Nombre ordinal

En linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. se nomment des adjectifs numéraux ordinaux qui servent à préciser le rang d'un objet dans une collection ou l'ordre d'un événement dans une succession.



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Type de nombre - Nombre transfini - Théorie des ordres - Théorie des ensembles

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Le concept de nombre ordinal est calqué sur les propriétés de l'ordre courant dans N... Cantor n'hésite pas à noter w l'ordinal de la totalité des entiers... (source : serge.mehl.free)
  • ... Un nombre ordinal est invariable : la page quatre-vingt (80), l'année mille.... qu'aux nombres désignant des quantités, et pas aux nombres ordinaux..... la totalité des mots utilisés (le programme ignore les mots et , ... (source : miakinen)
  • D'une part, la théorie cardinale est intégrée à la théorie ordinale, le nombre cardinal est réduit au nombre ordinal. D'autre part, le nombre ordinal est ... (source : books.google)

En linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. se nomment des adjectifs numéraux ordinaux qui servent à préciser le rang d'un objet dans une collection ou l'ordre d'un événement dans une succession. Cette notion se généralise en mathématiques pour qualifier le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné quelconque, plutôt que son «étendue» laquelle est mesurée par sa cardinalité : l'ensemble des cardinaux sont aussi des ordinaux mais la réciproque n'est pas vraie. Un ordinal peut être fini ou bien illimité. Ce concept a été découvert par Georg Cantor.

Introduction

Un entier naturel est parfois utilisé dans deux buts : décrire la taille d'un ensemble, ou donner la position d'un élément dans une suite ordonnée. Dans le cas fini, ces notions correspondent respectivement aux adjectifs numéraux cardinaux (un, deux, trois, ... ) et ordinaux (premier, deuxième, troisième, ... ) et sont particulièrement identiques. Cependant, dans le cas illimité, on est amené à distinguer soigneusement nombre cardinal et nombre ordinal.

Si la notion de cardinal est associée à un ensemble sans structure spécifique, les ordinaux sont intimement liés à un ordre sur les éléments de cet ensemble, et surtout un bon ordre. Brièvement, un ensemble bien ordonné est un ensemble dans lequel toute partie non vide admet un plus petit élément. Le plus petit élément de la totalité est noté 0, le suivant 1, le suivant 2, mais dès que la totalité est illimité une notation adaptée est indispensable pour désigner dans l'ordre l'ensemble des éléments de la totalité.

Considérons par exemple la totalité des entiers strictement positifs ordonné selon une variante de l'ordre de Sarkovski (ce dernier n'est pas un bon ordre). Disposons en premier lieu les entiers impairs, puis les impairs multipliés par 2, puis par 4, etc.

1 \;\triangleleft\; 3 \;\triangleleft\; 5 \;\triangleleft\; 7 \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2 \;\triangleleft\; 2\times 3 \;\triangleleft\; 2\times 5 \;\triangleleft\; 2\times 7 \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2ˆn \;\triangleleft\; 2ˆn\times 3 \;\triangleleft\; 2ˆn\times 5 \;\triangleleft\; 2ˆn\times 7 \;\triangleleft\; \ldots
Représentation graphique d'une variante de l'ordre de Sarkovski. Chaque barre correspond à un ordinal de la forme ω·m+nm et n sont des entiers naturels.

1, 3, 5, 7, etc. occupent respectivement les positions 0, 1, 2, 3, etc.

2 est le plus petit élément se trouvant après une illimitété d'éléments. Du point de vue ordinal, il occupe une position notée ω.

2 × 3 est l'élément qui suit ω et occupe la place notée ω + 1, etc.

4 est le plus petit élément se trouvant après une double illimitété d'éléments. Il occupe la place ω2. D'une façon plus générale 2n occupe la place ωn. Si on disposait des éléments supplémentaires à la suite des éléments qui ont précédé, ils se trouveraient après une illimitété d'illimités, par conséquent occuperaient les positions ω2, ω2 + 1, et ainsi de suite.

Définition

On définit un nombre ordinal par l'une des deux manières qui suivent. La seconde traduit le fait qu'un ordinal est défini par la totalité des ordinaux qui le précèdent :

(i) La relation d'appartenance ∈ est un bon ordre strict sur lui.
(ii) Il est transitif, ce qui veut dire que : \forall x ( x \in \alpha \Longrightarrow x \subset \alpha ).

