Nombres premiers entre eux

En mathématiques, on dit que des entiers a et b sont premiers entre eux, ou que a est premier avec b, s'ils n'ont aucun facteur premier en commun ; en d'autres termes, s'ils n'ont aucun diviseur autre que 1 et -1 en commun.



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Divisibilité et factorisation - Arithmétique élémentaire - Mathématiques élémentaires

En mathématiques, on dit que des entiers a et b sont premiers entre eux, ou que a est premier avec b, s'ils n'ont aucun facteur premier en commun ; en d'autres termes, s'ils n'ont aucun diviseur autre que 1 et -1 en commun. De manière équivalente, ils sont premiers entre eux si et uniquement si leur plus grand commun diviseur est égal à 1.

A titre d'exemple, 6 et 35 sont premiers entre eux, mais 6 et 27 ne le sont pas parce qu'ils sont l'ensemble des deux divisibles par 3.1 est premier avec tout entier ; 0 n'est pas premier.

Un moyen rapide pour déterminer si deux nombres entiers sont premiers entre eux est l'algorithme d'Euclide.

Propriétés

Théorème de Bachet de Méziriac-Bezout

Les entiers relatifs a et b sont dits premiers entre eux si et uniquement s'il existe des entiers relatifs x et y tels que ax + by = 1 (voir Théorème de Bachet-Bézout).

De façon équivalente, b a un inverse pour la multiplication modulo a : il existe un nombre entier y tel que by ≡ 1 (mod a).

Théorème de Gauss

Si a et b sont premiers entre eux et a divise un produit bc, alors a divise c.

Si a et b sont premiers entre eux et bxby (mod a), alors xy (mod a). En d'autres termes : b est simplifiable dans l'anneau Z/aZ des entiers modulo a.

Les deux entiers a et b sont premiers entre eux si et uniquement si le point de coordonnées (a, b) dans un repère cartésien est «visible» de l'origine (0, 0), dans le sens où il n'y a pas de point de coordonnées entières entre l'origine et (a, b).

La probabilité pour que deux nombres entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est égale à 6/π2 (Voir Pi).

Deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux si et uniquement si les nombres 2a-1 et 2b-1 sont premiers entre eux.

Extension à n nombres

n nombres A1, …, An sont premiers entre eux si leur plus grand commun diviseur vaut 1. (on a vu que le PGCD peut s'étendre à un nombre arbitraire d'entiers).

Ils sont premiers entre eux deux à deux si pour tout i différent de j, Ai et Aj sont premiers entre eux.

Note : la présence d'un couple de nombre premiers entre eux parmi n nombres est une condition suffisante, mais non indispensable, pour que ces n nombres soient premiers entre eux.

Exemple : 6, 14 et 21 sont premiers entre eux, mais aucun couple extrait de ce triplet n'est constitué de deux nombres premiers entre eux.

Généralisation

Des idéaux I et J d'un anneau commutatif A sont dits premiers entre eux si I + J = A. Cela généralise l'identité de Bézout. Si I et J sont premiers entre eux, alors IJ = IJ ; qui plus est , si K est un troisième parfait tel que I contient JK, alors I contient K.

Avec cette définition, des idéaux principaux (a) et (b) dans l'anneau des nombres entiers relatifs \mathbb Z sont premiers entre eux si et uniquement si a et b sont premiers entre eux.

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