Nombre triangulaire

Un nombre triangulaire est un nombre qui peut être représenté par un triangle équilatéral. Les premiers termes de la suite des nombres triangulaires sont ...



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Un nombre triangulaire est un nombre qui peut être représenté par un triangle équilatéral. Les premiers termes de la suite des nombres triangulaires (A000217 dans l'encyclopédie électronique des suites entières) sont :

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...
1 Triangular number 1.png
3 Triangular number 3.png
6 Triangular number 6.png
10 Triangular number 10.png
15 Triangular number 15.png

Puisque chaque ligne est d'une unité plus longue que la ligne précédente, nous pouvons remarquer qu'un nombre triangulaire est la somme de nombres entiers consécutifs.

Le nombre triangulaire de rang n est égal à

\frac{n(n + 1)}{2}\, ou
1+2+3+\ldots+(n-1)+n.

On reconnaît le cœfficient binomial C_{n+1}ˆ2.

Généralisation à la dimension n quelconque

Il est envisageable aussi de démontrer que pour tout simplexe de dimension n ayant des côtés de longueur x, le nombre de points qui composent le simplexe est égal à

 \frac {x(x+1)\cdots(x+(n-1))} {n!} .

A titre d'exemple, un tétraèdre ayant des côtés de longueur 2 comprend un nombre total de

\frac{2(2 + 1)(2 + 2)}{6}=4

points. Les quatre points formant cette configuration sont les sommets du tétraèdre. Remarquons qu'un tétraèdre peut être créé en considérant un nombre et en formant le triangle de rang ce nombre, puis en lui adjoignant l'ensemble des triangles de rang inférieur à ce dernier. Ainsi un tétraèdre de rang 2 peut se construire à partir d'un triangle de rang 2 contenant 3 points et d'un triangle de rang ayant 1 point. Ce tétraèdre comprendra au total 4 points.

Nombres triangulaires à 3 chiffres semblables

L'un des nombres triangulaires les plus célèbres est 666 obtenu pour n = 36, aussi connu sous le nom de nombre de la bête. D'ailleurs 6 et 66 sont aussi triangulaires - obtenus pour n respectivement égal à 3, 11 - mais pas 6666 !

On peut généraliser le cas de 6 et 666 à toute base de la forme b = 3k+1 (k entier > 0). Au lieu de 6, on prend t = k (k+1) /2 : alors T = t (b2+b+1) est aussi triangulaire, car T = m (m+1) /2 avec m = 6t. [Preuve : m (m+1) /2 = 3t (6t+1) et 3 (6t+1) = 3 (3k (k+1) +1) = 3 ( (b-1) (b+2) /3 + 1) = (b-1) (b+2) + 3 = b2+b+1. ] Ainsi, par exemple : en base 7,  :3 : et :333 : sont triangulaires -> en décimal : 3 et 171; et en base 16,  :F : et :FFF : le sont aussi (F désignant le nombre 15 en base 16) -> en déc.  : 15 et 4095 (= 212 - 1). Cela s'applique aux valeurs 4, 7, 10, 13, 16 de b; dès b=19, t devient > b, de sorte que :t : et :ttt : ne sont plus des représentations d'entiers en base b normales... (Dans ces exemples, les nombres notés :xyz : sont à considérer dans la base indiquée différente de 10. )

Propriétés générales

Tout nombre parfait pair est triangulaire. (Et on ignore toujours s'il existe un nombre parfait impair. )

La somme de deux nombres triangulaires consécutifs est un nombre carré. Ceci peut être démontré de la façon suivante :

la somme des nombres triangulaires de rang n et n-1 est égale à

\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n-1)}{2}

qui se développe en

\frac{nˆ2}{2}+\frac{n}{2}+\frac{nˆ2}{2}-\frac{n}{2}

et se simplifie en n2.

Cependant, il est envisageable de retrouver schématiquement ce résultat :

16 Square number 16 as sum of two triangular numbers.svg
25 Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg

Dans chacun des exemples ci-dessus, un carré est constitué de deux triangles superposés.

En outre, le carré d'un nombre triangulaire de rang n est égale à la somme des cubes des entiers naturels de 1 à n. Cette représentation d'un nombre avec concept issue de la géométrie élémentaire est particulièrement fréquente à l'apparition de l'algèbre, on nomme cette branche des mathématiques, l'algèbre géométrique. L'article associé montre comment calculer avec cette approche la somme des cubes.

En base 10, le résidu d'un nombre triangulaire est toujours égal à 1, 3, 6 ou 9. Donc chaque nombre triangulaire est ou bien divisible par trois ou bien a un reste égal à 1 une fois divisé par neuf.

6=3 \times 2, 10=9+1, 12=3 \times 4, 15=3 \times 5, 21=3 \times 7, 28=9 \times 3+1,

Les nombres triangulaires vérifient toutes sortes de relations avec d'autres nombres figurés, y compris avec des nombres figurés centrés. L'ensemble des fois qu'un nombre triangulaire est divisible par 3, le tiers de ce nombre est un nombre pentagonal. Tout autre nombre triangulaire est un nombre hexagonal. Un nombre hexagonal centré est égal à un nombre triangulaire multiplié par 6 plus 1. Un nombre carré centré est un nombre triangulaire multiplié par 4, plus 1.

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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