C'est cette dernière définition que nous adopterons dans la suite de l'article. Habituellement, les ordinaux sont désignés par des lettres grecques, les ensembles généralement par des lettres latines.

En appliquant la définition précédente, les entiers naturels peuvent être fabriqués de la façon suivante :

0 = {} (ensemble vide)
n+1 = n U {n}

Un entier positif est ainsi identifié à la totalité de ses prédécesseurs sur N. Exemples :

1 = {0} = { {} }
2 = {0, 1} = { {}, { {} } }
3 = {0, 1, 2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}
4 = {0, 1, 2, 3} = { {}, { {} }, { {}, { {} } }, {{}, { {} }, { {}, { {} } }} } etc.

De cette manière, tout entier naturel est un ensemble bien ordonné par la relation d'appartenance \in, et l'inclusion des ensembles se traduit par un ordre sur les entiers naturels.

L'existence des ordinaux illimités est assuré par l'axiome de l'infini. Le premier nombre ordinal transfini (i. e. illimité) est noté ω. Il correspond à la totalité des nombres entiers naturels \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}.

L'ordinal qui suit est \omega \cup \{\omega\}, noté ω + 1.

Pour définir une notation adaptée aux ordinaux suivants, nous aurons besoin de définir des opérations arithmétiques sur les ordinaux.

Les ordinaux sont complètement ordonnés au sens large par l'inclusion ou au sens strict par l'appartenance, mais ne forment pas un ensemble au sens des axiomes ZFC (la théorie des ensembles habituelle), mais une classe propre. Ceci peut-être mis en évidence grâce au paradoxe de Burali-Forti : la totalité des ordinaux serait par définition un ordinal... mais qui serait strictement plus grand (aussi par définition) que l'ensemble des ordinaux. Et par conséquent que lui-même, ce qui est contradictoire.

Propriétés

On montre que :

ou bien α possède un élément maximal β. Alors \cup(\alpha) = \beta \in \alpha, mais \beta + 1 \notin \alpha (puisque β est maximal), par conséquent β + 1 = α.
ou bien α ne possède pas d'élément maximal. Alors \cup(\alpha) \notin \alpha et on montre tandis que \cup(\alpha) = \alpha. Dans ce dernier cas, on dit que α est un ordinal limite. Un exemple d'un tel ordinal est donné par ω, plus petit ordinal illimité.
(\forall \beta < \alpha, \varphi(\beta)) \Longrightarrow \varphi(\alpha)
alors \varphi(\alpha) est vraie pour l'ensemble des ordinaux. Dans le cas opposé, il suffirait de considérer le plus petit ordinal α tel que \varphi(\alpha) soit fausse pour obtenir une contradiction.
On utilise fréquemment une variante de ce principe pour définir une fonction \alpha \to f(\alpha) sur les ordinaux par récurrence. Il suffit de donner trois cas ;
  • Cas de base : f (0) = X0X0 est un ensemble donné ;
  • Cas successeur : f (α + 1) = g (α, f (α) ) g est une fonction donnée ;
  • Cas limite : f(\lambda) = \bigcup_{\alpha<\lambda}f(\alpha).
Les deux premiers cas sont les deux usuels de la récurrence sur les entiers, le troisième est indispensable pour étendre le schéma à l'ensemble des ordinaux.

Opérations arithmétiques sur les ordinaux

On peut étendre les trois opérations arithmétiques de somme, produit et exponentiation à l'ensemble des ordinaux ; dans chaque cas il y a deux manières de définir l'opération.

Méthode intrinsèque 
On utilise les deux opérandes pour construire un ensemble ordonné dont on montre qu'il s'agit d'un bon ordre. Il y a par conséquent un unique ordinal isomorphe à cet ordre, qui est par définition le résultat de l'opération. Cette méthode est plus constructive que la suivante mais moins aisée à utiliser en pratique.
Récurrence transfinie 
L'opération est définie par récurrence sur l'un des deux opérandes. Les deux premiers cas de la récurrence (cas de base et successeur) sont les mêmes que pour les entiers ce qui montre que l'opération est une extension de sa version arithmétique. Cette méthode sert à aisément démontrer les propriétés élémentaires de l'opération, par exemple l'associativité de la somme et du produit.

