Multiplication

La multiplication des octonions est alors totalement déterminée par la propriété de distributivité à droite ainsi qu'à gauche :

a,\ b,\ c sont des octonions quelconques, et zéro l'élément absortant, et par la table de multiplication des octonions unitaires ci-dessous :

. \ 1\ \ i\ \ j\ \ k\ \ l\ \ li\ \ lj\ \ lk\
\ 1\ \ 1\ \ i\ \ j\ \ k\ \ l\ \ li\ \ lj\ \ lk\
\ i\ \ i\ \ -1\ \ k\ \ -j\ \ -li\ \ l\ \ -lk\ \ lj\
\ j\ \ j\ \ -k\ \ -1\ \ i\ \ -lj\ \ lk\ \ l\ \ -li\
\ k\ \ k\ \ j\ \ -i\ \ -1\ \ -lk\ \ -lj\ \ li\ \ l\
\ l\ \ l\ \ li\ \ lj\ \ lk\ \ -1\ \ -i\ \ -j\ \ -k\
\ li\ \ li\ \ -l\ \ -lk\ \ lj\ \ i\ \ -1\ \ -k\ \ j\
\ lj\ \ lj\ \ lk\ \ -l\ \ -li\ \ j\ \ k\ \ -1\ \ -i\
\ lk\ \ lk\ \ -lj\ \ li\ \ -l\ \ k\ \ -j\ \ i\ \ -1\

Dans la table ci-dessus, l'opérande de gauche est indiqué dans la première colonne, et l'opérande de droite est dans la première rangée. Le tableau n'est pas symétrique, ce qui veut dire que cette multiplication n'est pas commutative.

La table de multiplication peut être définie entièrement par l'identité remarquable :

Plan mnémotechnique de Fano

Plan mnémotechnique de Fano

Un moyen mnémotechnique pour se rappeler les produits des octonions unitaires est donné par le diagramme ci-contre.

Ce diagramme à 7 points et 7 droites (le cercle passant par \ i\ , \ j\ et \ k\ est reconnu comme une droite) est nommé le plan de Fano. Les droites sont orientées dans ce diagramme. Les 7 points correspondent aux 7 éléments de base de \mathbb{O}. Chaque couple de points différents se trouve sur une droite unique et chaque droite traverse précisément 3 points.

Soit (a,\ b,\ c) un triplet ordonné de points localisé sur une droite donnée avec l'ordre donné par la direction de la flèche. La multiplication est donnée par :

a\ .\ b =\ c et
b\ .\ a =\ -c

avec des permutations cycliques. Celles-ci opèrent de la manière suivante :

Chacune des 7 droites génère une sous-algèbre de \mathbb{O} isomorphe aux quaternions \mathbb{H}.

Conjugué

Le conjugué d'un octonion

est donné par

La conjugaison est une involution de \mathbb{O} et satisfait

(notons le changement dans l'ordre de succession).

Parties réelle et imaginaire

La partie réelle de l'octonion \ x\ est définie comme suit

et la partie imaginaire

de sorte que pour tout octonion \ x\ ,

La totalité de l'ensemble des octonions purement imaginaires (dont la partie réelle est nulle) forme une sous-espace à 7 dimensions sur les réels de \mathbb{O}, notée Im(\mathbb{O}), isomorphe à \mathbb{R}ˆ7. Il n'est pas une sous-algèbre parce que la multiplication d'octonions purement imaginaires peut être un réel.

La totalité de l'ensemble des octonions purement réels (dont la partie imaginaire est nulle) forme une sous-algèbre à 1 dimension de \mathbb{O}, notée Re(\mathbb{O}), isomorphe à \mathbb{R}.

Norme

La norme d'un octonion \ x\ est définie comme suit

Cette racine carrée est bien un nombre réel positif :

Cette norme correspond à la norme euclidienne sur \mathbb{R}ˆ8.

On a aussi :

Inverse

L'existence d'une norme sur \mathbb{O} implique l'existence d'un inverse pour chaque élément différent de zéro dans \mathbb{O}. L'inverse de tout \ x\ différent de zéro est donné par

Cela satisfait

La totalité \mathbb{O}ˆ{*} des octonions non nuls, pourvu de la multiplication et de l'inverse, est un magma non-commutatif et non-associatif.

Division

La division des octonions \ x\ et \ y\ est alors définie par l'égalité suivante :

Construction de Cayley-Dickson

A l'instar des quaternions assimilés aux couples de nombres complexes (et des nombres complexes assimilés aux couples de nombres réels), les octonions peuvent être traités sous forme de couples de quaternions.

