Nombre transcendant

En mathématiques, un nombre transcendant sur les rationnels est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale ...



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Nombre transcendant

En mathématiques, un nombre transcendant sur les rationnels est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale :

a_n∼xˆn + a_{n-1}∼xˆ{n-1} + \cdots + a_1∼xˆ1 + a_0 = 0\,

n \ge 1\, et les cœfficients a_i\, sont des nombres entiers (donc des rationnels), dont au moins l'un an est non nul. Un nombre réel ou complexe est par conséquent transcendant si et uniquement s'il n'est pas algébrique.

Les nombres transcendants ne sont par conséquent jamais rationnels. Néanmoins, l'ensemble des nombres irrationnels ne sont pas transcendants : la racine carrée de 2 est irrationnelle, mais est une solution de l'équation polynomiale xˆ2 - 2 = 0\,.

La totalité de l'ensemble des nombres transcendants est non dénombrable. La démonstration est simple : puisque les polynômes à cœfficients entiers sont dénombrables, et puisque chacun de ces polynômes possède un nombre fini de zéros, la totalité des nombres algébriques est dénombrable. Mais l'argument de la diagonale de Cantor établit que les nombres réels (et donc les nombres complexes aussi) sont non dénombrables, par conséquent la totalité de l'ensemble des nombres transcendants doit être non dénombrable. En d'autres termes, il y a bien plus de nombres transcendants que de nombres algébriques. Néanmoins, seules peu de classes de nombres transcendants sont connues et prouver qu'un nombre donné est transcendant peut être extrêmement complexe.

Résultats : considérons la totalité A des nombres algébriques réels. Alors :

  1. A est un sous-corps de \mathbb{R}\,. Surtout, A est stable par addition et multiplication.
  2. A est dénombrable, ce qui montre que A est différent de la totalité \mathbb{R}\, (les nombres transcendants existent bien).

Histoire

Leibniz fut certainement la première personne à croire en l'existence des nombres qui ne satisfont pas les polynômes à cœfficients rationnels. Le nom «transcendant» vient de Leibniz dans sa publication de 1682 où il démontra que sin (x) n'est pas une fonction algébrique de x. L'existence des nombres transcendants fut prouvée pour la première fois en 1844 par Joseph Liouville, qui montra des exemples, incluant la constante de Liouville :


c = \sum_{j=1}ˆ\infty 10ˆ{-j!} = 0,110001000000000000000001000\ldots

dans laquelle le n-ième chiffre après la virgule est 1 si n est une factorielle (l'un des nombres 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc. ) et 0 sinon ; ce nombre est spécifiquement bien approché par les nombres rationnels. Joseph Liouville montra que les nombres ayant cette propriété (que nous nommons désormais nombres de Liouville) sont tous transcendants ; on trouvera cette démonstration à l'article consacré à ces nombres.

Johann Heinrich Lambert, dans son article prouvant l'irrationalité de \pi\, conjectura que e\, et \pi\, étaient des nombres transcendants. Le premier nombre à avoir été démontré transcendant sans avoir été construit particulièrement pour cela fut e, par Charles Hermite en 1873. En 1874, Georg Cantor trouva l'argument décrit ci-dessus établissant l'ubiquité des nombres transcendants.

En 1882, Ferdinand von Lindemann publia une démonstration de la transcendance de \pi\,. Il montra en premier lieu que e à n'importe quelle puissance algébrique non nulle est transcendant, et puisque eˆ{i\pi} = -1\, est algébrique (voir identité d'Euler), i\pi\, et donc \pi\, doit être transcendant. Cette approche fut généralisée par Karl Weierstrass avec le théorème de Lindemann-Weierstrass. La transcendance de \pi\, a permis la démonstration de l'impossibilité de résoudre plusieurs problèmes anciens de construction géométrique avec le compas et la règle, incluant le plus célèbre d'entre eux, la quadrature du cercle.

En 1900, David Hilbert a posé une importante question à propos des nombres transcendants, connue sous le nom de septième problème de Hilbert : «Si a est un nombre algébrique non nul et différent de 1 et si b est un nombre algébrique irrationnel, alors le nombre aˆb\, est-il obligatoirement transcendant ?» La réponse, affirmative, fut donnée en 1934 par le théorème de Gelfond-Schneider. On peut obtenir aisément des nombres transcendants grâce à lui, par exemple 2ˆ{\sqrt{2}}\,.

Ce travail fut étendu par Alan Baker dans les années 1960.

Quelques nombres transcendants connus

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