Nombre premier de Mersenne

En mathématiques et plus exactement en arithmétique modulaire, un nombre premier de Mersenne est un nombre premier s'écrivant sous la forme 2 p - 1, p étant premier.

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Marin Mersenne

En mathématiques et plus exactement en arithmétique modulaire, un nombre premier de Mersenne est un nombre premier s'écrivant sous la forme 2^p - 1, p étant premier. Ces nombres premiers doivent leur nom à un érudit et mathématicien français du XVII^e siècle, Marin Mersenne. Les nombres premiers de Mersenne sont , en base 2 (binaire), les répunits qui sont premiers.

D'une façon plus générale, les nombres de Mersenne (pas obligatoirement premiers, mais candidats à l'être) sont les nombres de la forme 2^p - 1, avec p premier. On utilise la notation M_p = 2^p - 1.

Les plus petits nombres premiers de Mersenne sont :

3 = 2²-1
7 = 2³-1
31 = 2⁵-1
127 = 2⁷-1
Mais 2047 = 2¹¹-1 = 23 x 89 est un nombre de Mersenne, mais non premier.

On démontre qu'un entier de la forme 2ⁿ-1 ne peut pas être premier si n n'est pas lui-même premier. Ainsi 2⁴-1=15 n'est pas de Mersenne, ni premier.

Propriétés des nombres de Mersenne

Les nombres de Mersenne ont les propriétés suivantes :

Si $n$ n'est pas premier (par exemple le produit $n = q p$ où ni $q$ , ni $p$ n'est égal à 1) alors le nombre $2 q p - 1$ n'est pas premier.

En effet, en remarquant que la suite des $q$ premiers termes de la suite géométrique $(2ˆp)_{p \ge 0}$ est égale à :

$\displaystyle 1+2ˆp+(2ˆ{p})ˆ2+...+(2ˆ{p})ˆ{q-1} = \frac{2ˆ{q p}-1}{2ˆp -1}$ , on prouve que $\displaystyle 2ˆ{q p}-1$ est divisible par $\displaystyle 2ˆp -1$ qui est différent de 1 dès que p est aussi différent de 1.

Remarque : on peut aussi utiliser la formule $\displaystyle 1+2ˆq+(2ˆ{q})ˆ2+...+(2ˆ{q})ˆ{p-1} = \frac{2ˆ{q p}-1}{2ˆq -1}$ , pour prouver ce résultat.

Ainsi, quand on cherche des nombres premiers via les nombres de Mersenne, on sait déjà qu'il faut éviter les candidats comme $\displaystyle 2ˆ4 -1$ (i. e. 15), $\displaystyle 2ˆ6 -1$ (i. e. 63) ou $\displaystyle 2ˆ9 -1$ (i. e. 511 = $7 \times 73$ ).

L'idée est désormais d'affuter les critères de sélection des nombres premiers $\displaystyle p$ ...

M_n est la somme de cœfficients binomiaux moins 1 : $M_n = \sum_{i=0}ˆ{n} {n \choose i} - 1$ .

Si a divise M_q (q premier) alors a possède les propriétés suivantes : $a \equiv 1 [2q]$ , et : $a \equiv \pm 1 [8]$ .

Un théorème d'Euler entraîne que : M_q (q premier) est premier si et uniquement s'il existe une unique paire $(x, y)$ telle que : $M q = (2 x) 2 + 3 (3 y) 2$ avec q >= 5. Particulièrement il y a peu de temps, Bas Jansen a étudié $M q = x 2 + d y 2$ pour d=0, 48.

Soit q = 3 (mod 4) premier. $2 q + 1$ est aussi premier si et uniquement si : 2q+1 divise M_q.

Reix a récemment montré que les nombres de Mersenne M_q (q premier > 3), premiers ou non, s'écrivent : $M q = (8 x) 2 - (3 q y) 2 = (1 + S q) 2 - (D q) 2$ . Bien entendu, si la paire (x, y) est unique, alors M_q est premier.

Ramanujan a montré que l'équation : $M q = 6 + x 2$ a uniquement trois solutions où q est premier : 3, 5, et 7 (et deux solutions où q est non premier).

