Nombre irrationnel

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction, où a et b sont deux entiers relatifs.



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Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction \frac{a}{b}, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul).

Les premiers nombres irrationnels découverts sont les racines carrées des entiers qui ne sont pas des carrés parfaits, entre autres \sqrt{2} (voir la démonstration d'irrationalité). D'une façon plus générale, on nomme nombres algébriques les nombres qui sont racine d'un polynôme à cœfficients rationnels ; cette catégorie facile à construire permet d'exhiber de nombreux nombres irrationnels. Les nombres qui ne sont pas algébriques (c'est-à-dire qui ne sont racine d'aucun polynôme à cœfficients rationnels) sont nommés nombres transcendants ; ils sont tous irrationnels. π (pi) et e font partie de cette seconde catégorie de nombres irrationnels.

Histoire

Comme le rapporte le Sulba Sutras, l'utilisation la plus ancienne des nombres irrationnels fut faite par les indiens entre 800 et 500 avant J-C. Il était connu que la diagonale et l'un des côtés d'un carré sont incommensurables l'une à l'autre[1].

La première démonstration de l'incommensurabilité de la diagonale et de l'un des côtés d'un carré, ce qui est équivalent à l'irrationalité de \sqrt{2}, serait due à Hippase de Métaponte[2], un pythagoricien. Cette découverte ouvrit une crise profonde chez les mathématiciens grecs. L'histoire rapporte qu'Hippase un pythagoricien découvrit l'irrationalité de nombres en essayant de représenter la racine carrée de deux sous forme d'une fraction. Cependant, Pythagore croyait au caractère absolu des nombres et ne considérait avec ses disciples que des grandeurs commensurables; il ne put réfuter l'existence de ces nombres irrationnels par la logique, et selon la légende, condamna Hippase à mourir noyé.

Théétète travailla sur des irrationalités quadratiques, mais sans succès jusqu'à ce qu'Eudoxe développe une théorie des rapports irrationnels que les mathématiciens grecs acceptèrent comme des nombres irrationnels. Les mathématiciens hellénistes montrèrent leur pleine capacité à travailler avec les nombres irrationnels. Le livre X des éléments d'Euclide est consacré à une classification des grandeurs irrationnelles.

Au XVIe siècle, la communauté mathématique accueillit favorablement les nombres négatifs et les fractions. Au XVIIe siècle, les mathématiciens employèrent de plus en plus souvent les fractions décimales et représentaient déjà ces nombres avec la notation moderne.

Pendant les cent années suivantes furent introduits les nombres imaginaires qui devinrent un outil puissant forgé par Abraham de Moivre, et surtout aiguisé par Leonhard Euler.

Au dix-neuvième siècle, la théorie des nombres complexes fut complétée, l'existence des nombres transcendants fut montrée, ce qui amena à diviser les nombres irrationnels en deux catégories, celle des nombres algébriques et celle des nombres transcendants et ainsi à effectuer une étude scientifique d'un sujet presque resté en léthargie depuis Euclide, celui de la théorie des nombres irrationnels.

L'année 1872, vit la publication des théories de Karl Weierstrass (par son élève Kossak), de Heine (Crelle 74), de George Cantor (Annalen 5), et de Richard Dedekind. Méray avait pris en 1869 les mêmes points de départ que Heine, mais l'apparition de cette théorie est le plus souvent rattachée à l'année 1872.

La méthode de Weierstrass fut totalement déterminée par Pincherle (en 1880), et celle de Dedekind reçut une importance supplémentaire par le travail ultérieur de l'auteur (en 1888) et par l'approbation plus récente de tannerie de Paul (en 1894).


Weierstrass, Cantor, et Heine basèrent leurs théories sur les séries illimitées, pendant que Dedekind fonda la sienne sur l'idée d'une coupure (Schnitt) dans le dispositif des nombres rationnels, partageant les nombres rationnels en deux classes caractérisées par des propriétés différentes.

Ce travail fut complété plus tard par Weierstrass, Kronecker (Crelle 101), et Méray.

Les fractions continues, étroitement liées aux nombres irrationnels (dues à Cataldi en 1613), furent prises en considération par Euler, et au début du dix-neuvième siècle, elles prirent de l'importance grâce aux écrits de Joseph Louis Lagrange. Dirichlet aussi travailla sur cette théorie, mais aussi énormément d'autres mathématiciens qui développèrent de multiples applications.

Lambert démontra en 1761 que π ne pouvait être rationnel, et que en est irrationnel si n est rationnel (sauf si n = 0).

La démonstration de l'irrationalité de π de Lambert, est reconnue comme incomplète selon les critères actuels. Mais les historiens des mathématiques l'acceptent satisfaisante et la jugent rigoureuse pour son époque. La méthode consiste à approcher π par des rationnels, les propriétés de cette suite de nombres montrent que la limite est obligatoirement irrationnelle.

Legendre (en 1794), après avoir introduit les fonctions de Bessel-Clifford, apporte une démonstration de l'irrationalité de π2 confirmant ainsi celle de π.

L'existence de nombres transcendants a été établie pour la première fois par Liouville (entre 1844 et 1851). En 1873, George Cantor montra leur existence par une méthode différente, en démontrant que tout intervalle ayant au moins deux réels contient des nombres transcendants. Charles Hermite (en 1873) fut le premier à démontrer la transcendance de e, et Ferdinand von Lindemann (en 1882), montra à partir des conclusions d'Hermite, la transcendance de π. La démonstration de Lindemann fut beaucoup simplifiée par Weierstrass (en 1885), et toujours davantage par David Hilbert (en 1893), pour finalement devenir élémentaire grâce à Adolf Hurwitz et Paul Albert Gordan.