L'addition de couples de quaternions (a,\ b) et (c,\ d) est définie par :

La multiplication de 2 couples de quaternions (a,\ b) et (c,\ d) est définie comme suit :

\ zˆ{*}\ est le conjugué du quaternion \ z\ .

La multiplication d'un nombre réel \ a\ par un couple de quaternions (c,\ d) est définie par :

On peut alors définir l'algèbre des couples de quaternions par la totalité \mathbb{H}ˆ2 des combinaisons linéaires à cœfficients réels des couples de quaternions unitaires suivants :

Cet ensemble, pourvu des opérations ci-dessus forme une algèbre à 2 dimensions sur la totalité des quaternions, ainsi qu'à 8 dimensions sur la totalité des nombres réels.

Soit \ I_0\ l'opération inversible qui associe à tout quaternion de coordonnées réelles (a,\ b,\ c,\ d) l'octonion de mêmes coordonnées dans la sous-algèbre générée par les octonions unitaires {\ 1,\ i,\ j,\ k\ }.

On montre aisément que l'opération I suivante, qui associe tout couple de quaternions (c,\ d) de \mathbb{H}ˆ2 à un octonion de \mathbb{O} telle que :

Il s'ensuit que \mathbb{H}ˆ2 est isomorphe à \mathbb{O}.

On démontre tandis que les additions et multiplications d'octonions \ o_1\ et \ o_2\ dans \mathbb{O} sont équivalentes aux opérations ci-dessus de couples de quaternions (a_1,\ b_1) et (a_2,\ b_2) dans \mathbb{H}ˆ2 :

Par suite, on pourra simplement définir les octonions au moyen de couples de quaternions, en incluant les quaternions dans la totalité des octonions pourvus des opérations de la construction de Cayley-Dickinson et des égalités suivantes :

(dans ce cas, l'isomorphisme I ci-dessus qui devient une simple identité. )

Propriétés

La multiplication des octonions n'est ni commutative :

ni associative :

Elle satisfait une forme plus faible que l'associativité : l'alternativité. Cela veut dire que la sous-algèbre générée par 2 éléments quelconques (a,\ b) est associative :

On peut montrer que la sous-algèbre générée par 2 éléments quelconques de \mathbb{O} est isomorphe à \mathbb{R}, \mathbb{C}, ou \mathbb{H}, qui sont tous associatifs.

Les octonions partagent une propriété importante avec \mathbb{R}, \mathbb{C}, et \mathbb{H} : la norme sur \mathbb{O} qui satisfait

Cela implique que les octonions forment une [algèbre de division] normée non-associative. Les algèbres de plus haute dimensions définies par la construction de Cayley-Dickson (par exemple les sédénions) ne satisfont pas cette propriété : elles ont toutes des diviseurs de zéro et leurs multiplications ne satisfont plus la conservation des normes.

Il s'avère que les seules algèbres de division normées sur les réels sont \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H} et \mathbb{O}. Ces 4 algèbres forment aussi les seules algèbres de division alternatives, de dimension finie sur les réels.

La multiplication des octonions n'étant pas associative, les éléments de \mathbb{O} différents de zéro ne forment pas un groupe algébrique, ni un corps ou un anneau. Ils forment un quasigroupe ou groupe additif.

Automorphismes

Un automorphisme \ A\ des octonions est une transformation linéaire inversible de \mathbb{O} sur lui-même qui vérifie

La totalité des automorphismes de \mathbb{O} forme un groupe noté \ \mathbb{G}_2\ . Le groupe \ \mathbb{G}_2\ est un groupe de Lie réel simplement connexe et compact, de dimension 14. Ce groupe est le plus petit des 5 groupes de Lie exceptionnels.

Sous-algèbres spécifiques

On vérifie facilement que l'ensemble des opérations dans la sous-algèbre des octonions dont la partie imaginaire est nulle sont équivalentes aux opérations dans l'algèbre des réels. De même la sous-algèbre des octonions dont l'ensemble des dimensions réelles sauf les 2 premières sont nulles est équivalente à l'algèbre des complexes. De même la sous-algèbre des octonions dont l'ensemble des dimensions réelles sauf les 4 premières sont nulles est équivalente à l'algèbre des quaternions.

Donc on identifiera les nombres réels, complexes et quaternions comme des octonions spécifiques, qu'on notera de la même façon : \mathbb{R}\ \subset\ \mathbb{C}\ \subset\ \mathbb{H}\ \subset\ \mathbb{O}.

Voir aussi

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