Tous les facteurs premiers d'un nombre de Mersenne associé au nombre premier p sont de la forme kp+1 où k est un entier naturel. Deux nombres de Mersenne différents sont toujours premiers entre eux.

Historique

Les nombres premiers de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, qui sont les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs propres. C'est cette connexion qui a motivé historiquement l'étude des nombres premiers de Mersenne. Dès le IV^e siècle av. J. -C. , Euclide démontrait que si M = 2^p - 1 est un nombre premier, alors M (M+1) /2 = 2^(p-1) (2^p - 1) est un nombre parfait. Deux millénaires plus tard, au XVIII^e siècle, Euler prouvait que l'ensemble des nombres parfaits pairs ont cette forme. Aucun nombre parfait impair n'est connu.

M_a divise M_p si a divise p. Par conséquent pour que M_p soit premier, il faut que p soit premier. Cela simplifie déjà la recherche de nombres premiers de Mersenne. La réciproque n'est pas vraie : M_p peut être composé tandis que p est premier ; le plus petit exemple est 2¹¹-1 = 23×89.

Pour les nombres de Mersenne il existe une méthode (comparativement) particulièrement rapide pour déterminer s'ils sont premiers, développée à l'origine par Lucas en 1878 et perfectionnée par Derrick Lehmer dans les années 1930. On peut effectivement montrer que pour un nombre premier p impair $M p = 2 p - 1$ est premier si et uniquement si $M p$ divise $S p - 1$ , où $S 1 = 4$ et pour k > 1, $S_{k+1} = S_{k}ˆ2 -2$ .

Mersenne n'a pas découvert les nombres de Mersenne, mais il a apporté une liste de nombres premiers de Mersenne jusqu'à l'exposant 257. Malheureusement cette liste était fausse : elle incluait par erreur 67 et 257, et omettait 61, 89 et 107.

Les quatre premiers nombres premiers de Mersenne étaient connus dès l'Antiquité. Le cinquième (2¹³-1) a été découvert avant 1461 par un inconnu. Les deux suivants ont été trouvés par Cataldi en 1588. Plus d'un siècle plus tard, en 1750, Euler en trouva toujours un. Le suivant dans l'ordre chronologique (mais non numérique) a été trouvé par Lucas en 1876, puis un par Pervushin en 1883. Deux autres ont été trouvés au début du XX^e siècle par Powers en 1911 et en 1914.

La recherche pour les nombres premiers de Mersenne fut révolutionnée par l'introduction des calculateurs électroniques. La première identification d'un nombre de Mersenne par ce moyen eut lieu à 22 heures le 30 janvier 1952 par un ordinateur SWAC à l'Institut d'Analyse Numérique (Institute for Numerical Analysis) du campus de Université de Californie - Los Angeles, sous la direction de Derrick Lehmer, avec un programme rédigé par R. M. Robinson.

C'était le premier nombre premier de Mersenne identifié depuis 38 ans. Le suivant fut trouvé moins de deux heures plus tard par le même ordinateur, qui en trouva trois de plus dans les mois suivants.

En juin 2009, 47 nombres premiers de Mersenne étaient connus, le plus grand étant 2^43 112 609-1. Comme plusieurs de ses prédécesseurs, il a été découvert par un calcul distribué sous l'égide du projet GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search (qui veut dire «grande recherche par Internet de nombres premiers de Mersenne»).

Liste

En juin 2009, 47 nombres premiers de Mersenne M_p=2^p-1 étaient connus.