Addition

Pour définir la somme de deux ordinaux α et β, on procède comme suit. En premier lieu on renomme les éléments de β de manière à ce qu'ils soient différents de ceux de α, ensuite, les éléments de l'ordinal α dans l'ordre sont écrits à gauche des éléments de β, de sorte qu'on définit un ordre sur \alpha \cup \beta dans lequel tout élément de α est strictement plus petit que tout élément de β. Les ordinaux α et β conservent leur ordre d'origine.

Plus exactement on considère l'union disjointe \alpha\uplus\beta de α et β, c'est-à-dire la totalité (\{0\}\times\alpha)\cup(\{1\}\times\beta) qu'on ordonne lexicographiquement : (i, γ) < (j, γ') ssi i < j ou i = j et γ < ?'.

De cette façon, on définit un bon ordre sur \alpha \uplus \beta ; cet ensemble bien ordonné est isomorphe à un unique ordinal qu'on nomme α + β.

On peut aussi définir la somme par récurrence transfinie de la façon suivante :

On vérifie aisément (par induction transfinie) que les deux définitions coïncident.

Donnons quelques exemples.

Si α et β sont des ordinaux finis, c'est-à-dire des entiers naturels, alors leur somme au sens ordinal est égale à leur somme au sens arithmétique.

ω est le premier ordinal illimité, correspondant à la totalité des entiers naturels. Essayons de visualiser ω + ω. Deux copies de ω sont positionnées l'une suite à l'autre. Si nous notons {0<1<2<...} la première copie et {0'<1'<2',...} la deuxième copie, alors ω + ω est comparable à ceci :

0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...

Cet ordinal est différent de ω car, dans ω, 0 est l'unique élément à ne pas avoir de prédécesseur direct, tandis que dans ω + ω, 0 et 0'n'ont pas de prédécesseurs directs.

Considérons désormais 3 + ω et ω + 3

0 < 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < ...
0 < 1 < 2 < ... < 0' < 1' < 2'

Après renommage, le premier est comparable à ω lui-même, mais pas le deuxième. On a par conséquent 3 + ω = ω mais ω < ? + 3. On peut voir aussi, en utilisant la définition formelle, que ω + 3 est le successeur de ω + 2 tandis que 3 + ω est un ordinal limite, à savoir l'ordinal limite réunion de 3 + 0, 3 + 1, 3 + 2, ... qui n'est autre que ω lui-même.

Ainsi, l'addition n'est pas commutative, par contre, on peut montrer qu'elle est associative.

On a par exemple : (ω + 4) + ω = ω + (4 + ω) = ω + ω

On peut aussi montrer que :

\gamma+\alpha = \gamma+\beta \Longrightarrow \alpha = \beta

Il y a par conséquent une simplification à gauche. Par contre, il n'y a pas de simplification à droite, puisque :

3 + ω = 0 + ω = ω et 3 \neq 0

De même, on a :

\alpha < \beta \Longrightarrow \gamma + \alpha < \gamma + \beta

mais la relation analogue avec γ à droite est fausse. On a seulement :

\alpha \le \beta \Longrightarrow \alpha+\gamma \le \beta+\gamma

Pour tout ordinal α inférieur ou égal à β, on montre qu'il existe un ordinal unique γ tel que α + γ = β. γ se nomme la différence de β par α. Si α est strictement supérieur à β, on convient que cette différence est nulle.

Multiplication

Pour multiplier deux ordinaux α et β, on écrit dans l'ordre les éléments de β, et on remplace chacun d'eux par différentes copies de la liste ordonnée des éléments de α.

Plus exactement on considère le produit cartésien \alpha\times\beta qu'on ordonne lexicographiquement par la droite : 1, γ2) < (?'1, γ'2) ssi γ2 < ?'2 ou γ2 = γ'2 et γ1 < ?'1.

On obtient un ensemble bien ordonné qui est isomorphe à un unique ordinal, noté αβ.

On peut aussi définir le produit par récurrence transfinie :

Comme pour la somme on montre aisément par induction transfinie que les deux définitions coïncident. Quand on les applique à des ordinaux finis on retrouve le produit courant des entiers naturels.

