Nombre hyperréel

En mathématiques, les nombres hyperréels forment une extension des nombres réels usuels, servant à donner un sens rigoureux aux notions de quantité illimitément petite ou illimitément grande ; techniquement, on utilise fréquemment une ultra-puissance...



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Type de nombre - Nombre transfini - Analyse

En mathématiques, les nombres hyperréels forment une extension des nombres réels usuels, servant à donner un sens rigoureux aux notions de quantité illimitément petite ou illimitément grande ; techniquement, on utilise fréquemment une ultra-puissance pour construire cette extension.

Introduction : pourquoi les hyperréels ?

Les «illimitéments petits» de l'analyse du XVIIe siècle avaient suscité de violentes critiques, assez identiques à celles génèrées par l'introduction de «nombres imaginaires» de carré négatif. Les problèmes techniques correspondants ne purent cependant pas être résolus, ce qui amena la disparition progressive des illimitétésimaux et leur remplacement, dû à Cauchy et Weierstrass, par les notions modernes de limite, de continuité, etc.

Cependant, on pouvait toujours envisager d'adjoindre aux réels de nouveaux objets servant à rendre rigoureux les raisonnements utilisant les illimitément petits, et diverses tentatives furent faites dans ce sens (par exemple par Hadamard et Du Bois-Raymond), mais cela sans grand succès, pour des raisons que seule la logique mathématique devait rendre claires.

Les travaux de Skolem montraient cependant dès 1930 qu'une extension des réels, autorisant un véritable calcul illimitétésimal, était néanmoins envisageable. Il existe d'ailleurs en réalité plusieurs de ces extensions, mais le choix exact de l'une d'entre elles n'a pas de grandes conséquences pratiques (bien qu'elles ne soient pas toutes isomorphes)  ; on nomme généralement "nombres hyperréels" l'une quelconque d'entre elles.

Un nombre hyperréel (non réel) pourra représenter ainsi, par exemple une quantité «plus grande que tout entier» (donc "illimitément grande") ou «plus petite que l'inverse de tout entier» (donc illimitétésimale).

Historique

Les nombres hyperréels furent introduits par Abraham Robinson dans les années 1960 dans le cadre de ses travaux sur l'analyse non standard. Robinson rejoignait les préoccupations d'Euler (et des autres analystes du XVIIIe siècle) cherchant à donner un sens aux nombres illimitément grands et illimitément petits. La construction de Robinson utilisait principalement la théorie des modèles. Une construction plus explicite avec ultraproduits fut découverte quelques années plus tard, et c'est celle qui va être exposée ici. Par la suite, une approche axiomatique plus générale de l'analyse non standard, la théorie des ensembles internes (Internal Set Theory, ou IST), fut proposée par Edward Nelson : elle se base sur l'axiomatique de Zermelo-Frænkel à laquelle sont ajoutés trois axiomes nouveaux ; la description détaillée de ces axiomes et de leurs conséquences est donnée dans l'article : analyse non standard. Dans cette approche (qui a d'ailleurs des applications bien plus générales que la construction d'illimitétésimaux), on ne crée pas à proprement parler de nouveaux réels, mais on distingue parmi les réels une collection (qui n'est pas un ensemble) de réels standards, les autres se comportant comparé à ceux-ci comme des illimitément petits ou des illimitément grands par exemple.

Construction

L'objectif est de construire un surcorps  \mathbb Rˆ* de  \mathbb R possédant des nombres illimitément grands et illimitément petits. Ce surcorps devra rester complètement ordonné et vérifier que tout nombre x non illimitément grand s'écrit x*+ε avec x* un nombre réel et ε un nombre illimitétésimal.

