Nombre imaginaire pur

Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme i a avec a réel. A titre d'exemple, i, -i et 0 sont des imaginaires purs.



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  • Si Re (z) =0, on dit que z est un imaginaire pur. si z=a+ib, le nombre complexe a- ib se nomme le conjugué de z. z=a+ib se nomme la forme cartésienne de z, ... (source : bibmath)
  • Traduction de nombre imaginaire pur (français) en anglais - Traduction en 32 langues - Traduire nombre imaginaire pur. (source : traduction.sensagent)
Cet article est un complément de nombre complexe.

Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme ia avec a réel. A titre d'exemple, i, -i et 0 sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle. La totalité des imaginaires purs est noté i\mathbb R\; ou \mathbb I\;.

Le carré d'un nombre imaginaire pur est un nombre réel négatif, et les racines carrées d'un nombre réel négatif sont des imaginaires purs. Historiquement, les travaux de Cardan au XVIe siècle ont montré l'intérêt d'utiliser des racines carrées de nombres négatifs dans les calculs. Reconnus tout d'abord comme "imaginaires" ou "inconcevables", ces nombres ont commencé à prendre véritablement un sens autour de 1800.

Définition

L'unité imaginaire est la racine carrée canonique de -1, actuellement le plus fréquemment notée i en mathématiques. Un imaginaire ou imaginaire pur est un nombre de la forme z=ia où a est un réel. Ce réel est unique et défini par z comme suit : a=-iz. Voici des définitions équivalentes :

Les racines carrées d'un nombre réel sont soit réels soit imaginaires purs. Les racines carrées d'un nombre réel négatif a2 (avec a réel) sont les imaginaires purs \pm i a.

Tout nombre complexe z s'écrit comme somme d'un nombre réel a et d'un nombre imaginaire pur ib. L'écriture z = a + ib est nommée l'écriture cartésienne du nombre complexe z. Les nombres a et b sont respectivement les parties réelle et imaginaire de z. Un imaginaire pur est par conséquent un nombre complexe de partie réelle nulle. Sous forme polaire, un nombre complexe s'écrit z = reiθ. Ce nombre est un imaginaire pur si et uniquement si θ vaut π/2, modulo π.

Axe des imaginaires purs

Le plan d'Argand est une représentation géométrique des nombres complexes par les points d'un plan euclidien. Il comporte deux axes gradués orthogonaux. Le premier axe, horizontal, représente l'axe gradué des réels, et le second axe, vertical, est l'axe des imaginaires purs. Sur ce deuxième axe, l'unité est i.

Un imaginaire pur z correspond alors à un point M de l'axe des imaginaires purs. D'une façon plus générale, le nombre complexe z=a+ib est l'affixe du point M de coordonnées (a, b). Si M et N sont les points d'affixe z et w, alors les droites (OM) et (ON) sont orthogonales ssi le quotient z/w est un imaginaire pur.

Éléments d'histoire

Avant le XVIe siècle, des racines de nombres négatifs apparaissent dans certains cas sur des textes écrits. L'un des plus connus est un calcul de volume réalisé par le mathématicien grec Héron d'Alexandrie, où apparait une racine carrée d'une différence. Malheureusement, ce texte n'est connu que par ses traductions. Il est envisageable que ce soit une erreur commise par un des traducteurs, hypothèse envisagée par Dominique Flament[1]. On crédite généralement les travaux de Cardan pour avoir réellement souligné l'importance que peuvent jouer les racines carrées des nombres négatifs dans les calculs. Dans Ars Magma (1545), Jérôme Cardan recherche une méthode pour obtenir une racine carrée réelle d'une équation polynomiale de degré 3. Elle est actuellement connue sous le nom de méthode de Cardan et fait intervenir des extractions de racines carrées de nombres réels, peut-être négatifs.

Dans Algebra (1572), Raphaël Bombelli s'intéresse à ces racines de nombres négatifs. Les signes pia (plus) et meno (moins) étaient utilisés pour les nombres réels. Bombelli introduit les signes pia di meno (ix... ) et mino di mino (-ix... ) pour étudier les nombres imaginaires purs. De même qu'un nombre réel strictement positif possède deux racines carrées réelles qui ont des signes opposés, Bombelli reconnaît tandis qu'un nombre réel négatif possède deux racines carrées (des nombres "imaginaires") qui viennent avec des signes opposés.

Cependant, il faut attendre le XVIIIe siècle (avec Leibniz, De Moivre et Euler) pour que des calculs plus avancés soient réalisés sur ces nombres, qualifiés d'imaginaires, d'inconcevables ou encore d'inexplicables. Les nombres imaginaires purs sont par conséquent historiquement les premiers nombres complexes étudiés.

Références

  1. Dominique Flament, Histoire des nombres complexes


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