Nombre rationnel

Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. Les nombres rationnels non entiers sont fréquemment notés a / b, où a et b sont deux entiers relatifs.



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Type de nombre - Théorie des corps - Fraction

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Ils sont composés des nombres rationnels par conséquent des entiers naturels, des entiers relatifs, des décimaux, des fractions, mais également des nombres irrationnels.... (source : maths-rometus)
  • Il existe une méthode permettant d'écrire un nombre rationnel sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers : 178, \overline{0} = rac {1780 - 178}{9... (source : techno-science)
  • PE1. FRACTIONS ET NOMBRES RATIONNELS. 1/6. FRACTIONS ET NOMBRES RATIONNELS. I. À QUOI SERVENT LES FRACTIONS ? 1. Les fractions servent à exprimer un partage... (source : eroditi.free)

Un nombre rationnel est , en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. Les nombres rationnels non entiers (fréquemment nommés fractions) sont fréquemment notés a/b, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul). On nomme a le numérateur et b le dénominateur.

Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une illimitété de manière différente, comme 1/2=2/4=3/6=etc. Mais il existe une forme privilégiée, lorsque a et b n'ont pas de diviseurs communs autre que 1 (ils sont premiers entre eux). Tout nombre rationnel non nul possède précisément une seule forme de ce type avec un dénominateur positif. On parle alors de fraction irréductible.

Le développement décimal d'un nombre rationnel est toujours périodique au bout d'une certaine décimale (par exemple dans le cas d'une écriture décimale finie, le rajout de zéros assure la périodicité). Cela est vrai dans n'importe quelle base. Réciproquement, si un nombre possède un développement décimal périodique dans au moins une base, alors c'est un nombre rationnel.

Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. La totalité des nombres rationnels est un corps, noté \mathbb{Q}, qu'on peut noter formellement :

 \mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n}\,|\, (m,n) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}-\{0\} \right\},

\mathbb{Z} est l'anneau des entiers.

Développement décimal

Comme l'ensemble des réels, les rationnels admettent une représentation en développement décimal infini. Le développement décimal des nombres rationnels a la particularité d'être périodique. C'est-à-dire qu'il existe un suffixe constitué d'une séquence finie de chiffres se répétant continuellement. Cette séquence est nommée : «période du développement décimal infini».

Le développement décimal infini d'un nombre réel, et a fortiori d'un nombre rationnel, est unique si on s'interdit de finir par une séquence périodique composée de'9'. En effet, dans ce dernier cas, il existera une écriture équivalente se terminant par une période composée de'0', et mieux toujours, un développement décimal limité équivalent.

Conventionnellement, quand nous écrivons un nombre avec les chiffres arabes dans le dispositif décimal nous traçons, s'il y a lieu, une barre horizontale au-dessous de la séquence périodique. Il est aussi envisageable de mettre un point au-dessus de chaque chiffre de la période, mais cette notation est nettement moins utilisée.

Quand une période est indiquée nous devons faire référence à un nombre rationnel et c'est pour cette raison que d'une manière rigoureuse :

1 = 1,\underline{0}... = 0,\underline{9}... = 0,99999...
\frac{1}{3} = 0,\underline{3}... = \lim_{x\rightarrow +\infty} \left( \sum_{n=1}ˆ{x} \frac{3}{10ˆn} \right)

Le développement décimal infini d'un nombre rationnel est périodique, et réciproquement, un nombre à développement décimal périodique est toujours rationnel. Ce critère est néanmoins mal commode pour évaluer la rationalité d'un nombre. Un deuxième critère est donnée par la fraction continue. Un nombre est rationnel si et uniquement si son développement en fraction continue est fini. Cette méthode est à l'origine des premières démonstrations de l'irrationalité de e la base du logarithme népérien et de π.

Ainsi, le nombre 0,12\,122\,1222\,12222...\, (où on a des séquences de'2'de plus en plus longues) est irrationnel car il n'y a pas de période.

Arithmétique des rationnels

Deux nombres rationnels a/b et c/d sont égaux si et uniquement si ad=bc.