#	p	M_p	Nombre de chiffres	Date de découverte	Découvreur
1	2	3	1	Antiquité	Inconnu
2	3	7	1	Antiquité	Inconnu
3	5	31	2	Antiquité	Inconnu
4	7	127	3	Antiquité	Inconnu
5	13	4	XIII^e siècle
6	17	6	1588	Cataldi
7	19	6	1588	Cataldi
8	31	2 147 483 647	10	1750	Euler
9	61	2 305 843 009 213 693 951	19	1883	Pervushin
10	89	618970019…449562111	27	1911
11	107	162259276…010288127	33	1914	Powers
12	127	170141183…884105727	39	1876	Lucas
13	521	686479766…115057151	157	30 janvier 1952
14	607	531137992…031728127	183	30 janvier 1952	Robinson (Swac)
15	1 279	104079321…168729087	386	25 juin 1952	Robinson (Swac)
16	2 203	147597991…697771007	664	7 octobre 1952	Robinson (Swac)
17	2 281	446087557…132836351	687	9 octobre 1952	Robinson (Swac)
18	3 217	259117086…909315071	969	8 septembre 1957
19	4 253	190797007…350484991	1 281	3 novembre 1961
20	4 423	285542542…608580607	1 332	3 novembre 1961	Hurwitz (IBM)
21	9 689	478220278…225754111	2 917	11 mai 1963
22	9 941	346088282…789463551	2 993	16 mai 1963	Gillies (Illiac)
23	11 213	281411201…696392191	3 376	2 juin 1963	Gillies (Illiac)
24	19 937	431542479…968041471	6 002	4 mars 1971
25	21 701	448679166…511882751	6 533	30 octobre 1978
26	23 209	402874115…779264511	6 987	9 février 1979	Noll (CDC)
27	44 497	854509824…011228671	13 395	8 avril 1979
28	86 243	536927995…433438207	25 962	25 septembre 1982	Slowinski (Cray)
29	110 503	521928313…465515007	33 265	28 janvier 1988
30	132 049	512740276…730061311	39 751	19 septembre 1983	Slowinski (Cray)
31	216 091	746093103…815528447	65 050	1^er septembre 1985	Slowinski (Cray)
32	756 839	174135906…544677887	227 832	19 février 1992
33	859 433	129498125…500142591	258 716	10 janvier 1994	Slowinski & Gage
34	1 257 787	412245773…089366527	378 632	3 septembre 1996	Slowinski & Gage
35	1 398 269	814717564…451315711	420 921	13 novembre 1996	GIMPS / Jœl Armengaud
36	2 976 221	623340076…729201151	895 932	24 août 1997	GIMPS / Gordon Spence
37	3 021 377	127411683…024694271	909 526	27 janvier 1998	GIMPS / Roland Clarkson
38	6 972 593	437075744…924193791	2 098 960	1^er juin 1999	GIMPS / Nayan Hajratwala
39	13 466 917	924947738…256259071	4 053 946	14 novembre 2001	GIMPS / Michæl Cameron
40^{[N 1]}	20 996 011	125976895…855682047	6 320 430	17 novembre 2003	GIMPS / Michæl Shafer
41^{[N 1]}	24 036 583	299410429…733969407	7 235 733	15 mai 2004	GIMPS / Josh Findley
42^{[N 1]}	25 964 951	122164630…577077247	7 816 230	18 février 2005	GIMPS / Martin Nowak
43^{[N 1]}	30 402 457	315416475…652943871	9 152 052	15 décembre 2005	GIMPS/ Cooper & Boone
44^{[N 1]}	32 582 657	124575026…053967871	9 808 358	4 septembre 2006	GIMPS/ Cooper & Boone
45^{[N 1]}	37 156 667	202254405…308220927	11 185 272	6 septembre 2008	GIMPS / Elvenich^[1]
46^{[N 1]}	42 643 801	169873516…562314751	12 837 064	12 avril 2009	GIMPS / Odd Magnar Strindmo
47^{[N 1]}	43 112 609	316470267…697152511	12 978 189	23 août 2008	GIMPS / Smith^[1]

Note

On ne sait pas s'il existe ou non un ou plusieurs autres nombres premiers de Mersenne entre le 39^e (M_13 466 917) et le 47^e (M_43 112 609). Dans cet intervalle, le classement est par conséquent provisoire. Déjà le 29^e nombre premier de Mersenne fut découvert après le 30^e et le 31^e, de même que M_43 112 609 fut découvert quinze jours avant M_37 156 667, plus petit. De même le 46^e (M_42 643 801) a été découvert neuf mois après le 47^e (M_43 112 609).

Voir aussi

Liens externes

(en) Page d'accueil du GIMPS, Découverte des 45^e et 46^e nombres premiers de Mersenne

(en) http ://www. utm. edu/research/primes/mersenne. shtml
(en) Découverte du 42^e
(en) M_q = (8x) ² - (3qy) ² Preuve
(en) Nombres de Mersenne
(en) Nombres de Mersenne premiers
(en) M_q = x² + d. y²

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