Nombre parfait

Un nombre parfait est un nombre naturel n non nul qui est égal à la somme de ses diviseurs stricts, c'est à dire, tel que où σ est la somme des diviseurs entiers positifs de n, n non compris.



Catégories :

Propriété arithmétique - Divisibilité et factorisation - Arithmétique élémentaire - Mathématiques élémentaires - Nombre premier de Mersenne

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • expose une façon de générer des nombres parfaits : "Quand la somme d'une suite de nombres doubles les uns des autres est un nombre premier, ... (source : ymonka.free)

Un nombre parfait est un nombre naturel n non nul qui est égal à la somme de ses diviseurs stricts, c'est à dire, tel que \sigma(n) = n \,σ (n) est la somme des diviseurs entiers positifs de n, n non compris.

Le premier nombre parfait est 6, car 1, 2, et 3 sont les diviseurs stricts de 6 et 1 + 2 + 3 = 6.

Nombres parfaits pairs

Dans le Livre IX de ses Éléments, le mathématicien Euclide, au IIIe siècle av. J. -C. , a prouvé que si M=2ˆp-1\, est premier, alors \left ( \frac{M+1}{2} \right )\cdot M = 2ˆ{p-1}(2ˆp - 1) est parfait.

Ainsi :

D'autre part, Leonhard Euler, au XVIIIe siècle, a prouvé que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est par conséquent liée à celle des nombres premiers de Mersenne (nombres premiers de la forme 2p-1).

Il est établi que tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou un 8, mais pas nécessairement en alternance.

En 2000, Douglas Iannucci a démontré que l'ensemble des nombres pairs parfaits sont des nombres de Kaprekar en base deux [1].

Les nombres parfaits pairs étant de la forme 2n−1 (2n − 1), ce sont des nombres triangulaires, et comme tels la somme des nombres naturels jusqu'à un certain point, en l'occurrence 2n − 1. De plus l'ensemble des nombres parfaits pairs, excepté le premier, sont la somme des 2 (n−1) /2 premiers cubes impairs :

 6 = 2ˆ1(2ˆ2-1) = 1+2+3, \,
 28 = 2ˆ2(2ˆ3-1) = 1+2+3+4+5+6+7 = 1ˆ3+3ˆ3, \,
 496 = 2ˆ4(2ˆ5-1) = 1+2+3+\cdots+29+30+31 = 1ˆ3+3ˆ3+5ˆ3+7ˆ3, \,
 8128 = 2ˆ6(2ˆ7-1) = 1+2+3+\cdots+125+126+127 = 1ˆ3+3ˆ3+5ˆ3+7ˆ3+9ˆ3+11ˆ3+13ˆ3+15ˆ3. \,

Le reste de la division d'un nombre parfait pair (à l'exception de 6) par 9 vaut 1. Ceci veut dire que le résidu d'un tel nombre vaut 1. A titre d'exemple, le résidu de 8128 vaut 1, puisque 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10, et 1 + 0 = 1.

Nombres parfaits impairs

En 2009, les mathématiciens ignorent si des nombres parfaits impairs existent. Différents travaux ont été entrepris mais aucun ne permet d'affirmer ou d'infirmer leur existence. Carl Pomerance a présenté une méthode heuristique qui suggère qu'aucun nombre parfait impair n'existe[2].

Un nombre parfait impair N doit remplir les conditions suivantes :

Exemples

Les 4 premiers nombres parfaits sont connus depuis l'antiquité. Depuis, le total est passé à 46 nombres parfaits uniquement (au 7 octobre 2008).

Les douze premiers nombres parfaits sont :

Propriétés mineures

Comme on l'a vu auparavant les nombres parfaits pairs ont une forme bien précise et les nombres parfaits impairs sont rares si tant est qu'ils existent. Il existe un certain nombre de propriétés simples à démontrer sur les nombres parfaits :

Notions apparentées

Si la somme des diviseurs est plus petite que le nombre, ce nombre est dit déficient. Dans le cas où la somme est plus grande, le nombre est dit abondant. Ces termes sont issus de la numérologie grecque. Un couple de nombres dont chacun est la somme des diviseurs de l'autre est dit amical, les cycles plus étendus sont dits sociables. Un entier positif tel que chaque entier inférieur est la somme de diviseurs différents du premier nombre est dit pratique.

Notes et références

  1. (en) Douglas E. Iannucci The Kaprekar Numbers. Journal of Integer Sequences 3, 2000, Article 00.1.2.
  2. Oddperfect. org
  3. Oddperfect. org

Voir aussi

Liens externes


Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de factorisation : Nombre premier · Nombre composé · Nombre puissant · Entier sans facteur carré
Sommes de diviseurs : Nombre parfait · Nombre presque parfait · Nombre quasi parfait · Nombre parfait multiple · Nombre hyperparfait · Nombre parfait unitaire · Nombre semi-parfait · Nombre semi-parfait primitif · Nombre pratique
Nombres de diviseurs :
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