Octaèdre

Un octaèdre est un polyèdre à huit faces. Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six sommets.

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Polyèdre

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Un octaèdre (du grec oktô, huit et hedra, face) est un polyèdre à huit faces. Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six sommets.

A titre d'exemple, une pyramide heptagonale est un octaèdre, dont les huit faces sont sa base heptagonale et ses sept faces triangulaires : 1 + 7 = 8. Puisque 2 + 6 = 8, une illimitété de prismes sont des octaèdres, dont deux faces sont des hexagones.

L'octaèdre régulier

Octaèdre


Type	Polyèdre régulier
Faces	Triangle
Éléments : · Faces · Arêtes · Sommets · Caractéristique	8 12 6 2
Faces par sommet	4
Sommets par face	3
Isométries
Dual	Cube
Propriétés	Deltaèdre régulier et convexe

Un octaèdre régulier est un solide de Platon composé de huit faces dont chacune est un triangle équilatéral, se joignant quatre à quatre à chaque sommet. Platon, dans ses travaux, a voulu expliquer la matière par cinq éléments, et a utilisé des polyèdres réguliers pour les symboliser, l'octaèdre représentait l'élément «air»^[1].

L'aire A et le volume V de l'octaèdre régulier d'arête a valent respectivement :

$A=2\sqrt{3}aˆ2 \quad {et} \quad V={1\over3}\sqrt{2}aˆ3$

L'octaèdre régulier est un genre spécial d'antiprisme triangulaire et de bipyramide carrée.

C'est aussi le dual du cube, c'est-à-dire que c'est le polyèdre obtenu en prenant pour sommets les centres des faces d'un cube, et en joignant les sommets qui correspondent à des faces adjacentes. En conséquence, on peut faire correspondre aux sommets ainsi qu'aux faces de l'octaèdre les faces et les sommets du cube.

Les coordonnées canoniques pour les sommets d'un octaèdre centré à l'origine sont (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1).

Comme il a trois sommets par face, et quatre faces par sommet, son symbole de Schläfli est {3, 4}.

Le squelette de l'octaèdre régulier, la totalité de ses sommets reliés par ses arêtes, forme un graphe nommé graphe octaédrique.

Généralisation

L'hyperoctaèdre (ou polytope croisé, ou orthoplexe, ou encore n-octaèdre) est la généralisation de l'octaèdre en n dimensions.

Le n-octaèdre est le dual du n-cube (hypercube à n dimensions) : pour obtenir un n-octaèdre on relie entre eux les centres des faces (de dimension n-1) d'un n-cube.

L'hyperoctaèdre est , avec l'hypercube et le n-simplexe, un des trois seuls polytopes existant sous forme régulière dans toute dimension n. Les polytopes réguliers sont en effet une illimitété en dimension 2 (voir polygone régulier), 5 en dimension 3 (voir solide de Platon), 6 en dimension 4, et après ils ne sont plus que 3, comme Ludwig Schläfli l'a démontré.

Le symbole de Schläfli d'un n-octaèdre est de la forme {3, 3, 3, …, 3, 4} avec (n-1) chiffres.

Les coordonnées des sommets d'un hyperoctaèdre centré à l'origine sont obtenues en permutant les coordonnées (±1, 0, 0, 0, ..., 0, 0).

Les premiers hyperoctaèdres
Hyperoctaèdre	Carré	Octaèdre	Hexadécachore ou 16-cellules	5-octaèdre
Dimension	2	3	4	5
Sommets	4	6	8	10
Représentation

Hypervolume d'un hyperoctaèdre régulier

L'hypervolume d'un polytope est le contenu n-dimensionnel de ce polytope. Soit a son arête.

Pour construire un (n+1) -octaèdre, on relie les 2n sommets d'un n-octaèdre à un nouveau point au-dessus ainsi qu'à un nouveau point au-dessous.