Nombres irrationnels transcendants et algébriques

Presque tous les nombres irrationnels sont transcendants et l'ensemble des nombres transcendants sont irrationnels. Donnons comme exemples de nombres transcendants les nombres er et πr qui sont irrationnels si r\neq 0 est rationnel; e est aussi irrationnel.

Un autre moyen de construire des nombres irrationnels considère les nombres algébriques irrationnels, c'est-à-dire des racines de polynômes à cœfficients entiers. Considérons une équation algébrique de la forme

p(X)=a_nXˆn+a_{n-1}Xˆ{n-1}+\cdots+a_1 X+a_0=0

où les cœfficients ai sont entiers.

Supposons qu'il existe un réel x tel que p (x) = 0 (par exemple si n est impair et an est non nul, un tel x existe selon le théorème des valeurs intermédiaires).

Les seules racines rationnelles de cette équation algébrique sont de la forme r / s d'une fraction irréductibler est diviseur de a0 et s un diviseur de an; il y a uniquement un nombre fini de valeurs envisageables qu'on peut essayer à la main. Si aucune de ces valeurs n'est racine de p, x doit être irrationnel. A titre d'exemple, si nous avons (X3 − 1) 2 = 2 alors X6 − 2X3 − 1 = 0 et le polynôme X6 − 2X3 − 1 n'a pas de racine rationnelle (les seules valeurs envisageables étant \pm 1).

Parce que les nombres algébriques forment un corps, énormément de nombres irrationnels peuvent être fabriqués en combinant les nombres algébriques et les nombres transcendants. Par exemple 3π + 2, \pi+\sqrt{2} et e\sqrt{3} sont irrationnels et même transcendants.

Développements décimaux

Le développement décimal d'un nombre irrationnel ne se répète jamais et ne se termine jamais. Le développement décimal d'un nombre rationnel se finit ou se répète.

Pour le démontrer, soit un nombre rationnel c'est-à-dire supposons qu'on divise deux entiers n par m (m étant non nul) ; tandis quand l'algorithme de division euclidienne enseigné à l'école primaire est utilisé pour diviser n par m, il ne peut donner que m restes différents. Si 0 n'apparaît jamais comme reste, alors l'algorithme ne peut effectuer plus de m − 1 étapes sans redonner un même reste. Après cela, si un reste réapparaît, alors le développement décimal se répète!

Inversement, supposons qu'il y ait dans le développement d'un nombre des décimales récurrentes ; on peut alors démontrer que le nombre est une fraction de deux entiers. Par exemple :

A=0,7\,162\,162\,162\,\dots

Dans ce développement, la longueur de la séquence de décimales répétées est égale à 3. Multiplions par 103 :

1000A=7\,16,2\,162\,162\,\dots

Remarquez que puisque nous avons multiplié par 103 la longueur de la période, nous avons décalé des chiffres vers la gauche comparé à la virgule d'autant de positions.

Nous remarquons tandis que les décimales de 1000A et de A à partir d'une certaine position sont semblables. Ainsi dans l'écriture décimale de 1000A et de A la séquence 162 se répète à partir d'un certain rang.

Donc, quand nous soustrayons A à 1000A, les décimales de la différence deviennent nulles à partir de ce rang.

999A=715,5\,.

Ainsi

A=\frac{715,5}{999}=\frac{7155}{9990} = \frac{135 \times 53}{135 \times 74} = \frac{53}{74},

qui est un quotient de nombres entiers et apparaît par conséquent comme un nombre rationnel.

Problèmes ouverts

On ne sait pas si les nombres π + e et π − e sont ou non irrationnels. En réalité, il n'existe pas de paire d'entiers non nuls m et n pour laquelle il serait envisageable de dire si oui ou non le nombre mπ + ne est irrationnel. Qui plus est , on ne sait pas si la totalité {π, e} est algébriquement indépendant sur \mathbb{Q}.

On ne sait pas non plus si 2e, πe, \piˆ{\sqrt{2}} ou le nombre gamma d'Euler γ sont irrationnels.

La totalité des irrationnels

La totalité des nombres irrationnels est indénombrable (puisque la totalité des rationnels est dénombrable et que celui des nombres réels ne l'est pas). La totalité des nombres irrationnels algébriques, c'est-à-dire des irrationnels non transcendants, est dénombrable. Avec la valeur absolue comme distance, la totalité des nombres irrationnels devient un espace métrique qui n'est pas complet. Cependant, cet espace métrique est homéomorphe à l'espace métrique complet de l'ensemble des suites entières positives ; l'homéomorphisme est donné par le développement en fraction continue. Ceci démontre que le théorème de catégorie de Baire s'applique aussi à l'espace des nombres irrationnels. Tandis que la totalité des nombres réels pourvu de sa topologie usuelle est connexe, cet espace de Baire, devient un espace topologique comme celui des réels, à savoir avec la topologie de l'ordre, mais complètement non connexe dans la mesure où il n'existe aucun chemin joignant deux irrationnels différents restant sur la droite des irrationnels. La totalité des irrationels, tout comme la totalité \mathbb Q des rationnels, est dense dans la totalité \mathbb R des réels.

Voir aussi

Liens externes

Références

  1. (en) Mark Siderits, J. Dervin O'Brien, Zeno and Nāgārjuna on Motion. Philosophy East and West , 1976
  2. (en) Kurt Von Fritz, The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum. The Annals of Mathematics, 1945

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