Nombre surréel et pseudo-réel

En mathématiques, les nombres surréels sont un corps qui inclut l'ensemble des nombres réels, mais aussi l'ensemble des ordinaux transfinis et leurs inverses, respectivement plus grands et plus petits que n'importe quel nombre réel positif.



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Type de nombre - Théorie des ordres

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En mathématiques, les nombres surréels sont un corps qui inclut l'ensemble des nombres réels, mais aussi l'ensemble des ordinaux transfinis et leurs inverses, respectivement plus grands et plus petits que n'importe quel nombre réel positif.

Les nombres surréels ont été introduits par John Conway et popularisés par Donald Knuth en 1974 dans son ouvrage Surreal Numbers : How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness (Les nombres surréels : comment deux ex-étudiants se mirent aux mathématiques pures et trouvèrent le bonheur total) [1].

Les nombres pseudo-réels, aussi introduits par Knuth, sont un sur-ensemble des nombres surréels, construit avec des conditions plus faibles que ces derniers.

Nombres surréels

Présentation

La construction des nombres surréels est comparable à la construction des nombres réels via les coupures de Dedekind, mais utilise le concept de récurrence transfinie. Elle repose sur la construction de nouveaux nombres représentés grâce à deux ensembles de nombres déjà fabriqués, L et R (pour left et right, gauche et droite), peut-être vides. Le nouveau nombre ainsi construit, noté \left \{ L | R \right \}, sera plus grand que tout nombre de L et plus petit que tout nombre de R, selon un ordre qui sera défini plus loin. Pour que cela soit envisageable, on impose une restriction sur L et R : il faut que chaque nombre de L soit plus petit que chaque nombre de R.

Définition

Soient L et R deux ensembles de nombres surréels tels que :

Alors, \left \{ L | R \right \} est un nombre surréel.

Étant donné un nombre surréel X = \left \{ X_L | X_R \right \}, on nomme XL et XR la totalité de gauche et la totalité de droite de X, respectivement.

Pour éviter l'inflation d'accolades, on abrégera \left\{ \left\{X_{L_1}, X_{L_2}, \cdots \right\} | \left\{ X_{R_1},X_{R_2}, \cdots \right\} \right\} en \left\{ X_{L_1},X_{L_2},\cdots | X_{R_1},X_{R_2},\cdots \right\}, \left\{ \left\{ X_L \right\} | \emptyset \right\} en \left\{ X_L | \right\} et \left\{ \emptyset | \left\{ X_R \right\} \right\} en \left\{ | X_R \right\}.

On constate qu'il s'agit d'une définition récurrente ; ce point sera explicité plus tard.

Ordre

Pour que la définition ci-dessus ait un sens, il est indispensable de définir une relation binaire (notée ≤) sur les nombres surréels.

Soient deux nombres surréels X = \left \{ X_L | X_R \right \} et Y = \left \{ Y_L | Y_R \right \}. X\le Y si et uniquement si pour tout x\in X_L, on ne rencontre jamais Y\le x et si pour tout y\in Y_R, on n'a jamais y\le X.

Ici encore, cette définition est récurrente.

Cette relation ne définit qu'un pré-ordre car elle n'est pas antisymétrique (on peut avoir X\le Y et Y\le X sans que X = Y, c'est le cas par exemple avec \left\{ | \right\} et \left\{ -1|1 \right\}). Pour contourner ce problème, on définit une nouvelle relation sur les nombres surréels :

X == Y \Leftrightarrow X \le Y \wedge Y \le X.

Il s'agit d'une relation d'équivalence et l'ordre induit par \le sur les classes d'équivalences est un ordre total, une classe d'équivalence pouvant alors être reconnue comme un nombre unique.

Opérations

X+Y = \left\{ X_L+Y \cup X+Y_L | X_R+Y \cup X+Y_R \right\}
avec A+Y = \left\{ a+Y / a\in A \right\} et X+B = \left\{ X+b / b\in B \right\}.
-X = \left\{ -X_R | -X_L \right\}
avec -A = \left\{ -a / a\in A \right\}.
\begin{matrix} XY = & \left\{ (X_LY+XY_L-X_LY_L) \cup (X_RY+XY_R-X_RY_R) \right. \\ \ & | \left. (X_LY+XY_R-X_LY_R) \cup (X_RY+XY_L-X_RY_L) \right\} \end{matrix}
avec AB = \left\{ ab / a\in A \wedge b\in B \right\}.