Voici ω2 :

00 < 10 < 20 < 30 < ... < 01 < 11 < 21 < 31 < ...

Et on voit que ω2 = ω + ω.

Par contre, est comparable à ceci :

00 < 10 < 01 < 11 < 02 < 12 < 03 < 13 < ...

et après renommage, on reconnaît ω, de sorte que 2ω = ω. La multiplication des ordinaux n'est par conséquent pas commutative, par contre, on peut montrer qu'elle est associative.

Les principales propriétés du produit sont :

α0 = 0α = 0
α1 = 1α = α
α < ▀ et <img class=, mais si on change γ de côté, l'inégalité stricte peut être mise en défaut.
A titre d'exemple, 1 < 2 mais 1ω = 2ω = ω. Par contre, on a :
\alpha \le \beta \Longrightarrow \alpha\gamma \le \beta\gamma
γα = γβ et <img class= ou β = 0
α (β + γ) = αβ + αγ (distributivité à gauche). Par contre, il n'y a pas de distributivité à droite.
En effet, (ω + 1) 2 = ω + 1 + ω + 1 = ω + ω + 1 = ω2 + 1 et non ω2 + 2
soit α un ordinal et β > 0. Alors il existe un unique ordinal γ et un unique ordinal δ < ▀ tels que α = βγ + δ. (C'est une sorte de division euclidienne. )

Exponentiation

Réprésentation graphique des ordinaux jusqu'à ωω. Chaque tour de la spirale représente une puissance d'ω

Passons désormais à l'exponentiation des ordinaux.

Pour un exposant fini, on peut se ramener au produit. A titre d'exemple, ω2 = ωω. Mais on peut visualiser cet ordinal comme la totalité des couples d'entiers, ordonné selon l'ordre lexicographique suivant, où l'ordre sur les entiers de droite a plus de poids que l'ordre sur les entiers de gauche :

(0, 0) < (1,0) < (2,0) < (3,0) < ... < (0,1) < (1,1) < (2,1) < (3,1) < ... < (0,2) < (1,2) < (2,2) < ...

et de même, pour un n fini, ωn peut-être vu comme la totalité des n-uplets d'entiers.

Si on tente d'étendre ce procédé à ωω, on obtient :

(0, 0, 0, ... ) < (1,0,0,0,...) < (2,0,0,0,...) < ... <
(0, 1, 0, 0, 0, ... ) < (1,1,0,0,0,...) < (2,1,0,0,0,...) < ... <
(0, 2, 0, 0, 0, ... ) < (1,2,0,0,0,...) < (2,2,0,0,0,...)
< ... <
(0, 0, 1, 0, 0, 0, ... ) < (1,0,1,0,0,0,...) < (2,0,1,0,0,0,...)
< ...

Chaque élément du tableau est une suite illimitée d'entiers, mais si on prend des suites quelconques, l'ordre ainsi défini n'est pas un bon ordre. On obtient un tel bon ordre en se limitant aux suites d'entiers n'ayant qu'un nombre fini d'éléments non nuls.

D'une façon plus générale étant donné deux ordinaux α et β, on considère la totalité α (β) des fonctions de β dans α dont le support est fini (le support de f:\beta\rightarrow\alpha est la totalité des \gamma\in\beta tels que f(\gamma) \neq 0). Soient f et g deux telles fonctions et notons Sf et Sg leurs supports. Comme ces deux ensembles sont finis leur union S = S_f\cup S_g est finie aussi ; on pose f < g ssi S\neq\emptyset et f0) < g0) γ0 est le plus grand \gamma\in S tel que f(\gamma)\neq g(\gamma).

On vérifie que α (β) est alors bien ordonné, par conséquent isomorphe à un unique ordinal noté αβ. Dans le cas où α et β sont finis on voit immédiatement que cet ordinal est l'exponentielle des entiers naturels. Dans le cas où α = ω l'ordre qu'on a construit sur ω (β) est connu sous le nom d'ordre multi-ensemble.

Comme pour la somme et le produit on peut aussi définir αβ par récurrence transfinie de la façon suivante :

On trouve que 1ω = 1, 2ω = ω, 2ω + 1 = ω2 = ω + ω.