Cette construction fait assez naturellement intervenir des suites de nombres réels ; ainsi la suite (\frac{1}{n}) s'interprète comme un nombre illimitément petit et (n2) comme un illimitément grand. Les nombres réels sont préservés dans les suites constantes. L'addition et la multiplication des suites fournissent de bonnes bases pour obtenir une structure de corps. Malheureusement il manque l'ordre total : il n'est pas clair si le nombre hyperréel défini ensuite oscillante (1, -1, 1, -1, ... ) est strictement positif ou strictement négatif. On observe cela dit qu'étant donné deux suites de réels, les ensembles d'indices où l'une est supérieure à l'autre sont complémentaires. Choisir un ordre total sur les nombres hyperréels est par conséquent équivalent à choisir une partie de N dans chaque couple de parties (A; \mathbb{N}\setminus A). Ce dernier choix amène directement à la notion d'ultrafiltre sur N, de laquelle découle toute la construction qui suit[1].

La construction des hyperréels se fait à partir d'un ultrafiltre U sur N qui contient l'ensemble des parties cofinies de N. On ne peut malheureusement pas exhiber un tel ultrafiltre U, dont l'existence repose sur le raffinement du filtre des parties cofinies de N par le lemme de Zorn.

On construit la totalité M des suites de réels (zn) dont la totalité des indices nzn = 0 est un élément de l'ultrafiltre. On peut écrire de manière condensée  M = \{a \in \mathbb Rˆ{\mathbb N}\  |\ aˆ{-1}(\{0\}) \in U\} . Un tel ensemble M est un idéal maximal de l'anneau commutatif des suites de réels  \mathbb Rˆ{\mathbb N} . Par conséquent l'anneau quotient  \mathbb Rˆ{\mathbb N} / M est un corps ordonné commutatif qui contient  \mathbb R . [2] Cet ensemble (muni des lois induites par le quotient) est un surcorps de  \mathbb R complètement ordonné. Il contient par exemple l'infiniment petit (1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ... ) (ou plus exactement la classe d'équivalence de cette suite). On perd par contre le théorème de la limite supérieure sur les nombres hyperréels.

On note que le cardinal de  \mathbb Rˆ* est  2ˆ{\aleph_0} et par conséquent cet ensemble est équipotent à  \mathbb R  ; cependant, on peut montrer que la totalité exact obtenu dépend de l'ultrafiltre choisi : l'ensemble des dispositifs de nombres hyperréels fabriqués ainsi ne sont pas isomorphes entre eux.

Définitions

Un nombre hyperréel x est dit

Pour tout x appréciable, il existe un réel unique, la partie standard (ou l'ombre) de x (noté x*) tel que x-x* soit illimitétésimal ; l'écriture en x*+ε de tout nombre hyperréel non illimitément grand provient d'une simple dichotomie (dans R) autorisée par l'ordre total sur  \mathbb Rˆ* . En effet un nombre hyperréel non illimitément grand est contenu dans un segment à limites réelles ; on coupe successivement ce segment en 2 pour encadrer le nombre hyperréel de plus en plus exactement. Par le théorème des segments emboîtés, on obtient ainsi le nombre réel unique x*.

Un exemple d'utilisation

Avec les définitions précédentes, énormément de notions de l'analyse classique s'expriment de manière plus simple : ainsi, si \varepsilon est un illimitétésimal non nul, la dérivée de f en a est l'ombre de l'hyperréel \frac{f(a+\varepsilon)-f(a)}{\varepsilon} : tout se passe comme si on n'avait plus besoin de la notion de limite. On trouvera d'autres exemples (et des précisions sur la validité de ces raisonnements) dans l'article analyse non standard.

Notes et références

  1. Il faut tout de même remarquer que des constructions bien plus simples suffisent pour obtenir des extensions de R possédant des illimitétésimaux, par exemple le corps des fractions rationnelles R (X)  ; mais ces extensions ne permettent pas une véritable analyse non-standard ; ainsi, dans R (X), on ne dispose pas d'une fonction exponentielle...
  2. Balade en analyse non-standard sur les traces de Robinson

Voir aussi

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