L'addition est donnée par :

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}.

La multiplication par :

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.

L'opposé et l'inverse par

 - \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} \quad\mbox{et}\quad 
        \left(\frac{a}{b}\right)ˆ{-1} = \frac{b}{a} \mbox{ si } a \neq 0.


On en déduit que le quotient est donné par :

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}.

Fraction égyptienne

Article détaillé : Fraction égyptienne.

Tout nombre rationnel positif peut s'exprimer comme somme d'inverses différents d'entiers naturels. A titre d'exemple, on a :

\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21}.

Construction formelle

Article détaillé : Construction des nombres rationnels.
Konstruktionen 007.jpg

On peut voir un nombre rationnel comme la classe d'équivalence d'une paire ordonnée d'entiers, par la relation d'équivalence suivante :

\forall \left(a,b\right) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\},\forall \left(c,d\right) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\},\ (a,b)\,\mathcal{R}\,(c,d) \Longleftrightarrow ad=bc.

On note alors \mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\}/\mathcal{R}, c'est-à-dire que la totalité des nombres rationnels est le quotient de \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\} par la relation d'équivalence.

On peut ensuite injecter les entiers dans les rationnels, et définir des lois de composition interne pour se donner une structure de corps.

Cette construction est valable à partir de n'importe quel anneau intègre, on parle alors de corps des fractions.

Propriétés

La dénombrabilité des rationnels strictement positifs

La totalité \mathbb{Q}, pourvus des lois d'addition et de multiplication données plus haut, forme un corps, le corps des fractions des entiers \mathbb{Z}.

Les rationnels sont le plus petit corps de caractéristique nulle. Tout autre corps de caractéristique nulle contient une copie de \mathbb{Q}.

La clôture algébrique de \mathbb{Q}, c'est-à-dire le corps des racines des polynômes à cœfficients rationnels est la totalité des nombres algébriques.

La totalité des rationnels est dénombrable. Or par l'argument de la diagonale de Cantor, nous savons que le corps des nombres réels ne l'est pas. On dit tandis que les nombres réels sont presque tous irrationnels, au sens de la mesure de Lebesgue. On dit que \mathbb{Q} est un ensemble négligeable.

La fonction f suivante, bijective de \mathbb{N} dans \mathbb{Q}ˆ+, donne l'ensemble des nombres rationnels positifs ou nuls, avec le numérateur et le dénominateur toujours premiers entre eux par construction. Elle est inspirée des suites de Farey :

\begin{cases}
f(0) = 0 \\
f(2n) = \frac{1}{f(n)+1} \\
f(2n+1) = f(n)+1
\end{cases}

Elle s'inverse par la fonction g suivante :

<img class=Topologie

Muni de la valeur absolue, la totalité \mathbb{Q} est un espace métrique. Cet ensemble est dense dans la totalité des nombres réels, c'est-à-dire que l'adhérence de \mathbb{Q} est \mathbb{R}. Les nombres rationnels ne forment par conséquent pas un espace complet.

Nombre p-adique

On peut pourvur \mathbb{Q} d'une autre métrique.

Soit p un nombre premier et notons, pour tout entier non nul a :

| a | p = p n,

pn est la plus grande puissance de p divisant a.

Arbitrairement, on pose | 0 | p = 0. Puis pour chaque nombre rationnel a / b, on pose :\left|\frac{a}{b}\right|_p = \frac{|a|_p}{|b|_p}.

Alors d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p définit un espace métrique.

L'espace métrique \left(\mathbb{Q}, d_p\right) n'est pas complet, et sa complétion est le corps des nombres p-adique \mathbb{Q}_p. Le théorème d'Ostrowski montre que toute valeur absolue non triviale sur \mathbb{Q} est équivalente, soit à la valeur absolue usuelle, soit à une valeur absolue p-adique.

Voir aussi

Liens externes

  • Le logiciel PC Fraction calcule des fractions égyptiennes, partielles, pythagoréennes, dyadiques (binaires) etc.


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