Voici quelques propriétés de l'exponentiation :

1α = 1
si γ > 1 alors \alpha < \beta \iff \gammaˆ{\alpha}<\gammaˆ{\beta}
\alpha \le \beta \Longrightarrow \alphaˆ{\gamma} \le \betaˆ{\gamma}. On prendra garde que :
2 < 3 mais 2ω = 3ω = ω
α > 1 et <img class=δ tel que \alphaˆ{\delta} \le \beta <\alphaˆ{\delta+1}
αβαγ = αβ + γ
β) γ = αβγ
si β > 0 et α > 1, alors il existe une décomposition unique \beta = \alphaˆ{\beta_n}\gamma_n + \cdots + \alphaˆ{\beta_0}\gamma_0 avec, pour tout i, 0 < ?i < a et les exposants βi strictement croissants, ce qui donne une sorte de décomposition de β en base α

Remarque : on prendra garde que l'exponentiation des ordinaux n'a que peu de rapport avec l'exponentiation des cardinaux. Par exemple 2ω = ω est un ordinal dénombrable, tandis que, dans les cardinaux, 2ˆ{\aleph_0} sert à désigner le cardinal de \mathcal P(\aleph_0), ensemble des parties de \aleph_0, et a la puissance du continu. L'ambiguïté est levée si on convient d'utiliser les lettres grecques en calcul ordinal et la lettre \aleph pour les cardinaux.

La suite des ordinaux transfinis débute comme suit :

\omega < \omega + 1< \omega + 2 < \dots < \omega+\omega = \omega 2 < \dots < \omega 3 < \dots < \omega\omega = \omegaˆ2 < \dots < \omegaˆ\omega < \omegaˆ{\omegaˆ\omega} < \dots

Il existe des nombres ordinaux transfinis qui ne peuvent pas être obtenus en effectuant un nombre fini d'opérations arithmétiques n'utilisant que les nombres ordinaux finis et ω. Le plus petit d'entre eux est nommé ε0 et vaut

\omegaˆ{\omegaˆ{\omegaˆ{\cdots}}}. C'est le plus petit ordinal solution de l'équation x = ωx. On peut ensuite définir \epsilon_0ˆ{\epsilon_0}, \epsilon_0ˆ{\epsilon_0ˆ{\epsilon_0}}, etc. jusqu'à ε1 deuxième solution de x = ωx.

On peut de même définir ε2, ε3, ..., εω, ..., \epsilon_{\epsilon_0}, ...

Tous ces ordinaux, fabriqués en utilisant les opérations successeur et limite d'ordinaux déjà fabriqués, sont dénombrables. On sert à désigner par Ω le plus petit ordinal non dénombrable. Il contient l'ensemble des ordinaux dénombrables. Toute suite définie dans Ω admet un majorant dans Ω.

Forme normale de Cantor

Pour manipuler les ordinaux, il est plus simple de recourir à une écriture unique. Pour les petits ordinaux, c'est envisageable : soit ε0 le plus petit ordinal tel que \omegaˆ{\varepsilon_0}=\varepsilon_0. Tout α0 peut être écrit de façon unique \alpha=\omegaˆ{\beta_1} c_1 + \omegaˆ{\beta_2}c_2 + \cdots + \omegaˆ{\beta_k}c_kc_1, c_2, \ldots, c_k sont des entiers et <img class=βk = 0).

Les βi sont eux aussi exprimés sous forme normale, ce qui donne des ordinaux du type :

\omegaˆ{\omegaˆ{\omega6+42}\cdot1729+\omegaˆ9+88}+\omegaˆ{\omegaˆ\omega}+65537.

La totalité des ordinaux définissables sous l'une ou l'autre de ces formes est par conséquent ε0.

Les opérations sur les ordinaux deviennent simples :

On notera une variante de cette forme normale qui écrit :

\alpha = \omegaˆ{\beta_1}  + \omegaˆ{\beta_2} + \cdots + \omegaˆ{\beta_k}

en forçant c_1, c_2, \ldots, c_k =1 avec cette fois-ci des répétitions envisageables :

\beta_1 \geq \beta_2 \geq \ldots \geq \beta_k.