Ainsi, un segment dont les extrémités sont reliées à un point au-dessus ainsi qu'à un point au-dessous donne un carré (on supposera que les points ont été positionnés de sorte à donner un hyperoctaèdre régulier).
Un carré dont les sommets sont reliés à un point au-dessus ainsi qu'à un point au-dessous donne un octaèdre.
Un octaèdre dont les sommets sont reliés à un point au-dessus ainsi qu'à un point en dessous (situés dans une autre dimension) donne bien un hexadécachore.

L'hyperoctaèdre est par conséquent une double hyperpyramide (à base hyperoctaédrique de dimension inférieure). Etant régulier dans le cas étudié, ses sommets sont tous sur une n-sphère circonscrite. Cette n-sphère circonscrite est aussi celle de ses faces hyperoctaèdriques de dimensions inférieures, car l'ensemble des sommets de l'hyperoctaèdre régulier sont dessus. Le rayon du centre de cette n-sphère aux sommets est par conséquent le même pour toute dimension n : $R_n = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

L'hypervolume est celui de deux hyper-pyramides de hauteur $R n$ . On en déduit par conséquent que l'hypervolume (le n-contenu) d'un n-octaèdre régulier d'arête a vaut :

$V_n = \frac{V_{n-1} \times R_n}{n} \times 2 = \frac{(a\sqrt{2})ˆn}{n!}$

Exemples :

Aire du carré : $V_2 = \frac{(a\sqrt{2})ˆ2}{1 \times 2} = aˆ2$
Volume de l'octaèdre régulier : $V_3 = \frac{(a\sqrt{2})ˆ3}{1 \times 2 \times 3} = \frac{aˆ3 \sqrt{2}}{3}$
Hypervolume de l'hexadécachore : $V_4 = \frac{(a\sqrt{2})ˆ4}{1 \times 2 \times 3 \times 4} = \frac{aˆ4}{6}$

...

(On suppose dans cette formule que l'unique n-octaèdre à ne pas avoir une longueur d'arête égale à a est le segment (1-octaèdre), qui a dans ce cas pour longueur $a\sqrt{2}$ (diagonale d'un carré) pour donner bien un carré de côté a avec la méthode de construction donnée)

L'octaèdre articulé

Il existe des octaèdres flexibles, ce sont les polyèdres déformables de taille minimale. Comme l'a prouvé Cauchy, ils ne peuvent pas être convexes^[2].

Annexes

Bibliographie

(en) H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Dover Publications, New York, 1973 (ISBN 0-486-61480-8) , p. 121–122 p. 296, Table I (iii) : Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)

Notes et références

↑ Les cinq éléments de Platon : Histoire du solide de Platon
↑ Voir Bricard R. Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé, in Journal de Mathématiques pures et appliquées, Liouville, tome 3 :113-148, 1897

Voir aussi

Autres polytopes :

Polytope

Hypercube, dual de l'hyperoctaèdre

n-simplexe

Liens externes

Articles MathWorld (en anglais) :
- Les hyperoctaèdres (polytopes croisés)
- L'hexadécachore ou 16-cellules

Solides géométriques
Les polyèdres
Les solides de Platon
Tétraèdre - Cube - Octaèdre - Icosaèdre - Dodécaèdre
Les solides d'Archimède
Tétraèdre tronqué - Cube tronqué - Octaèdre tronqué - Dodécaèdre tronqué - Icosaèdre tronqué - Cuboctaèdre - Cube adouci - Icosidodécaèdre - Dodécaèdre adouci - Petit rhombicuboctaèdre - Grand rhombicuboctaèdre - Petit rhombicosidodécaèdre - Grand rhombicosidodécaèdre
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Triakioctaèdre - Tétrakihexaèdre - Triakitétraèdre - Pentakidodécaèdre - Triaki-icosaèdre - Dodécaèdre rhombique - Icositétraèdre pentagonal - Triacontaèdre rhombique - Hexacontaèdre pentagonal - Icositétraèdre trapézoïdal - Hexakioctaèdre - Hexacontaèdre trapézoïdal - Hexaki icosaèdre
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