Il est envisageable de montrer que ces opérations sont bien définies sur les nombres surréels. On peut les généraliser sans ambiguïté aux classes d'équivalence définie plus haut par :

Finalement, on peut montrer que ces opérations sur les classes d'équivalence définissent un corps ordonné, avec la mention qu'elles ne forment pas un ensemble, mais une classe propre. Il est envisageable de montrer qu'il s'agit du plus grand corps ordonné, c'est-à-dire que tout corps ordonné peut y être plongé.

À partir de désormais, on ne fera plus la distinction entre un nombre surréel et sa classe d'équivalence et on appellera directement cette dernière nombre surréel.

Construction

On l'a vu, les deux définitions précédentes utilisent le principe de récurrence. Il est envisageable d'utiliser la récurrence ordinaire, mais il est plus intéressant de prendre en compte la récurrence transfinie.

Il est aussi indispensable de créer un nombre surréel afin d'initier la récurrence ; \left\{ | \right\} peut être défini grâce à l'ensemble vide et répond à cette fonction.

Désignons par Nn, pour un ordinal n, la totalité des nombres surréels créés à l'étape n de la récurrence, en prenant N_0=\left\{ | \right\}. On nomme date de naissance d'un nombre surréel X le plus petit ordinal n tel que X \in N_n.

Les nombres surréels créés en un nombre fini d'étapes (par un raisonnement de récurrence ordinaire, par conséquent) sont assimilés aux rationnels dyadiques (c'est-à-dire les nombres p / 2n où p et n sont entiers).

Exemples

On définit de proche en proche :

0 = \left\{ | \right\}
1 = \left\{ 0 | \right\} et -1 = \left\{ | 0 \right\}
2 = 1+1 = \left\{ \left\{0,1\right\} | \right\}=\left\{ 1 | \right\} et -2 = \left\{ | -1 \right\}
\cdots
n+1 = \left\{ \left\{0,1,\cdots,n\right\} | \right\} = \left\{ n | \right\}.
{1 \over 2} = \left\{ 0 | 1 \right\}
{3 \over 2} = \left\{ 1 | 2 \right\}
{1 \over 4} = \left\{ 0 | {1 \over 2 } \right\}
\cdots
\omega = \left\{ \left\{0,1,2,3,\cdots\right\} | \right\} = \left\{ \mathbb N | \right\} qui est plus grand que n'importe quel nombre entier
\omega + 1 = \left\{ \omega | \right\}
\omegaˆ2 = \left\{ \left\{\omega, 2\omega, 3\omega, \cdots \right\} | \right\}
\omegaˆ\omega = \left\{ \left\{\omega, \omegaˆ2, \omegaˆ3, \cdots \right\} | \right\}

Mais également de nouveaux objets qui ne sont pas des ordinaux, comme

\omega - 1 = \left\{\left\{0,1,2,3,\cdots\right\}  | \omega \right\}
\omega - 2 = \left\{\left\{0,1,2,3,\cdots\right\}  | \omega-1 \right\}
\omega/2 = \left\{\left\{0,1,2,3,\cdots\right\}  | \left\{\omega,\omega-1,\omega-2,\cdots \right\}\right\}
\epsilon = \left\{ 0 | \left\{1, {1 \over 2}, {1 \over 3}, \cdots \right\} \right\} qui est strictement positif mais inférieur à tout 1 \over n, pour n entier positif.

On peut montrer que \epsilon \times \omega = 1.

Nombres pseudo-réels

On obtient les nombres pseudo-réels (pseudo-real numbers selon la terminologie de Knuth) au lieu des nombres surréels si on enlève la condition qu'aucun élément de la totalité de droite ne peut être inférieur où égal à un élément quelconque de la totalité de gauche. Les nombres surréels forment un sous-ensemble des nombres pseudo-réels.

Ces nombres pseudo-réels peuvent s'interpréter comme les valeurs de certains jeux. Ils sont à la base de la théorie combinatoire des jeux initiée par John Conway.

Voir aussi

Liens externes

Bibliographie

Référence

  1. Donald Ervin Knuth, Surreal Numbers : How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness : A Mathematical Novelette, Addison-Wesley Professional (1974) - ISBN 0201038129

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