Utilisation des ordinaux

En dehors d'utilisations spécifiques à la théorie des ensembles, les ordinaux se rencontrent dans les domaines suivants :

En arithmétique

Le théorème de Goodstein est un théorème d'arithmétique dont la démonstration repose sur la théorie des ordinaux. Ce théorème pose la question de savoir si une certaine suite à valeurs entières finit par prendre la valeur 0. On associe à cette suite d'entiers une suite d'ordinaux strictement décroissante. Compte tenu du bon ordre des ordinaux, une telle suite est effectivement finie. La suite possède une définition assez simple, néenmoins on peut démontrer que le théorème de Goodstein n'est pas démontrable en utilisant seulement les propriétés de l'arithmétique usuelle et par conséquent que l'utilisation des ordinaux illimités sert à démontrer des résultats arithmétiques indécidables dans l'arithmétique.

En analyse

Les ordinaux ont été définis par Cantor suite à ses études sur la convergence des séries trigonométriques. Si une telle série \sum a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) est nulle sur \mathbb R, alors l'ensemble des cœfficients an et bn sont nuls. Cantor va chercher à affaiblir les hypothèses en réduisant le domaine sur lequel la série s'annule. Il montre que le résultat reste vrai si la série est nulle sauf en un nombre fini de points. Puis il introduit la notion suivante. Si P est une partie d'un segment [a, b], il définit l'ensemble dérivé de P, noté P1 comme la totalité des points d'accumulation de P ou, de manière équivalente, comme la totalité P duquel ont été retiré l'ensemble des points isolés. Pour tout entier n, il définit Pn + 1 comme étant le dérivé de la totalité Pn. Il montre que, si la série trigonométrique est nulle sur [0, 2π] en dehors d'un ensemble P pour lequel l'un des Pn est vide, alors les cœfficients sont nuls.

Cherchant à prolonger ce résultat si les Pn sont tous non vides. Il définit alors Pˆ{\omega} = \cap_{n \in \mathbb N}Pˆn, puis Pω + 1 comme étant le dérivé de Pω. En général, on définit, pour tout ordinal α la totalité Pα + 1 comme étant la totalité dérivé de Pα, et si α est un ordinal limite, Pα comme étant \cap_{\beta < \alpha} Pˆ{\beta}.

René Baire reprendra cette démarche pour la convergence simple des suites de fonctions continues vers une fonction discontinue. Il définit une partie réductible P comme une partie pour laquelle il existe un ordinal α tel que Pα soit vide. Baire montre ensuite que si f est une fonction telle que la totalité des points où elle est discontinue est un ensemble réductible, alors f est limite simple d'une suite de fonctions continues.

Dans le cas opposé, la suite des Pα se stabilise à la totalité PΩ, où Ω sert à désigner le premier ordinal non dénombrable. On montre que PΩ est un ensemble parfait.

En topologie

Soit Γ un ordinal. Notons [0, Γ] la totalité des ordinaux inférieurs ou égaux à Γ. Cet ensemble peut être pourvu d'une structure topologique, en prenant comme prébase d'ouverts les parties <img class= pour tout ordinal α et β inférieurs ou égaux à Γ. Ces topologies sont sources de nombreux exemples et contre-exemples.

Ainsi, si on prend Γ = ω, alors [0, ω[ est la totalité \N pourvu de sa topologie discrète usuelle. [0, ω] est un compactifié de \N.

Si on prend Γ = Ω premier ordinal non dénombrable, alors aucune suite strictement inférieure à Ω ne peut converger vers Ω, quoique Ω appartienne à l'adhérence de [0, Ω[. Surtout, Ω n'admet pas de base dénombrable de voisinages et c'est l'unique point de [0, Ω] qui soit dans ce cas.

Dans tout espace [0, Γ], les points de la forme α + 1 sont isolés. [0, Γ] est un espace compact. [0, Γ] et [0, Γ[ sont des espaces topologiques normaux. [0,\Omega] \times [0,\omega] est normal mais pas totalement normal. [0,\Omega] \times [0,\omega] - \{(\Omega,\omega)\} est totalement régulier mais n'est pas normal. [0, Ω] est totalement normal, mais pas parfaitement normal. [0,\Omega] \times [0,\Omega] - \{(\Omega,\Omega)\} est faiblement normal mais pas normal.

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